《量子力学》课程教学资源（习题解答）第三章 习题解答

第三章习题解答 31一维谐振子处在基态v(x) 求 丌 (1)势能的平均值U=02x2 (2)动能的平均值7=P (3)动量的几率分布函数。 解,A、、! Ao xe 2"√22a2a 1·3·5…(2n-1) T 22 Cy(x)py(x)dx dx2 丌2H T 2 a 4 a 4p h 或T=E-U=ho--ho=-ho (3)c(P)=」vp(x)(x)d d x 2h J-o v 2mV√丌

第三章习题解答 3.1 一维谐振子处在基态 t x i x e      2 2 2 2 ( ) − − = ，求： (1)势能的平均值 2 2 2 1 U =  x ； (2)动能的平均值 2 2 p T = ； (3)动量的几率分布函数。 解：(1)   − − U = x = x e dx x 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1                 =  = =  2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1  4 1 =   + −     − = 0 1 2 2 2 1 3 5 (2 1) a a n x e dx n n n ax   (2)   − = = x p x dx p T ( ) ˆ ( ) 2 1 2 * 2 2       − − − = − e dx dx d e x x 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) 2 1         − − = − x e dx x 2 2 (1 ) 2 2 2 2 2        [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2    − −  − − = e dx − x e dx  x  x       ] 2 [ 2 3 2 2 2          = −                 = = =  2 2 4 4 2 2 2 2 2  4 1 = 或    4 1 4 1 2 1 T = E −U = − = (3)  c p = x x dx p ( ) ( ) ( ) *   2 1 2 2 2 1   − − − = e e dx Px i x         − − − = e e dx Px i x   2 2 2 1 2 1    

x 2mhV√z 2mV√z Vah√ 动量几率分布函数为 o(p)=(p) 32氢原子处在基态v(r,,0)=~1 求 (1)r的平均值 (2)势能一一的平均值; (3)最可几半径; (4)动能的平均值 (5)动量的几率分布函数 解:()7=J中(,.o)dr= re-rldor sin 0 drde do (2)U=(--) -e- sin 0 drde do sSre-xrlcorsin e drde dg

  − − + − = e dx ip p x 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 1            − − − + = e e dx ip x p 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 2 1                2 2 1 2 2 2 2   p e − = 2 2 2 2 1      p e − = 动量几率分布函数为 2 2 2 1 ( ) ( ) 2       p p c p e − = = # 3.2.氢原子处在基态 0 / 3 0 1 ( , , ) r a e a r − =     ，求： (1)r 的平均值； (2)势能 r e 2 − 的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1)           re r drd d a r r r d r a sin 1 ( , , ) 0 2 2 0 0 2 / 3 0 2 0      − = =   − = 0 3 2 / 3 0 0 4 r a dr a r a   + − = 0 1 ! n n ax a n x e dx 4 0 0 3 0 2 3 2 4 3! a a a =         = 0 2 2 0 3 0 2 0 2 / 3 0 2 0 2 0 0 2 / 3 0 2 0 2 0 0 2 / 2 3 0 2 2 2 4 1 4 sin sin 1 (2) ( ) 0 0 0 a e a a e e r dr a e e r drd d a e e r drd d a r e r e U r a r a r a = −         = − = − = − = − = −         −  −  −            

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 rdr= tw(r,,)rsin 0 drde do =e do()4 0, 0,r 当F=0,n2=∞时,O(r)=0为几率最小位置 d-o(r) 8 e do(r) ∴r=ao是最可几半径 (4)T=-p2 r2 ar ar sin 0 a0 00 sine 方 (e- )r sin 0 drde de f b-se_.[r2 de-la)] sin 0 drde do 2 4n (5)c(p)=vp(w(r,e,)dr rudi (2m)3 (2mh) 2 方 (2m) 2 (2m)2

(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为   =          0 2 0 2 2 (r)dr [ (r, , )] r sin drd d e r dr a 2r / a 2 3 0 0 4 − = 2 / 2 3 0 0 4 ( ) e r a r − r a  = 0 2 / 0 3 0 ) 2 (2 ( ) 4 r a r re dr a a d r − = −  令 1 2 3 0 0 0, , ( ) r r r a dr d r = ， = =  =  当 r1 = 0, r2 = 时，(r) = 0 为几率最小位置 0 2 2 / 2 0 0 3 0 2 2 ) 8 4 (2 ( ) 4 r a r e a r dr a a d r − = − +  0 ( ) 8 2 3 0 2 2 0 = −  − = e dr a d r r a  ∴ a0 r = 是最可几半径。 (4) 2 2 2 2 ˆ 2 1 ˆ = = −     T p     − − = −        0  2 0 0 / 2 / 2 3 0 2 ( ) sin 1 2 0 0 e e r drd d a T  r a r a     − − = −       0  2 0 0 2 / 2 2 / 3 0 2 [ ( )] sin 1 1 2 0 0 e r drd d dr d r dr d r e a  r a r a   − = − − − 0 / 0 2 0 3 0 2 (2 ) 1 ( 2 4 0 e dr a r r a a r a   2 0 2 2 0 2 0 4 0 2 2 ) 4 4 (2 2 4 a a a a    = − = (5) c p  r  r   d p ( ) ( ) ( , , ) *    =     − − =         2 0 0 cos 0 / 2 3 0 3/ 2 sin 1 (2 ) 1 ( ) 0 e r dr e d d a c p pr i r a     = −  − −       0 cos 0 2 / 3 0 3/ 2 ( cos ) (2 ) 2 0 r e dr e d a pr i r a     − − = 0 0 cos 2 / 3 0 3/ 2 0 (2 ) 2      pr i r a e ipr r e dr a      − − = − 0 / 3 0 3/ 2 ( ) (2 ) 2 0 re e e dr a ip pr i pr i r a         + − = 0 1 ! n n ax a n x e dx         +     +      = 2 2 2 2 2 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1     r   r r r

