第5章数据分布特征的描述 【学习目标】 本章主要介绍了数据分布特征的描述的基本理论,包括平均指标 和变异指标的基本概念、种类以及各种计算方法,计算和应用平均指 标应注意的问题等。通过学习,使学习者能够掌握数据分布的集中趋 势和离散特征,为经济管理服务。 【学习要求】 通过本章的学习,要求理解并掌握平均指标和变异指标的基本概 念,熟练掌握各种计算方法,明确计算和运用平均指标应注意的问题 等等。 【学习内容】 统计数据分布的特征,可以从三个方面进行测度和描述:一是分 布的集中趋势,反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度,如算术平 均数:二是分布的离中趋势,反映各数据远离其中心值的程度,如标 准差:三是分布的偏态和峰度,反映数据分布的形状。这三个方面分 别反映了数据分布特征的不同侧面,第一、二方面是主要的。本章重 点讨论第一、第二两方面代表值的计算方法、特点及其应用场合 51集中趋势——数值平均数 集中趋势是指一组数据向其中心值靠拢的倾向,测度集中趋势也 就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。取得集中趋势代表值的方 法通常有两种:一是从总体各单位变量值中抽象出具有一般水平的量, 这个量不是各个单位的具体变量值,但又要反映总体各单位的一般水 平,这种平均数称为数值平均数。数值平均数有算术平均数、调和平 均数、几何平均数等形式。二是先将总体各单位的变量值按一定顺序 排列,然后取某一位置的变量值来反映总体各单位的一般水平,把这
第 5 章 数据分布特征的描述 【学习目标】 本章主要介绍了数据分布特征的描述的基本理论，包括平均指标 和变异指标的基本概念、种类以及各种计算方法，计算和应用平均指 标应注意的问题等。通过学习，使学习者能够掌握数据分布的集中趋 势和离散特征，为经济管理服务。 【学习要求】 通过本章的学习，要求理解并掌握平均指标和变异指标的基本概 念，熟练掌握各种计算方法，明确计算和运用平均指标应注意的问题 等等。 【学习内容】 统计数据分布的特征，可以从三个方面进行测度和描述：一是分 布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度，如算术平 均数；二是分布的离中趋势，反映各数据远离其中心值的程度，如标 准差；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分 别反映了数据分布特征的不同侧面，第一、二方面是主要的。本章重 点讨论第一、第二两方面代表值的计算方法、特点及其应用场合。 5.1 集中趋势——数值平均数 集中趋势是指一组数据向其中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也 就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。取得集中趋势代表值的方 法通常有两种：一是从总体各单位变量值中抽象出具有一般水平的量， 这个量不是各个单位的具体变量值，但又要反映总体各单位的一般水 平，这种平均数称为数值平均数。数值平均数有算术平均数、调和平 均数、几何平均数等形式。二是先将总体各单位的变量值按一定顺序 排列，然后取某一位置的变量值来反映总体各单位的一般水平，把这
个特殊位置上的数值看作是平均数,称作位置平均数。位置平均数有 众数、中位数、四分位数等形式 51.1算术平均数 算术平均数,是集中趋势测度中最重要的一种,它是所有平均数 中应用最广泛的平均数。因为它的计算方法是与许多社会经济现象中 个别现象与总体现象之间存在的客观数量关系相符合的。 例如,企业职工的工资总额就是各个职工工资额的总和,职工的 平均工资必等于职工的工资总额与职工总人数之比。所以,算术平均 数的基本公式应该是 算术平均数= 总体标志总量(变量值总量) 总体单位总量(变量值个数) 算术平均数一般就称为平均数(mean)。其定义是:观察值的总和 除以观察值个数的商。在已知研究对象的总体标志总量及总体单位总 量时,可直接利用上式计算。例如,某企业某月的工资总额为680000 元,职工总数为1000人,则: 该企业职工月平均工资=8009680(元) 1000 利用上式计算时,要求各变量值必须是同质的,分子与分母必须 属于同一总体,即公式的分子是分母具有的标志值,分母是分子的承 担者。在实际工作中,就手工计算而言,由于所掌握的统计资料的不 同,利用上述公式进行计算时,可分为简单算术平均数和加权算术平 均数两种 1.简单算术平均数( Simple Arithmetic Mean) 根据未经分组整理的原始数据计算的均值。设一组数据为 xn,则简单算术平均数的计算公式如下 Fx1+x2+…+xn_∑x (5-1) 例5-1据南方人才服务中心调查,从事IT行业的从业人员年薪 在400005000元之间,表5-1的数据是IT从业人员年薪的一个样本 表5-1 24名∏从业人员年薪资料表 00486004995048800 499005135054600
