第二章质点动力学 2-1(1)对木箱,由牛顿第二定律,在木箱将要被推动的情况下如图所示, x向: F. cose-fm=0 N y向:N- F sin e-=0 还有Jm=H 习题2-1图 解以上三式可得要推动木箱所需力F的最小值为 cos6-us sin 8 在木箱做匀速运动情况下,如上类似分析可得所需力F的大小为 M uk sin (2)在上面Fmn的表示式中,如果cosb-Sn6→>0,则Fmn→>∞,这意味着用 任何有限大小的力都不可能推动木箱,不能推动木箱的条件是 cosb-HSn6≤0 由此得b的最小值为 6= arctan 2-2(1)对小球,由牛顿第二定律 x向:Tcos6-Nsn=m y向:TsnO+ Ncose-mg=0 联立解此二式,可得 T=m( a cosa+gsna)=0.5×(2×cos30°+98sn309)=3.32(N) N=m( g cos a+ asin a)=0.5×(98×c0s30°-2sin309)=3.74(N) 由牛顿第三定律,小球对斜面的压力 N"=N=374(N) (2)小球刚要脱离斜面时№=0,则上面牛顿第 二定律方程为 习题22图
8 第二章 质点动力学 2-1 （1）对木箱，由牛顿第二定律，在木箱将要被推动的情况下如图所示， x 向： Fmin cos − fmax = 0 y 向： N − Fmin sin − Mg = 0 还有 fmax = sN 解以上三式可得要推动木箱所需力 F 的最小值为 cos s sin s min − = Mg F 在木箱做匀速运动情况下，如上类似分析可得所需力 F 的大小为 cos k sin k min − = Mg F （2）在上面 Fmin 的表示式中，如果 cos − s sin →0 ，则 Fmin → ，这意味着用 任何有限大小的力都不可能推动木箱，不能推动木箱的条件是 cos − s sin 0 由此得 的最小值为 s 1 arctan = 2-2 （1）对小球，由牛顿第二定律 x 向： T cos −Nsin = ma y 向： T sin + N cos − mg = 0 联立解此二式，可得 T = m(a cos + g sin ) = 0.5 (2 cos30 + 9.8sin 30) = 3.32(N) N = m(g cos + asin ) = 0.5 (9.8 cos30 − 2sin 30) = 3.74(N) 由牛顿第三定律，小球对斜面的压力 N = N = 3.74(N) （2）小球刚要脱离斜面时 N=0，则上面牛顿第 二定律方程为 习题 2-1 图 习题 2-2 图
ma 由此二式可解得 a=g/tan=9.8/tan 300=17.0m/s 2-3要使物体A与小车间无相对滑动,三物体必有同一加速度a且挂吊B的绳应向后倾斜。 作此时的隔离体受力图如图所示 习题2-3图 三物体只有水平方向的运动,只须列出水平方向的牛顿方程及相关方程: T Tsn a=m,a (2) IT cosa-m,g=0 N3水平为绳中的雨拉力在水平向的合力 N3水平=T+Tsna 联立(1),(2),(3),(4),(5)解得 m2 g F=(m1+m2+m) =80g=784(N) (因为三个物体有同一加速度a,且在水平方向只受外力F的作同,所以,可将三个物体看 作一个物体: F=(m,+m2+M 再与(1),(2),(3)式联立求解即可。) 2-4由图写出力函数用积分法求解。 21(0≤t≤5) 5+35(5≤t≤7) 4p甲 得 Fd 在0→5s内 2td
9 T cos = ma, T sin = mg 由此二式可解得 2 a = g / tan = 9.8/ tan 30 =17.0m/s 2-3 要使物体 A 与小车间无相对滑动，三物体必有同一加速度 a,且挂吊 B 的绳应向后倾斜。 作此时的隔离体受力图如图所示 三物体只有水平方向的运动，只须列出水平方向的牛顿方程及相关方程： : (4) cos 0 (3) sin (2) : : (1) 3 2 2 2 1 1 M F N Ma T m g T m a m m T m a − = − = = = 水平 N3水平 为绳中的雨拉力在水平向的合力 sin (5) N3水平 = T +T 联立（1），（2），（3），（4），（5）解得 ( ) 80 784(N) 2 2 2 1 1 2 2 = = − = + + g m m m g F m m m （因为三个物体有同一加速度 a，且在水平方向只受外力 F 的作同，所以，可将三个物体看 作一个物体： F = (m1 +m2 + M)a 再与（1），（2），（3）式联立求解即可。） 2-4 由图写出力函数用积分法求解。 − + = 5 35 (5 7) 2 (0 5) t t t t F (1) 由 t v F m d d = 得 = F t m v d 1 d (2) 在 0→5s 内 2 0 0 1 2 d 1 t m t t m v v t t − = = (3) 习题 2-3 图
