第7章相关与回归分析 【学习目标】 本章主要介绍了相关分析和回归分析的基本理论。包括确定 相关关系的判别方法以及配合回归直线及曲线的条件,掌握建立回归 方程和相关回归分析需要注意的问题,达到学会预测的目的等 【基本要求】 通过本章的学习,使学习者理解相关分析和回归分析的概念,明 确相关关系的判别方法:定性判断和定量判断;掌握配合回归直线方 程的条件建立回归方程的方法,学会预测,为经济管理服务等。 【学习内容】 相关与回归( Correlation and Regression)是现代统计学中非常重 要的内容,相关与回归分析是处理变量数据之间相关关系的一种统计 方法。通过相关分析,可以判断两个或两个以上的变量之间是否存在 相关关系、相关关系的方向、形态及相关关系的密切程度;回归分析 是对具有相关关系现象间数量变化的规律性进行测定,确立一个回归 方程式,即经验公式,并对所建立的回归方程式的有效性进行分析 判断,以便进一步进行估计和预测。现在,相关与回归分析己经广泛 应用到企业管理、商业决策、金融分析以及自然科学和社会科学等许 多研究领域。 7.1相关分析 7.1.1.相关分析的概念、种类 1.相关分析的概念 现实世界中的各种现象之间相互联系、相互制约、相互依存,某 些现象发生变化时,另一现象也随之发生变化。如商品价格的变化会
第 7 章 相关与回归分析 【学习目标】 本章主要介绍了相关分析和回归分析的基本理论。包括确定 相关关系的判别方法以及配合回归直线及曲线的条件，掌握建立回归 方程和相关回归分析需要注意的问题，达到学会预测的目的等。 【基本要求】 通过本章的学习，使学习者理解相关分析和回归分析的概念，明 确相关关系的判别方法：定性判断和定量判断；掌握配合回归直线方 程的条件建立回归方程的方法，学会预测，为经济管理服务等。 【学习内容】 相关与回归（Correlation and Regression）是现代统计学中非常重 要的内容，相关与回归分析是处理变量数据之间相关关系的一种统计 方法。通过相关分析，可以判断两个或两个以上的变量之间是否存在 相关关系、相关关系的方向、形态及相关关系的密切程度；回归分析 是对具有相关关系现象间数量变化的规律性进行测定，确立一个回归 方程式，即经验公式，并对所建立的回归方程式的有效性进行分析、 判断，以便进一步进行估计和预测。现在，相关与回归分析已经广泛 应用到企业管理、商业决策、金融分析以及自然科学和社会科学等许 多研究领域。 7.1 相关分析 7.1.1. 相关分析的概念、种类 1. 相关分析的概念 现实世界中的各种现象之间相互联系、相互制约、相互依存，某 些现象发生变化时，另一现象也随之发生变化。如商品价格的变化会
刺激或抑制商品销售量的变化;劳动力素质的高低会影响企业的效益; 直接材料、直接人工的价格变化对产品销售成本有直接的影响,居民 收入的高低会影响对该企业产品的需求量等等。研究这些现象之间的 依存关系,找出它们之间的变化规律,是对经搜集、整理过的统计数 据进行数据分析,为客观、科学地统计提供依据。 现象间的依存关系大致可以分成两种类型:一类是函数关系,另 类是相关关系 (1).函数关系。函数是指现象之间是一种严格的确定性的依存关 系。表现为某一现象发生变化另一现象也随之发生变化,而且有确定 的值与之相对应。例如,银行的1年期存款利率为年息1.98%,存 入的本金用x表示,到期本息用y表示,则=x+1.98%x(不考虑利息 税);再如,某种股票的成交额Y与该股票的成交量X、成交价格P之 间的关系可以用Y=PX来表示,这都是函数关系。 (2).相关关系。相关关系是指客观现象之间确实存在的,但数量 上不是严格对应的依存关系。在这种关系中,对于某一现象的每一数 值,可以有另一现象的若干数值与之相对应。例如成本的高低与利润 的多少有密切关系,但某一确定的成本与相对应的利润却是不确定的 这是因为影响利润的因素除了成本外,还有价格、供求平衡、消费嗜 好等因素以及其他偶然因素的影响;再如,生育率与人均GDP的关系 也属于典型的相关关系:人均GDP高的国家,生育率往往较低,但二 者没有惟一确定的关系,这是因为除了经济因素外,生育水平还受教 育水平、城市化水平以及不易测量的民族风俗、宗教和其他随机因素 的共同影响。 具有相关关系的某些现象可表现为因果关系,即某一或若干现象 的变化是引起另一现象变化的原因,它是可以控制、给定的值,将其 称为自变量:另一个现象的变化是自变量变化的结果,它是不确定的 值,将其称为因变量。如资金投入与产值之间,前者为自变量,后者 为因变量。但具有相关关系的现象并不都表现为因果关系,如生产费 用和生产量、商品的供求与价格等。这是由于相关关系比因果关系包 括的范围更广泛。 相关关系和函数关系既有区别,又有联系。有些函数关系往往因 为有观察或测量误差以及各种随机因素的干扰等原因,在实际中常常 通过相关关系表现出来:而在研究相关关系时,其数量间的规律性了 解得越深刻的时候,则相关关系越有可能转化为函数关系或借助函数 关系来表现 2.相关关系类型