个特殊位置上的数值看作是平均数，称作位置平均数。位置平均数有 众数、中位数、四分位数等形式。 5.1.1 算术平均数 算术平均数，是集中趋势测度中最重要的一种，它是所有平均数 中应用最广泛的平均数。因为它的计算方法是与许多社会经济现象中 个别现象与总体现象之间存在的客观数量关系相符合的。 例如，企业职工的工资总额就是各个职工工资额的总和，职工的 平均工资必等于职工的工资总额与职工总人数之比。所以，算术平均 数的基本公式应该是： 算术平均数= ( ) ( ) 总体单位总量 变量值个数 总体标志总量 变量值总量 算术平均数一般就称为平均数（mean）。其定义是：观察值的总和 除以观察值个数的商。在已知研究对象的总体标志总量及总体单位总 量时，可直接利用上式计算。例如，某企业某月的工资总额为 680000 元，职工总数为 1000 人，则： 该企业职工月平均工资= 1000 680000 =680（元） 利用上式计算时，要求各变量值必须是同质的，分子与分母必须 属于同一总体，即公式的分子是分母具有的标志值，分母是分子的承 担者。在实际工作中，就手工计算而言，由于所掌握的统计资料的不 同，利用上述公式进行计算时，可分为简单算术平均数和加权算术平 均数两种。 1. 简单算术平均数（Simple Arithmetic Mean） 根据未经分组整理的原始数据计算的均值。设一组数据为 x1，x1，… xn，则简单算术平均数的计算公式如下： n x n x x x x n ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ 1 2 （5–1） 例 5–1 据南方人才服务中心调查，从事 IT 行业的从业人员年薪 在 40000-55000 元之间，表 5–1 的数据是 IT 从业人员年薪的一个样本： 表 5–1 24 名 IT 从业人员年薪资料表 49100 48600 49950 48800 47200 49900 51350 54600
49300512005100 51400518004960053400 4870050300490 48900486505130051900 计算IT从业人员的平均年薪。 根据公式计算如下: x 平均年薪x=2 49100+49300+…+53400+51900 =5021458(元) 2.加权算术平均数( Weighted Arithmetic Mean) 根据分组整理的数据计算的算术平均数。其计算公式为: x=x+x2/2+…+xn/=2可 (5-2) f1+/2 A 式中:∫代表各组变量值出现的频数 例5-2以表5-2为例,计算人均日产量。计算表见表5-2 解: 表5-2某企业50名工人加工零件均值计算表 频数∫ 105~110 322.5 12.5 115~120 117.5 940.0 120~125 17150 1275 12750 132.5 795.0 135~140 137.5 550.0 平均日产量∑x_6160 ∑50=1232件) 这种根据已分组整理的数据计算的算术平均数就称为加权算术平 均数。这时,算术平均数的大小,不仅取决于研究对象的变量值,而 且受各变量值重复出现的频数(f)或频率(f/∑f)大小的影响,如 果某一组的频数或频率较大,说明该组的数据较多,那么该组数据的 大小对算术平均数的影响就大,反之则小。可见各组频数的多少(或