2 (2m)32、√ma卯 4 2ah ip ah ta(ao p+h) (a02p2+h2) 动量几率分布函数 8a3h5 o(p)=c(p) (a0p2+ 3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 J=J=0 ursine/n, 证:电子的电流密度为 J,=-e=-e.(yumVynm-yumVyum) ⅴ在球极坐标中为 rsin 0 a0 式中E、回为单位矢量 Lynn(e in a 010 ynm(e,-+ )Unm] Or r a0 rsin 0 ag h le(y )+e(y nm-Vm)+E。( ) rsin rsin e ynm中的r和0部分是实数 2ursin 8 (-im ndm -imly nm f)e 可见,Ja=J=0

] ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 [ (2 ) 2 2 0 2 0 3 0 3/ 2 p i a p i a a ip     + − − =    2 2 2 2 0 0 3 3 0 ) 1 ( 4 2 1    p a a ip a ip + =  2 2 2 2 0 4 4 0 0 3 3 0 2 ( ) 4    + = a p a a  a 2 2 2 2 0 3 / 2 0 ( ) (2 )    + = a p a  动量几率分布函数 2 2 4 0 2 3 5 0 2 ( ) 8 ( ) ( )   + = = a p a p c p   # 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer = Je = 0 2 sin e n m r e m J       = 证：电子的电流密度为 ( ) 2 * * e n m n m n m n m i J eJ e             = − = −  −   在球极坐标中为        +   +    = sin 1 1 r e e r r er    式中   e e e r    、 、 为单位矢量 ) ] sin 1 1 ( ) sin 1 1 [ ( 2 * * n m r n m e n m r n m r e e r r e r e e r r e i J eJ e                               +   +   −   +   +   = − = − )] sin 1 sin 1 ) ( 1 1 [ ( ) ( 2 * * * * * * n m n m n m n m n m n m r n m n m n m n m n m n m r r e r r e r r e ie                                        −   +   −   +   −   = −  nm 中的 r 和  部分是实数。 ∴      im im e r ie Je n m n m      ( ) 2 sin 2 2 = − − −     e r e m n m    2 sin = − 可见， Jer = Je = 0

ur sI 34由上题可知,氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩 2)证明氢原子磁矩为 meh M=M=( rsin 8 eh C 原子磁矩与角动量之比为 (S/) M 2 (CGS) C 这个比值称为回转磁比率 解:(1)一圆周电流的磁矩为 dM=i=JdS·A(i为圆周电流,A为圆周所围面积) ehm ltm ds.(rsin 0) arson SiN ehm rr2sin e/ nom drde (ds=rdrd0 (2)氢原子的磁矩为 M=dM= fh-enn AI r2 sin 0 drde 2u o r santal /sin e drdo ehm (Sn) 2 在CGS单位制中M==-m 原子磁矩与角动量之比为 MM M (S/) L Llc (CGS)#

2 sin e n m r e m J       = − # 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为        − − = = ( ) 2 ( ) 2 CGS c me SI me M M z     原子磁矩与角动量之比为        − − = ( ) 2 ( ) 2 CGS c e SI e L M z z   这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 dM = iA = JedS  A （ i 为圆周电流， A 为圆周所围面积） 2 2 ( sin ) sin      dS r r e m n m = −    r dS e m n m 2 sin      = −     r drd e m n m 2 2 sin   = − (dS = rdrd) (2)氢原子的磁矩为     = = −     0 0  2 2 r sin drd e m M dM nm     = −        0 0 2 2 2 sin 2 r drd e m nm         r drd d e m    n m  = − 2 0 0 0 2 2 sin 2   2 em = − (SI) 在 CGS 单位制中 c e m M 2  == − 原子磁矩与角动量之比为 ( ) 2 SI e L M L M z z z  = = − ( ) 2 CGS c e L M z z  = − #