当=5时: 30(ms-) 在5-7s内再用(2)式 5 351-112.5(4) 当口=7时:v=10+vs=40m·s 再用积分法 在0-5s内,由(3)式积分 即 25 68 再由(4)式 t2+35t-1125 求5得 5 x-x5=1(v +35-112.5 得 x7=x5+73=142(m) 3 2-5设两物体未用绳连接则由牛顿第二定律,沿x方向,对A,有 magsi a-AkA' 对于B,有 mBg SI a--AkBmgcosa =mga 由此得 a4=g(sna- Aka cOSa)=98(sn30°-0.15×cos30°)=363m2 an=g(sna- coS a)=98sn30°-0.21×cos30°)=3.12ms2 (1)如图所示,A在下,B在上。由于a4>aB。 所以绳被拉紧,二者一起下滑,而aA=aB=a。以 7和T”分别表示绳对A和B的拉力(T=T),则由牛顿 第二定律, 沿x方向 Xf A: m,gsn a-Hkmg cosa-T=ma 习题2-5图
10 当 t=5 时： 30(m s ) 25 1 5 0 − = + = m v v 在 5-7s 内再用（2）式 35 112.5 2 5 ( 5 35)d 1 2 5 − 5 = − + = − + − t t t t m v v t t (4) 当 t=7 时： 10 40(m s ) 1 7 5 − v = + v = 再用积分法： = x = v t t x v , d d d d (5) 在 0-5s 内，由（3）式积分 t t m x x v )d 1 ( 5 0 2 5 − 0 = 0 + 0 即 (m) 3 2 68 3 125 x5 = x0 + 25 + = 再由（4）式 35 112.5 2 5 2 vt = v5 − t + t − 求 5 得 − = − + − 7 5 2 7 5 5 35 112.5)d 2 5 x x (v t t t 得 142(m) 3 1 x7 = x5 + 73 = 2-5 设两物体未用绳连接则由牛顿第二定律，沿 x 方向，对 A，有 mA g − Amg = mAaA sin cos k 对于 B，有 mB g − Bmg = mBaB sin cos k 由此得 2 = (sin − k A cos ) = 9.8(sin 30 − 0.15cos30) = 3.63m/s aA g 2 = (sin − k B cos ) = 9.8(sin 30 − 0.21cos30) = 3.12m/s aB g （1）如图所示，A 在下，B 在上。由于 aA aB 。 所以绳被拉紧，二者一起下滑，而 aA = aB = a 。以 T和T 分别表示绳对 A 和 B 的拉力 (T = T) ，则由牛顿 第二定律， 沿 x 方向 对 A： mAgsin −kAmgcos −T = mAa 习题 2-5 图
X B: mosin a-Akgmgcosa+T=mga 由此得 a=gsin a cosa m t m 9.8×sin300.15×1.5+0.21×2.85 98×cos30 329(ms2) (2)图中绳中张力为 T=m,gsin a-ukmgcosa-maa =1.5×98×sn300-0.15×1.5×9.8×c0s300-1.5×3.29=0.51(N) (3)如果互换位置,A在上,B在下,则由于a4>aB,连接绳子将松弛,因而7=0,此 时AB的加速度即 3.63(mS2) 2-6当漏斗转速较小时,m有下滑趋势,小物体受最大静摩擦力∫m方向向上,如图所示。 对小物体,由牛顿第二定律 x a]: Nsin 8-f, cos 0=mo minr y la]: Ncos+f, sin 8-mg =0 还有 f=u N 联立解以上各式,可得 8-A cos0)g (cos0+us sin O)r 习题2-6图 或 I(sin 8 0)g V(cos0+us sin O)r 当n足够大时,小物体将有上滑趋势,它将受到向下的静摩擦力,即∫的方向与图26中 所示的方向相反。与上类似分析可得最大转速为 I(sin 8-us cos0 rV(cos+us sin O)r 总起来讲,小物体在漏斗壁上不动,转速n应满足的条件是 n≥n 11