刺激或抑制商品销售量的变化；劳动力素质的高低会影响企业的效益； 直接材料、直接人工的价格变化对产品销售成本有直接的影响，居民 收入的高低会影响对该企业产品的需求量等等。研究这些现象之间的 依存关系，找出它们之间的变化规律，是对经搜集、整理过的统计数 据进行数据分析，为客观、科学地统计提供依据。 现象间的依存关系大致可以分成两种类型： 一类是函数关系，另 一类是相关关系。 (1)．函数关系。函数是指现象之间是一种严格的确定性的依存关 系。表现为某一现象发生变化另一现象也随之发生变化，而且有确定 的值与之相对应。例如，银行的 1 年期存款利率为年息 1.98％，存 入的本金用 x 表示，到期本息用 y 表示，则 y=x+1.98%x（不考虑利息 税）；再如，某种股票的成交额 Y 与该股票的成交量 X、成交价格 P 之 间的关系可以用 Y=PX 来表示，这都是函数关系。 (2)．相关关系。相关关系是指客观现象之间确实存在的，但数量 上不是严格对应的依存关系。在这种关系中，对于某一现象的每一数 值，可以有另一现象的若干数值与之相对应。例如成本的高低与利润 的多少有密切关系，但某一确定的成本与相对应的利润却是不确定的。 这是因为影响利润的因素除了成本外，还有价格、供求平衡、消费嗜 好等因素以及其他偶然因素的影响；再如，生育率与人均 GDP 的关系 也属于典型的相关关系：人均 GDP 高的国家，生育率往往较低，但二 者没有惟一确定的关系，这是因为除了经济因素外，生育水平还受教 育水平、城市化水平以及不易测量的民族风俗、宗教和其他随机因素 的共同影响。 具有相关关系的某些现象可表现为因果关系，即某一或若干现象 的变化是引起另一现象变化的原因，它是可以控制、给定的值，将其 称为自变量；另一个现象的变化是自变量变化的结果，它是不确定的 值，将其称为因变量。如资金投入与产值之间，前者为自变量，后者 为因变量。但具有相关关系的现象并不都表现为因果关系，如生产费 用和生产量、商品的供求与价格等。这是由于相关关系比因果关系包 括的范围更广泛。 相关关系和函数关系既有区别，又有联系。有些函数关系往往因 为有观察或测量误差以及各种随机因素的干扰等原因，在实际中常常 通过相关关系表现出来；而在研究相关关系时，其数量间的规律性了 解得越深刻的时候，则相关关系越有可能转化为函数关系或借助函数 关系来表现。 2. 相关关系类型
现象之间的相关关系从不同的角度可以区分为不同类型。 (1)按照相关关系涉及变量(或因素)的多少分为 单相关——又称一元相关,是指两个变量之间的相关关系,如广 告费支出与产品销售量之间的相关关系 复相关—一又称多元相关,是指三个或三个以上变量之间的相关 关系,如商品销售额与居民收入、商品价格之间的相关关系 偏相关一一在一个变量与两个或两个以上的变量相关的条件下, 当假定其他变量不变时,其中两个变量的相关关系称为。例如,在假 定商品价格不变的条件下,该商品的需求量与消费者收入水平的相关 关系即为偏相关 (2).按照相关形式不同分为 线性相关—一又称直线相关,是指当一个变量变动时,另一变量 随之发生大致均等的变动,从图形上看,其观察点的分布近似地表现 为一条直线;例如,人均消费水平与人均收入水平通常呈线性关系 非线性相关 个变量变动时,另一变量也随之发生变动,但 这种变动不是均等的,从图形上看,其观察点的分布近似地表现为一 条曲线,如抛物线、指数曲线等,因此也称曲线相关。例如,工人加 班加点在一定数量界限内,产量增加,但一旦超过一定限度,产量反 而可能下降,这就是一种非线性关系。 (3).按照相关现象变化的方向不同分为 正相关——当一个变量的值增加或减少,另一个变量的值也随之 增加或减少。如工人劳动生产率提高,产品产量也随之增加:居民的 消费水平随个人所支配收入的增加而增加。 负相关—一当一个变量的值增加或减少时,另一变量的值反而减 少或增加。如商品流转额越大,商品流通费用越低;利润随单位成本 的降低而增加 4).按相关程度分为 完全相关——当一个变量的数量完全由另一个变量的数量变化所 确定时,二者之间即为完全相关。例如,在价格不变的条件下,销售 额与销售量之间的正比例函数关系即为完全相关,此时相关关系便成 为函数关系,因此也可以说函数关系是相关关系的一个特例 不完全相关一一又称零相关,当变量之间彼此互不影响,其数量 变化各自独立时,则变量之间为不相关。例如,股票价格的高低与气 温的高低一般情况下是不相关的 不相关一一如果两个变量的关系介于完全相关和不相关之间,称 为不完全相关。由于完全相关和不相关的数量关系是确定的或相互独
