山西移源宇院 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 第四章 导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
山色秘源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 4.1导热问题数值求解的基本 思想 数值解法的基本思想： 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 点（称为节点）的温度近似值来代替物体内实际连续的 温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各 节点温度值的求解问题 对各离散节点建立代数离散方程，将导热微分方程 的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法：有限差分法(finite-difference)、有限元 法(finite-element)、边界元法(boundary- element) 2
2 4.1 导热问题数值求解的基本 思想 数值解法的基本思想: 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的 温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各 节点温度值的求解问题， 对各离散节点建立代数离散方程，将导热微分方程 的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元 法 （ finite-element ） 、 边 界 元 法 （ boundaryelement）
山多能源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY a 有限差分的数学基础是用差商代替 微商（导数） 。 几何意义是用函数在某区域内的 平均变化率代替函数的真实变化 率。 \X0 X 图中用ToT、T2表示连续的温度场万；x为步长，它将区域的X方 向划分为有限个数的区域，△xo△x△x2,它们可以相等，也可 以不相等。当△x相等时，T处的真实变化率a可以用平均变化率b、G 或d来表示，其中b、c和d分别表示三种不同差分格式下的温度随时间 的变化率
有限差分的数学基础是用差商代替 微商（导数）。 几何意义是用函数在某区域内的 平均变化率代替函数的真实变化 率。 Δ Δx1Δx2 Δx3 x0 x T T3 T T2 1 T0 b d c a 图中用T0、T1、T2…表示连续的温度场T；Δx为步长，它将区域的x方 向划分为有限个数的区域，Δx0、Δx1、Δx2…，它们可以相等，也可 以不相等。当Δx相等时，T1处的真实变化率a可以用平均变化率b、c 或d来表示，其中b、c和d分别表示三种不同差分格式下的温度随时间 的变化率
山多破源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 为向后差分格式 dT1T(x)-T(x,-△x) a T dx △x c为向前差分格式 dTT(x+△x)-T(x) dx △x d为中心差分格式 △X0 △X1△X2AX3 X dTiT(x+Ax)-T(x-Ax) dx 2△x d2TT(x+△x)-2T(x)+T(x-△x) 对于二阶微商的差分格式 dx2 (△x)2
b为向后差分格式 x T x T x x dx dT − − ( ) ( ) 1 1 1 c为向前差分格式 x T x x T x dx dT − ( ) ( ) 1 1＋ 1 d为中心差分格式 x T x x T x x dx dT + − − 2 ( ) ( ) 1 1 1 对于二阶微商的差分格式 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) x T x x T x T x x dx d T + − + − Δ Δx1Δx2 Δx3 x0 x T T3 T T2 1 T0 b d c a
山多移源宇花 SHANXI INSTITUTE OF ENEROY 采用这样的处理之后，反映温度场随时间、空间连续变 化的微分方程就可以用反映离散点间温度线性变化规律 的代数方程来表示。 当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之后，我们 就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表 示温度场的连续的温度分布。 导热问题进行数值求解时要采取三个步骤，即研究区域 的离散化；离散点（节点）差分方程的建立；节点方程 (代数方程)的求解
采用这样的处理之后，反映温度场随时间、空间连续变 化的微分方程就可以用反映离散点间温度线性变化规律 的代数方程来表示。 当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之后，我们 就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表 示温度场的连续的温度分布。 导热问题进行数值求解时要采取三个步骤，即研究区域 的离散化；离散点（节点）差分方程的建立；节点方程 （代数方程）的求解