1992年量子力学考研试题 (类似1999年第一题)质量为m的粒子,在一维无限深势 阱中 0≤x<a x<ox>a 中运动,若t=O时,粒子处于 (0)=15a(x)-1g2()+g2(x) 状态上,其中,φn(x)为粒子的第n个本征态。 (1)求t=0时能量的可测值与相应的取值几率; (2)求t>0时的波函数vx1)及能量的可测值与相应的取值几 率 解:非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 E n=1.2.3 2r n丌 SIn n (1)首先,将v(x,0)归一化。由 可知,归一化常数为
1992 年量子力学考研试题 一. （类似 1999 年第一题）质量为 m 的粒子，在一维无限深势 阱中 ( ) = x x a x a V x , 0, 0, 0 中运动，若 t = 0 时，粒子处于 (x ) (x) (x) (x) 1 2 3 2 1 3 1 2 1 ,0 = − + 状态上，其中， (x) n 为粒子的第 n 个本征态。 （1） 求 t = 0 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求 t 0 时的波函数 (x,t) 及能量的可测值与相应的取值几 率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ( ) x a n a x n n ma E n n sin 2 , 1,2,3, 2 2 2 2 2 = = = （1） 首先，将 (x,0) 归一化。由 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 2 = + + c 可知，归一化常数为
12 于是,归一化后的波函数为 3 能量的取值几率为 W(E1) 6 W(E,)= 13 能量取其它值的几率皆为零。 (2)因为哈密顿算符不显含时间,故t>O时的波函数为 v)=1.(x-E V13 P Gx)exp -E2! 方 Et (3)由于哈密顿量是守恒量,所以t>O时的取值几率与t=0时 相同 个电子被禁闭在线诸振子基态,若在此态上有 x)=10 求激发此电子到其第一激发态所需要的能量(用eV表示)。提示:利 用维里定理 解:已知线谐振子的本征解为 E.=n+-|o
13 12 c = 于是，归一化后的波函数为 (x ) (x) (x) (x) 1 2 3 13 3 13 4 13 6 ,0 = − + + 能量的取值几率为 ( ) ( ) ( ) 13 3 ; 13 4 ; 13 6 W E1 = W E2 = W E3 = 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故 t 0 时的波函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) − + + − = − x E t x t x E t x E t 3 3 1 1 2 2 i exp 13 3 i exp 13 i 4 exp 13 6 , （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以 t 0 时的取值几率与 t = 0 时 相同。 二. 一个电子被禁闭在线谐振子基态，若在此态上有 ( ) 10 m 10 2 − x − x = 求激发此电子到其第一激发态所需要的能量（用 eV 表示）。提示：利 用维里定理。 解：已知线谐振子的本征解为 = + 2 1 E n n ； n
由维里定理知,对于任意束缚态有 T 2 而线谐振子的位势为 v(x)=-mo2'x 于是, 对于线谐振子基态而言 T+v==ho 进而可知 mo x h 利用已知条件及x=0,得到 10 2m 由基态激发到第一激发态所需的能量为 E-e=ho 102m 2m 1.05×10-24J·s 1020m2 2×9.11×10-3kg 606×10-9××10°eV=3.78eV 三设厄米特算符的本征矢为n),{m}构成正交归一完备系
由维里定理知，对于任意束缚态有 T = r V 2 1 而线谐振子的位势为 ( ) 2 2 2 1 V x = m x 于是， T =V 对于线谐振子基态而言， 2 1 E0 = T +V = 进而可知 4 1 2 1 2 2 m x = 利用已知条件及 x = 0 ，得到 20 2 10 m 2 − = m 由基态激发到第一激发态所需的能量为 ( ) 10 eV 3.78eV 1.6 1 6.06 10 10 m 2 9.11 10 kg 1.05 10 J s 10 m 2 19 19 20 2 31 2 24 20 2 2 1 0 = = − = = = − − − − − m E E 三. 设厄米特算符 H ˆ 的本征矢为 n ， n 构成正交归一完备系
定义一个 算符 U(m, n)=om Xo (1)计算对易子,(m) (2)证明U(mm)(p.9)=6m0(m (3)计算迹Tr{(m,n)} (4)若算符A的矩阵元为Am=(nAn),证明 A=∑An0(m,n) A=TrAU(p, 解: (1)对于任意一个态矢v),有 LA,U(m, n)y)=HU(m, n)y-U(m, n)Hlw) tom), Hy EmU(m,n)v)-E,U(m, n)v) (Em-EnU(m, n)w 故 A,U(m, n)=(Em-E,K(n, n) (2)U(m, n*(p,q)=1mXpuoa op=ong(m, p) (3)算符的迹为
定义一个 算符 ( ) U m n = m n , ˆ （1） 计算对易子 H U(m, n) ˆ , ˆ ； （2） 证明 U(m n)U (p q) U(m p) nq , ˆ , ˆ , ˆ = + ； （3） 计算迹 TrU ˆ (m,n) ； （4） 若算符 A ˆ 的矩阵元为 Amn m A n ˆ = ，证明 A A U(m n) m n mn , ˆ ˆ , = Apq TrA ˆ U ˆ (p,q) + = 解： （1）对于任意一个态矢 ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E U m n E U m n E U m n H H H U m n HU m n U m n H m n m n m n m n , ˆ , ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ , ˆ ˆ , ˆ , ˆ − − = − = = − = 故 H U(m n) (E E )U(m n) m n , ˆ , ˆ , ˆ = − （2） U(m n)U (p q) U(m p) m n q p n q , ˆ , ˆ , ˆ = = + （3）算符的迹为
r{m)=x(n(mn)9)= ∑(|n)(nlq)=(nn)=m (4)算符 ∑|nmA=∑n、qnm|4gn ∑An(m,n) 而 A=(1n)=∑(ol9)9n4q ∑(|4n)N,l)=∑(A0(m9))= Trau(p, a)) 四.自旋为、固有磁矩为=y(其中γ为实常数)的粒子 处于均匀外磁场B=Bk中,设t=0时,粒子处于S=的状态, (1)求出t>0时的波函数 (2)求出t>0时s与S的可测值及相应的取值几率 解:体系的哈密顿算符为 H y Bh y BS 00 在泡利表象中,哈密顿算符的本征解为
( ) ( ) n k n m mn k k m k k U m n k U m n = = = = , ˆ , Tr ˆ （4）算符 A U(m n) A A A m n mn m n n m n m m m m , ˆ ˆ ˆ ˆ , , = = = 而 ( ) AU (p q) A AU p q A A A k k k k k q p k k q k p q p q p k , Tr ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + + = = = = = 四. 自旋为 2 1 、固有磁矩为 s = （其中 为实常数）的粒子， 处于均匀外磁场 0 k B = B 中，设 t = 0 时，粒子处于 2 s x = 的状态， （1） 求出 t 0 时的波函数； （2） 求出 t 0 时 x s ˆ 与 z s ˆ 的可测值及相应的取值几率。 解：体系的哈密顿算符为 z z z B H B B s ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 0 0 = − = − = − 在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为