§3.2渐近展开 §3渐近方法 证明：首先证明{w,(a)} 是一个渐近序列。由4的定义得 f(=)->a,w,(=)=8(=)=0(wz) fe）-∑a,w,e)=awk(a)+h.()=anw-e)+o() 三 所以： w+1(z(ak+1+h,/4%+1)w+1=8k=O(w) 又因为： 1imh/wl=0,且a1≠0， 故存在一个20的￡邻域使z在其中时： ak+1+h/wk+1≠0
证明： 首先证明 w z n ( ) 是一个渐近序列。由 ak 的定义得 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k n n k k n f z a w z g z o w = − = = § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n n k k k k k k n f z a w z a w z h z a w z o w + + + + + = − = + = + 所以： 1 1 1 1 ( )( / ) ( ) w z a h w w g o w k k k k k k k + + + + + = = 又因为： 0 1 1 lim / 0, 0, k k k z z h w a + + → = 且 故存在一个 z0 的 邻域使z在其中时： 1 1 / 0 k k k a h w + + +
§3.2渐近展开 §3渐近方法 所以W+1=O(Wk)。由此，各个4k都由这种方式定义得 fe)=∑a,w.(e)+o(w) k=1,2,…,N 五、唯一性 设w,e》是在D中，2→的一个已知渐近序列，若立a,w,(6) 是当z→三。时，f()直到N项的一个渐近展式，则此展式是唯 一的。 注意：这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的 唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐 近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反 过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数
所以 。由此，各个 都由这种方式定义得 1 ( ) ( ) ( ) k n n k n f z a w z o w = = + 1 ( ) w o w k k + = k a k N =1,2, , § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法 五、 唯一性 设 是在D中， 的一个已知渐近序列，若 是当 时， 直到N 项的一个渐近展式，则此展式是唯 一的。 1 ( ) N n n n a w z = z z → 0 f z( ) w z n ( ) 0 z z → 注意：这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的 唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐 近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反 过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数
§3.2渐近展开 §3渐近方法 六、幂函数的展式 w(②)=(2-2o”,n=0,1,2,…,在D中， 若当z→zo,对每一个N有： fe)=∑a,(e-o)”+ol(e-)] n=0 则：∑a,e-》”是D中，2→。时，f(2)的一个渐近 幂级数展式，记为 fa)-∑a,(e-》”(a>) n=0 其中一种重要的特殊情形是在D中，当。=∞时，如果 日-立+e”则在D中，当e时7e-≥2 n=0 n=0
的一个渐近 幂级数展式，记为 六、 幂函数的展式 0 0 0 ( ) ( ) [( ) ] N n n n n f z a z z o z z = = − + − 则： 0 0 ( ) ( ) N n n n f z a z z = − 0 0 ( ) N n n n a z z = − 是D中， 时， f z( ) 0 ( ) ( ) , 0,1,2, , n w z z z n n = − = 当 0 对 个 在D 中， 若 z → z , 每一 N 有： § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法 0 z z → (z z → 0 ) 其中一种重要的特殊情形是在D中，当 z0 = 时，如果 0 ( ) ( ) N n n n n a f z o z z − = = + 则在D中，当 z → 时 0 ( ) ~ N n n n a f z = z
§3.3渐近展式的运算 §3渐近方法 本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用 幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。 若在D中，当z→2。时，直到N项有 fe)-a(e-》和8e)-立b.e-y 则： 1.加法：af)+Pg(e)-∑(aa.+pb,Xe-) 2.乘法： a)ga）)-c.e-y,c.=∑ab. n=
§ 3.3 渐近展式的运算 若在D中，当 时，直到N项有 则： 0 z z → 0 0 ( ) ( ) N n n n f z a z z = − 0 0 ( ) ( ) N n n n g z b z z = 和 − 1. 加法： 0 0 ( ) ( ) ( )( ) N n n n n f z g z a b z z = + + − 2. 乘法： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , N N n n n k n k n k f z g z c z z c a b − = = − = § 3 渐近方法 本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用 幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列
§3.3渐近展式的运算 §3渐近方法 3.除法： ege)- 0+42+…+awz b+b2+…+b2v9 b。≠0 即除法为两个函数渐近展开式分别保留到N项相除。 推论： f但4+a6-a8(-)+， g(z)b b≠0
3. 除法： 0 1 0 0 1 ( ) / ( ) , 0 N N N N a a z a z f z g z b b b z b z + + + + + + 即除法为两个函数渐近展开式分别保留到N项相除。 推论： 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 ( ) ( ) , 0 ( ) f z a a b a b z z b g z b b − + − + § 3.3 渐近展式的运算 § 3 渐近方法