49300 48700 51200 50300 51000 49000 49400 49800 51400 48900 51800 48650 49600 51300 53400 51900 计算 IT 从业人员的平均年薪。 根据公式计算如下： 50214.58( ) 24 1 49100 49300 53400 51900 平均年薪 = 元 + + + + = = = n x n i i x 2. 加权算术平均数（Weighted Arithmetic Mean） 根据分组整理的数据计算的算术平均数。其计算公式为： f xf f f f x f x f x f x n n n = + + + + + + 1 2 ＝ 1 1 2 2 （5–2） 式中：f 代表各组变量值出现的频数。 例 5–2 以表 5–2 为例，计算人均日产量。计算表见表 5–2。 解： 表 5–2 某企业 50 名工人加工零件均值计算表 按零件数分组 组中值 x 频数 f xf 105～110 110～115 115～120 120～125 125～130 130～135 135～140 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5 132.5 137.5 3 5 8 14 10 6 4 322.5 562.5 940.0 1715.0 1275.0 795.0 550.0 合 计 –– 50 6160.0 平均日产量＝ ＝ ＝123.（件） 2 50 6160 f xf 这种根据已分组整理的数据计算的算术平均数就称为加权算术平 均数。这时，算术平均数的大小，不仅取决于研究对象的变量值，而 且受各变量值重复出现的频数（f）或频率（f／∑f）大小的影响，如 果某一组的频数或频率较大，说明该组的数据较多，那么该组数据的 大小对算术平均数的影响就大，反之则小。可见各组频数的多少（或
频率的高低)对平均的结果起着一种权衡轻重的作用,因而这一衡量 变量值相对重要性的数值称为权数。这里所谓权数的大小,并不是以 权数本身值的大小而言的,而是指各组单位数占总体单位数的比重 即权数系数(f/∑f)。权数系数亦称为频率,是一种结构相对数 当然,利用组中值作为本组平均值计算算术平均数,是在各组内 的标志值分布均匀的假定下。计算结果与未分组数列的相应结果可能 会有一些偏差,应用时应予以注意。在统计分析过程中,如果搜集到 的是经过初步整理的次级数据,或数据要求不很精确的原始数据资料 可用此法计算均值。如果要求结果十分精确,那么需用原始数据的全 部实际信息,如果计算量很大,可借助计算机的统计功能。 如果是计算相对数的平均数,则应符合所求的相对数本身的公式, 将分子视为总体标志总量,分母视为总体单位总量 例5-3某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成程序资料 如表5-3,计算平均产值计划完成程度。 平均产值计划完成程度实际完成产值∑x 计划产值∑f 26175 =10512% 24900 表5-3某工业公司产值完成情况表 组中值 计划产值实际产值 值计划完成程度 (%)企业数(个(万元)(万元) 2 2500 110~120 115 5060 合计 24900 26175 计划完成相对数的计算公式是实际完成数与计划任务数之比,因 此,平均计划完成程度的计算只能是所有企业的实际完成数与其计划 任务数之比,不能把各个企业的计划完成百分数简单平均 3.算术平均数性质 算术平均数在统计学中具有重要的地位,它是进行统计分析和统 计推断的基础。首先,从统计思想上看,它是一组数据的重心所在
频率的高低）对平均的结果起着一种权衡轻重的作用，因而这一衡量 变量值相对重要性的数值称为权数。这里所谓权数的大小，并不是以 权数本身值的大小而言的，而是指各组单位数占总体单位数的比重， 即权数系数（f／∑f）。权数系数亦称为频率，是一种结构相对数。 当然，利用组中值作为本组平均值计算算术平均数，是在各组内 的标志值分布均匀的假定下。计算结果与未分组数列的相应结果可能 会有一些偏差，应用时应予以注意。在统计分析过程中，如果搜集到 的是经过初步整理的次级数据，或数据要求不很精确的原始数据资料 可用此法计算均值。如果要求结果十分精确，那么需用原始数据的全 部实际信息，如果计算量很大，可借助计算机的统计功能。 如果是计算相对数的平均数，则应符合所求的相对数本身的公式， 将分子视为总体标志总量，分母视为总体单位总量。 例5–3 某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成程序资料 如表 5–3，计算平均产值计划完成程度。 ＝ ＝ ％ ＝ 计划产值 实际完成产值 平均产值计划完成程度＝ 105.12 24900 26175 f xf 表 5–3 某工业公司产值完成情况表 产值计划完成程度 （％） 组中值 （％） x 企业数（个） 计划产值 （万元） f 实际产值 （万元） xf 80～90 90～100 100～110 110～120 85 95 105 115 2 3 10 3 800 2500 17200 4400 680 2375 18060 5060 合计 - 18 24900 26175 计划完成相对数的计算公式是实际完成数与计划任务数之比，因 此，平均计划完成程度的计算只能是所有企业的实际完成数与其计划 任务数之比，不能把各个企业的计划完成百分数简单平均。 3. 算术平均数性质 算术平均数在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统 计推断的基础。首先，从统计思想上看，它是一组数据的重心所在
