§3.2渐近展开 §3渐近方法 下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复 平面上进行。 一、渐近序列 设(2)，"(2)，…，"()，是定义在区间D上的连续函数序列 20是D中的一固定点，若对每一个固定的，有 W()=o(w,(=) 则称{"(}为二0点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也 可以是无限项的。 例如： 是对零点的渐近序列。 是对于无穷的渐近序列
§ 3.2 渐近展开 下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复 平面上进行。 一、 渐近序列 设 ，是定义在区间D上的连续函数序列， 是D中的一固定点，若对每一个固定的n，有 0 1 ( ), ( ), , ( ) w z w z w z n 0 z 1 0 ( ) ( ( )) ( ) w z o w z z z n n + = → 则称 为 点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也 可以是无限项的。 例如： w z n ( ) 0 z 是对零点的渐近序列。 2 1, , , z z § 3 渐近方法 2 1 1 1, , , z z 是对于无穷的渐近序列
§3.2渐近展开 §3渐近方法 二、渐近展式 设f(x)是一个给定的函数，而{w,()是z。点的一个渐近序 列，如果对每个固定的整数n,有 f(2)=aw(2)+aw(2)+…+anwn(2)+own(2)]z>2o 那么称此为f(x)在2。点的渐近展式。记为 fa)-∑a,w.(e):→。 n 注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近 展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足 渐近展式的定义式，则当2→o时，取确定的项数会得到 对函数非常好的近似
二、 渐近展式 设 是一个给定的函数，而 是 点的一个渐近序 列，如果对每个固定的整数n，有 那么称此为 在 点的渐近展式。记为 注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近 展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足 渐近展式的定义式，则当 时，取确定的项数n会得到 对函数非常好的近似。 f x( ) w z n ( ) 0 z 0 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ))] n n n f z a w z a w z a w z o w z z z = + + + + → f x( ) 0 z 0 ( ) ( ) n n n f z a w z z z → 0 z z → § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法
§3.2渐近展开 §3渐近方法 例1：求- 当x→∞时的积分值。 x+t 即求x→∞时f(x)的渐近展式。 解：利用分部积分法，多次分部积分 w- =3是+-"a e"'dt (x+ 余项： R=a+则 (1+,) 4 sa+e=a
例1：求 当 x → 时的积分值。 0 ( ) t e dt f x x t − = + 即求 x → 时 f x( ) 的渐近展式。 解： ( ) ( ) 2 0 1 2 3 4 1 2 0 1 ( ) 1 1 2 3 - (-1) ( 1) ( 1)! t t n n n n e dt f x x t n e dt n x x x x x x t − − + + + = − + − + + + + − + + 利用分部积分法，多次分部积分 x ！ ！ ！ ＝ 余项： ( ) ( ) 2 2 1 0 0 1 2 0 ( 1)! ( ) ( 1)! 1 ( 1)! ( 1)! t xy n n n n xy n n e dt n e dy R x n x t y x n n e dy x x − − + + + − + + + = + ⎯⎯⎯→ + + + + = t=xy § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法
§3.2渐近展开 §3渐近方法 因此，取展开式的前项，略去余项，当x>o∞时，其误差 量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为 X>0 注意：这个级数对于有限的x值均不收敛。但是，取确定 的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出 的相对误差为1x,结果粗略一些，但已经足够用了
因此，取展开式的前n项，略去余项，当 时，其误差 量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为 x → § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法 1 0 0 ( ) (-1) x t n n n e dt n f x x t x − + = = → + ！ 注意： 这个级数对于有限的x 值均不收敛。但是，取确定 的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出 的相对误差为1/x ,结果粗略一些，但已经足够用了
§3.2渐近展开 §3渐近方法 三、展开式系数： 当z→2。时，f(2)的渐近展式∑a,w,(a) 的系数为 fe)- anwn (= a,lim 2→20 w(2) 四、展开式的构成 证明略 设f(2),w(三)，w(2),…,w(2)在区域D中有定义，若 fe)-2aw.(回 a lim m=] 2→20 w(2) 有定义且不为零，则 立，日)是2→)时， f(z)的一个直到N项的渐近展开式
三、 展开式系数： 当 时， 的渐近展式 的系数为 1 1 0 ( ) ( ) ( ) lim N n n n N f z a w z n w z z z a − = − → = 0 z z → f z( ) ( ) n n n a w z 证明略 § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法 四、 展开式的构成 设 在区域D中有定义，若 有定义且不为零，则 是 时， 的一个直到N项的渐近展开式。 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ) N f z w z w z w z 0 1 1 ( ) ( ) lim ( ) k n n n k z z k f z a w z a w z − = → − = 1 ( ) N n n n a w z = 0 z z → f z( )