西安电子科技大学：《电动力学 Electrodynamics》课程教学资源（课后习题解答）第五章 电磁波的辐射

第五章 电磁波的辐射 1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出E 和B这两部分在真空所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应与库仑场 解：首先将电磁场分成两部分： E=E+E, () B=B +B (2) J=J1+J, (3) 其中L为纵场T为横场所以有： V×E=0 (4) 7×B2=0 (5) V×j2=0 (6) V.E =0 (7) 7.B2=0 (8) 7j2=0 (9) 将(1)(3)代入电荷守恒定律有： 7.j+2=0→7-⑦2+j,) ap=0 (10) 由(9)得： vj+2=0 将(1)(2)(3)代入真空中的麦氏方程组得 :(E2+E)=2 11) 0 Vx(E2+E)=-9 (BL+B) (12) 8t (B2+B)=0 (13) 7×(⑧2+Br)=4L+4%JT+o0a L+650at E (14) 由(11)及(7)式得 V.E=P (15) (13)及(8)式得 7●B=0 (16) 将(16)及(4)式代入(12)得

第五章 电磁波的辐射 1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出 E 和 B 这两部分在真空所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应与库仑场. 解: 首先将电磁场分成两部分:      = + = + = + (3) (2) (1) T J J J B B B E E E L l t l           其中 L 为纵场 T 为横场.所以有:              =   =   =  =  =  =  0 (9) 0 (8) 0 (7) 0 (6) 0 (5) 0 (4) T T L L L J B E J B E       将 （1）（3） 代入电荷守恒定律有: 0 ( ) = 0   =    + +     +  t J J t J L      （10） 由（9）得: =      + 0 t J   将（1）（2）（3）代入真空中的麦氏方程组得 ( ) (11) 0 ( ) ( ) (12) ( ) 0 (13) ( ) (14) 0 0 0 0 0 0 E E L B B L E E L t B B L E E L B B J J L L t t           + =      +     + = −     + =          + = + + +      由(11) 及(7)式得: 0     EL =  (15) 由(13)及(8)式得:  • BL = 0  (16) 将(16)及(4)式代入(12)得

V×E,s-B (17) 将(5)式代入(10)式得： +骨a,v--0d+6n-0 (18) at 由(8)式及(4)式得 J+Vx E)=0 8E,=0→7×(J,+80a (19) 由(18)(19)式得 46JL+64E2=常矢 (20) 将(5)式及(20)式代入(14)式得 xB=Ho+Hoo EL+4,JL+6o4ad (21) 若空间有电流为常失，则必产生磁场，所以常失应归入J, 只有 A+6%骨，=0 (22) OET VxB=Ho+Hoo Ot (23) 以上(15)(16)(17)(22)式及(23)式为E和B的横场和纵场，所满足的方程式，由最 后 V.E=P 0 v×E,=- 8t 说明为由空间全部电荷所激发的场，所以为E,库仑场，而E是由全部磁场所激发的，为有 旋场。 2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若P=0,J=0,则E和B可完全有失势A决 定。若取p=0,这时A满足哪两个方程？ 解：在各项同性均匀介质中，￡=常数，4=常数，达朗贝尔方程为：

t B E     = −     (17) 将(5)式代入(10)式得: ( 0  ) = 0     L + EL t J    ( 0 El ) = 0      + t J L   (18) 由（8）式及（4）式得 0 = 0    L +  EL t J    ( 0 ) = 0      L + EL t J    (19) 由（18）（19）式得 0 0 0 L L    J E + =常矢 （20） 将（5）式及（20）式代入（14）式得 +     =  + t E B J T T    0 0 0    L EL t J    0 + 0 0   (21) 若空间有电流为常失,则必产生磁场，所以常失应归入 L J  . 只有 0 0 0 = 0   L + EL t J      (22) t E B J T T T     = +    0 0 0    (23) 以上（15）（16）（17）（22）式及（23）式为 E  和 B  的横场和纵场，所满足的方程式，由最 后            = −   =   t B E EL    0   说明为由空间全部电荷所激发的场，所以为 EL  库仑场，而 E  是由全部磁场所激发的，为有 旋场。 2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若 P=0, J = 0  ,则 E B   和 可完全有失势 A  决 定。 若取  = 0 ，这时 A  满足哪两个方程？ 解：在各项同性均匀介质中，  ＝常数，  ＝常数，达朗贝尔方程为：

v-0-V(V.4+100)=-MoJ c2a27 (1) 720+ v.A=-P (2) 若p=0,J=0,则方程中只含有A和0，若A定，则0可由方程求出。在A和p全定后， 由 E=-Vo- A B=V×A 可求出E和B。 若 p=0,j=0,0=0 由(1)(2)可得 a-10-0 7.A=0 3.证明沿乙轴方向传播的平面电磁波可用失势A(oπ)表示，其中t=1-三，A垂直于 Z轴方向 解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程P8719变为波方程： v2a-1∂2a c2a2-0 720- 1020 =0 c2012 V.A+ 109=0 c2 0t 其平面波解为 A=Aenk-w) p=peilk.-m) 由