是数据误差相互抵消后的必然性结果。比如对同一事物进行多次测量, 若所得结果不一致,可能是由于测量误差所致,也可能是其他因素的 偶然影响,利用算术平均数作为其代表值,则可以使误差相互抵消, 反映出事物必然性的数量特征。其次,它具有下面一些重要的数学性 质,这些数学性质在实际工作中有着广泛的应用(如在相关性分析和 方差分析及建立回归方程中),同时也体现了算术平均数的统计思想 1.各变量值与其算术平均数的离差之和等于零,即∑(x-x)f=0 2.各变量值与其算术平均数的离差平方和最小,即∑ -min 4.利用计算工具求算术平均数 (1).利用计算器计算 对于未整理的原始数据或已整理分组的数列,均可利用计算器的 统计功能计算算术平均数。需要特别注意的是,当资料为变量数列时 定要遵循以下输入顺序:先输入变量值,然后输入乘号键,接下来 输入频数值,绝对不能颠倒次序 (2).利用计算机计算 运用计算机技术,不但能使人们从大量繁杂的手工处理数据的工 作中解脱出来,而且还可能大大提高对统计数据的利用率。虽然功能 强大的统计软件包在一般人使用的电脑上没有安装,但使用“ofce 软件的用户超过90%,而用“offe”软件中的“ excel”组件足可以及 时、准确、完整地将有关统计常用的基本统计量(如本章的算术平均 数)等迅速提供给人们 下面举一个简单的例子说明利用“ excel”计算算术平均数的步骤。 如,计算某班上学期期末考试各科平均成绩。 方法 第一步打开“ excel”,输入全班每位同学各科考试成绩(一般以 每行记录一名学生的各科成绩,也可以每列记录一名学生的各科成 绩) 第二步选择(单击)“工具”下拉菜单; 第三步选择(单击)“数据分析”选项 第四步从弹出的“分析工具”中选择(单击)“描述统计”并单 击“确定 第五步在对话框中的“输入区域”框内键入要计算的单元格区
是数据误差相互抵消后的必然性结果。比如对同一事物进行多次测量， 若所得结果不一致，可能是由于测量误差所致，也可能是其他因素的 偶然影响，利用算术平均数作为其代表值，则可以使误差相互抵消， 反映出事物必然性的数量特征。其次，它具有下面一些重要的数学性 质，这些数学性质在实际工作中有着广泛的应用（如在相关性分析和 方差分析及建立回归方程中），同时也体现了算术平均数的统计思想。 1．各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即∑ (x − x) f =0； 2 ．各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，即∑ x x f 2 ( − ) =min。 4. 利用计算工具求算术平均数 （1）．利用计算器计算 对于未整理的原始数据或已整理分组的数列，均可利用计算器的 统计功能计算算术平均数。需要特别注意的是，当资料为变量数列时， 一定要遵循以下输入顺序：先输入变量值，然后输入乘号键，接下来 输入频数值，绝对不能颠倒次序。 （2）．利用计算机计算 运用计算机技术，不但能使人们从大量繁杂的手工处理数据的工 作中解脱出来，而且还可能大大提高对统计数据的利用率。虽然功能 强大的统计软件包在一般人使用的电脑上没有安装，但使用“office” 软件的用户超过 90％，而用“office”软件中的“excel”组件足可以及 时、准确、完整地将有关统计常用的基本统计量（如本章的算术平均 数）等迅速提供给人们。 下面举一个简单的例子说明利用“excel”计算算术平均数的步骤。 如，计算某班上学期期末考试各科平均成绩。 方法一： 第一步 打开“excel”，输入全班每位同学各科考试成绩（一般以 每行记录一名学生的各科成绩，也可以每列记录一名学生的各科成 绩）； 第二步 选择（单击）“工具”下拉菜单； 第三步 选择（单击）“数据分析”选项； 第四步 从弹出的“分析工具”中选择（单击）“描述统计”并单 击“确定”； 第五步 在对话框中的“输入区域”框内键入要计算的单元格区