现象之间的相关关系从不同的角度可以区分为不同类型。 (1). 按照相关关系涉及变量（或因素）的多少分为 单相关——又称一元相关，是指两个变量之间的相关关系，如广 告费支出与产品销售量之间的相关关系； 复相关——又称多元相关，是指三个或三个以上变量之间的相关 关系，如商品销售额与居民收入、商品价格之间的相关关系。 偏相关——在一个变量与两个或两个以上的变量相关的条件下， 当假定其他变量不变时，其中两个变量的相关关系称为。例如，在假 定商品价格不变的条件下，该商品的需求量与消费者收入水平的相关 关系即为偏相关。 (2). 按照相关形式不同分为 线性相关——又称直线相关，是指当一个变量变动时，另一变量 随之发生大致均等的变动，从图形上看，其观察点的分布近似地表现 为一条直线；例如，人均消费水平与人均收入水平通常呈线性关系。 非线性相关——一个变量变动时，另一变量也随之发生变动，但 这种变动不是均等的，从图形上看，其观察点的分布近似地表现为一 条曲线，如抛物线、指数曲线等，因此也称曲线相关。例如，工人加 班加点在一定数量界限内，产量增加，但一旦超过一定限度，产量反 而可能下降，这就是一种非线性关系。 (3). 按照相关现象变化的方向不同分为 正相关——当一个变量的值增加或减少，另一个变量的值也随之 增加或减少。如工人劳动生产率提高，产品产量也随之增加；居民的 消费水平随个人所支配收入的增加而增加。 负相关——当一个变量的值增加或减少时，另一变量的值反而减 少或增加。如商品流转额越大，商品流通费用越低；利润随单位成本 的降低而增加。 (4). 按相关程度分为 完全相关——当一个变量的数量完全由另一个变量的数量变化所 确定时，二者之间即为完全相关。例如，在价格不变的条件下，销售 额与销售量之间的正比例函数关系即为完全相关，此时相关关系便成 为函数关系，因此也可以说函数关系是相关关系的一个特例。 不完全相关——又称零相关，当变量之间彼此互不影响，其数量 变化各自独立时，则变量之间为不相关。例如，股票价格的高低与气 温的高低一般情况下是不相关的。 不相关——如果两个变量的关系介于完全相关和不相关之间，称 为不完全相关。由于完全相关和不相关的数量关系是确定的或相互独
立的,因此统计学中相关分析的主要研究对象是不完全相关 7.12.相关关系的测定 要判别现象之间有无相关关系,一是定性分析,二是定量分析。 1.定性分析 定性分析是依据研究者的理论知识、专业知识和实践经验,对客 观现象之间是否存在相关关系,以及有何种相关关系做出判断。并可 在定性认识的基础上,编制相关表、绘制相关图,以便直观地判断现 象之间相关的方向、形态及大致的密切程度 (1).相关表 相关表是一种统计表。它是直接根据现象之间的原始资料,将 变量的若干变量值按从小到大的顺序排列,并将另一变量的值与之对 应排列形成的统计表 例7-1某财务软件公司在全国有许多代理商,为研究它的财务 软件产品的广告投入与销售额的关系,统计人员随机选择10家代理商 进行观察,搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据,并编制成相 关表,见表7-1。 表7-1广告费与月平均销售额相关表单位:万元 年广告费投入 月均销售额 21.2 33.5 52.8 55.4 从表中可以直观地看出,随着广告投入的增加,销售量增加,两 者之间存在一定的正相关关系。 (2).相关图
立的，因此统计学中相关分析的主要研究对象是不完全相关。 7.1.2. 相关关系的测定 要判别现象之间有无相关关系，一是定性分析，二是定量分析。 1. 定性分析 定性分析是依据研究者的理论知识、专业知识和实践经验，对客 观现象之间是否存在相关关系，以及有何种相关关系做出判断。并可 在定性认识的基础上，编制相关表、绘制相关图，以便直观地判断现 象之间相关的方向、形态及大致的密切程度。 (1)．相关表 相关表是一种统计表。它是直接根据现象之间的原始资料，将一 变量的若干变量值按从小到大的顺序排列，并将另一变量的值与之对 应排列形成的统计表。 例 7–1 某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务 软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择 10 家代理商 进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相 关表，见表 7–1。 表 7–1 广告费与月平均销售额相关表 单位：万元 年广告费投入 月均销售额 12.5 15.3 23.2 26.4 33.5 34.4 39.4 45.2 55.4 60.9 21.2 23.9 32.9 34.1 42.5 43.2 49.0 52.8 59.4 63.5 从表中可以直观地看出，随着广告投入的增加，销售量增加，两 者之间存在一定的正相关关系。 (2)．相关图