         = −    + = −   −    +    − (2) ) (1) 1 ( 1 0 2 2 2 0 2 2 2      A t J c t A t A c A     若 = 0, J = 0,   则方程中只含有 A  和  ，若 A  定，则  可由方程求出。在 A  和  全定后， 由 t A E   = − −    B A   =  可求出 E  和 B  。 若 = 0, J = 0,    = 0 由（1）（2）可得        = =    − 0 0 1 2 2 2 A t A c A    3. 证明沿 Z 轴方向传播的平面电磁波可用失势 A( )  表示，其中 c z  = t − ，A  垂直于 Z 轴方向. 解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程 P187 \1.9 变为波方程 ：          =     + =    − =    − 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c t A c t t A c A       其平面波解为 ( ) ( ) 0 i k x wt i k z wt e A A e  −  − = =         由

100=0 V.A+ c2 O1 得 n=CE元 0 :只要给定A。,则平面波完全可用失势 A=henis-m) 表示， 若平面波沿Z方向，则： A=esm=deou] 由 .A=0→又.(Ae)=(Ve.)A=ik.e.·k=0 A垂直于Z轴。 4.设真空中失势可用复数傅ā(t)立叶展开为 ix0=2[a.e+a'0e] 其中ds(t)是a(t)的复共轭。 （①证明a,0满足谐振子方程4产a@+k:c2a,0=0 (2)当选取规范V·A=0,p=0时，证明kā=0 (3)把E和B用a()和a(t)表示出来 解：(1)A可改写为 i-2a,:ae 若采用洛仑兹规范 0uA.=0 则 7A=0 所以

0 1 2 =     + c t A   得 0 2 0 k A c   =     只要给定 A0  ，则平面波完全可用失势 ( ) 0 i k x wt A A e  − =     表示， 若平面波沿 Z 方向，则： ( ) 0 i k z wt A A e  − =     =       − ( − ) 0 c z i t A e   由  A = 0 (A0 e ) = (e ) A0 = ikz ez  k = 0 ik z ik z z z      A  垂直于 Z 轴。 4. 设真空中失势可用复数傅 a (t) k  立叶展开为 A(x,t)  ＝      +   − k ik x k ik x k a t e a t e       ( ) ( ) * 其中 ( ) * a t k  是 a (t) k  的复共轭。 （1）证明 a (t) k  满足谐振子方程 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 + k c a t = dt d a t k k   （2）当选取规范  A = 0, = 0 k ak = 0    时，证明 (3) 把 E  和 B  用 a (t) k  和 ( ) * a t k  表示出来. 解：（1） A  可改写为 =  = k ik x k A(x,t) (a (t)e   若采用洛仑兹规范  A = 0 则  A=0 所以

a+k2c2a=0 (2)若又.A=00=0时 7.(∑a)ei)=0 所以 ka5=0 (3)电磁波在真空中传播有 VA=0,Vp=0.0uA4=0 由 0,4=0卫ea+器-0 p=f4ew-faed B=vxa=话x1.E=-v0-骨A=-以+nmf 5.设A和p是满足洛仑兹规范的失势和标势 (1)引入一矢量函数E(x,)(赫兹矢量)，若令0=V.E,证明 A=1距 c20t (2)若令p=-V·P,证明Z满足方程 v2Z-1E-c c2 8t 写出在真空中的推迟 (3)证明A和B可通过E用下列公式表出 E=V×(V×E)-c24,P, B=↓0v×E c2 01 解：(1)由洛仑兹规范： v1+0=0. c2 ot 由 p=7.E 代入得

0 2 2 a  + k c a = （2）若  A = 0   = 0 时    =  ( ( ) ) 0 ik x k a t e    所以 k  ak = 0   (3) 电磁波在真空中传播有  A=0,   = 0 .  A = 0 由  A = 0  0 1 2 =     +  c t ike ak  ik x     ik x k i k x wt k a e w c k A e w c         −  =   =   2 ( ) 0 2  B A ik A     =  =  , A ik iwk t E    = − +   = − −  5. 设 A  和  是满足洛仑兹规范的失势和标势 （1） 引入一矢量函数 E(x,t)(  赫兹矢量），若令 E   =   ,证明 t E c A   =   2 1 （2）若令 P,   = − 证明 Z 满足方程 c P t E c Z    0 2 2 2 2 1 = −     − , 写出在真空中的推迟 （3）证明 A  和 B  可通过 E  用下列公式表出 E E c P    0 2 = ( ) −  , E c t B       = 2 1 解：(1) 由洛仑兹规范： 0 1 2 =     + c t A   . 由 E   =   代入得