11 对 B： mB gsin −kBmgcos +T = mBa 由此得 3.29(m/s ) 9.8 cos30 1.5 2.85 0.15 1.5 0.21 2.85 9.8 sin 30 sin cos 2 k k = + + = − + + = − g m m m m a g a A B A A B B （2）图中绳中张力为 1.5 9.8 sin 30 0.15 1.5 9.8 cos30 1.5 3.29 0.51(N) sin cos k = − − = T = mA g − AmA g − mAa （3）如果互换位置，A 在上，B 在下，则由于 aA aB ，连接绳子将松弛，因而 T=0，此 时 AB 的加速度即 3.63(m/s ), 3.12(m/s ) 2 2 = = = aA = aA aB aB 2-6 当漏斗转速较小时，m 有下滑趋势，小物体受最大静摩擦力 m f 方向向上，如图所示。 对小物体，由牛顿第二定律 x 向： N f m r m min 2 sin − cos = y 向： Ncos + fm sin −mg = 0 还有 fm = sN 联立解以上各式，可得 r g (cos sin ) (sin cos ) s s min + − = 或 r g (cos sin ) (sin cos ) 2 1 s s min + − = 当 n 足够大时，小物体将有上滑趋势，它将受到向下的静摩擦力，即 m f 的方向与图 2.6 中 所示的方向相反。与上类似分析可得最大转速为 r g n (cos sin ) (sin cos ) 2 1 s s max + − = 总起来讲，小物体在漏斗壁上不动，转速 n 应满足的条件是 nmax n nmin 习题 2-6 图
2-7设圆柱与绳索间的摩擦力为f,绳对重物m的拉力T1,m和m2对地加速度分别为a1 a2,对m、m2列出方程 mig-T=ma, f-m28=m2a2=m2(a1-a) 联立解出: m 题2-7图 +m (m1-m2)8-m2a + m (2g-a) 2-8质点在x、y两个方向都是匀加速直线运动。 F=6i-7j=ma, i+ma v=(v +a ti+(v +a,Dj 5-7 j(m-S) F=(vs[+2 2)+-a,12j =(-2)x216 2-9f=-kv=m dv (1)积分得v=vem d (2)v=,=v0e
12 2-7 设圆柱与绳索间的摩擦力为 f，绳对重物 m1 的拉力 T1，m1和 m2 对地加速度分别为 a1、 a2，对 m1、m2 列出方程 = − = = − − = T f f m g m a m a a m g T m a ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 联立解出： (2 ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 g a m m m m f T m m m m g m a a m m m m g m a a − + = = + − − = + − + = 2-8 质点在 x、y 两个方向都是匀加速直线运动。 (m) 8 7 4 13 2 16 7 2 1 2 16 6 2 1 ( 2) 2 2 1 ) 2 1 ( (m s ) 8 7 4 5 ) 7 ) ( 6 ( 2 ( ) ( ) 6 7 2 2 2 2 -1 0 0 0 i j i j r v t a t i a t j i j t j m t i m v v a t i v a t j F i j ma i ma j x x y x x y y x y = − − − = − + = + + = − − − = − + + = + + + = − = + 2-9 t v f kv m d d = − = = − = − v v t t m k v v t m k v v 0 0 d d d d （1）积分得 t m k v v − = e0 （2） t m k v t x v − = = e d d 0 习题 2-7图