相关图又称散点图,它是用直角坐标系的x轴代表自变量,y轴代 表因变量,将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来, 用以表明相关点分布状况的图形。根据表7-1的资料可以绘制相关图 (万元)70 据50 40 000 年广告费投入 如图7-1 图7-1广告投入与销售额的相关图 从相关图可以直观地看出,年广告费投入与月平均销售额之间相 关密切,且有线性正相关关系 2.定量分析—相关系数 相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向 但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。著名统计学家卡尔·皮 尔逊设计了统计指标一相关系数。相关系数是用以反映变量之间相 关关系密切程度的统计指标。依据相关现象之间的不同特征,其统计 指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称 为相关系数(相关系数的平方称为判定系数);将反映两变量间曲线相 关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数:将反映多 元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。这里只 介绍相关系数。 相关系数用r表示,它的基本公式为: s n2y-xx2y (7-1) ynzx2-(2x)2yn2y2-(Ey)2 相关系数的值介于-1与+1之间,即-1≤r≤+1。其性质如下 (1),.当p0时,表示两变量正相关,r<0时,两变量为负相关。 (2),当1时,表示两变量为完全线性相关,即为函数关系。 (3).当r=0时,表示两变量间无线性相关关系
相关图又称散点图，它是用直角坐标系的 x 轴代表自变量，y 轴代 表因变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来， 用以表明相关点分布状况的图形。根据表 7–1 的资料可以绘制相关图 如图 7–1。 图 7–1 广告投入与销售额的相关图 从相关图可以直观地看出，年广告费投入与月平均销售额之间相 关密切，且有线性正相关关系。 2. 定量分析–––相关系数 相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向， 但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。著名统计学家卡尔·皮 尔逊设计了统计指标 ––– 相关系数。相关系数是用以反映变量之间相 关关系密切程度的统计指标。依据相关现象之间的不同特征，其统计 指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称 为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相 关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多 元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。这里只 介绍相关系数。 相关系数用 r 表示，它的基本公式为： 2 2 2 2 n x ( x) n y ( y) n xy x y r − − − = （7–1） 相关系数的值介于–1 与+1 之间，即–1≤r≤+1。其性质如下： (1)．当 r>0 时，表示两变量正相关，r<0 时，两变量为负相关。 (2)．当|r|=1 时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。 (3)．当 r=0 时，表示两变量间无线性相关关系。 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 年广告费投入 月均销售额 (万元) (万元)