第二章-维稳定导热 13 △x 图2-5 联立求解得 (Δxa/kA)+(△xb/kA) (2.11) 式(2.10)和(2.11)说明导热与导电二者是相似的.其根源在于傅里叶定律与欧姆定律之间的 相似性因此,傅里叶定律可方便地表示为 传导热流 (2.12) 对于二层复合平板其总热阻只是两个丰联热阻之和,如图25所示该结论显然可推广应用 于三层或多层平板 24径向系统:定表面温度 图2-6表示的是一个单层均质圆筒壁,其导热系数为常数且具有均匀的内外表面温度在 某一给定半径处,垂直于径向传导热流方向的面积为2xL,L是圆筒的长度将其代入式 (1.1)并取q为常数,进行积分可得 (2.13) 2πkL"r1 或 2πkL(T1-T2) In(r2/ru) (2.14) 由式(2.14)得单层圆筒的热阻为[ln(r2/r1)]/2πkL对于双层圆 筒(见图2-7),用式(2.12)可得其热传导速率为 图 2rL(T1-T3) q-(1/k)ln(r2/r1)+(1/k)m(r3/r2) 2.15) 该式同样很易推广至三层或多层情况 对于球壁内的径向导热,某一给定半径处的传热面积为4xr2 将其代入傅里叶定律,积分并取q为常数,得 4π(T1-T2) (1/r1)-(1/r2) (2.16) 由此式可得单层球壳的热阻是(1/r1-1/r2)/4πk.对于多层球壳问 题,其各层热阻可线性叠加,且式(2.12)同样适用 2.5平板:变导热系数 4节告诉我们材料的导热系数与温度有关,并且对于许多工程材料来说这种依赖性很
传热学 强.通常用线性关系式(19)表示这种依赖关系.因此式(2.10)应如习题2.12所示的那样可 改为 △x/knA (2.17) 式中 km kol 1+6 =k0(1+b0m (2.18) 是以板的平均温度计算的导热系数, an=+n2=+n2-7 但在刚开始求解问题的时候,材料的平均温度经常是未知的,初始时只给定总温差多层壁 问题在这种情况下,若想保证计算精度,可采取下面的做法:对各层间的界面温度,先给出其 合理的假定值,以此算出每一层材料的导热系数km,进而用式(2.12)确定单位面积的热流通 量.再根据该计算结果,从已知的表面温度算起,逐层运用傅里叶定律,对各假定的界面温度进 行修正这一过程可反复进行,直到前后两次算得的界面温度的一致性达到令人满意的精度为 导热系数与温度线性相关情况下的平板温度分布的分析解将在习题2.13中给出,而相应 圆筒温度分布的求解则在习题2.15中介绍 2.6含内热源系统 除导电体的P2R加热外,核反应堆和化学反应系统也可产生热本节将讨论一维且有恒 定均匀内热源的情况 论一具有均匀内热源的平板(见图28)假定平板的导热系数为常数,且y和z方向尺 寸非常大以至于仅x方向上的温度梯度才值得考虑,因此泊松方程(24)可简化为 &T,9 (2.19) 这是一个二阶线性常微分方程.只需两个边界条件便可确定出T(x)的解它们是(见图28 (a) T 图
第二章一维稳定导热 当x=0,T=T;和 当 将式(2.19)对x变量积分两次,得 x 然后,应用边界条件得 2L 因而 2L +11(2L-x)x+T (2.20) 平板上的热流与x的坐标有关;参见习题2.18 对于较简单的情况:T1=T2=T(见图28(b),式(2.20)简化为 T=T,+2.(2L-x) 2k 对式(2.21)求导,得 江T=x=g(L-x) 因此,流出左表面的热流为 dT dx lzo 负号表示热流的方向为x轴的负方向(对于正的q");乘积AL为平板体积的一半因此,对式 (222)也可有诸如其表明从左表面传出的热量是由左半平板内热源产生之类的解释 圆柱 考虑一具有常导热系数和均匀内热源(单位体积为q)的长圆柱其表面温度是常数稳 态时关于方位角的温度梯度∂T/卓为零,且圆柱很长,使得轴向温度梯度∂T/3z可忽略对 于这种情况,式(2.7)简化为 ⅴT=丁+1dT 因而,稳态时式(26)变为 0 (2.23) 这是一个二阶线性常微分方程,求解T(r)需要两个边界条件通常,其表面温度已知,即 当 T=T, (2.24) 第二个边界条件由圆柱轴线上的温度应该有限这一物理要求给出,亦即当r=0时,dT/dr=0 将式(2.23)整理成 k 然后积分一次,得 再次积分,则有 k Cinr +C? r=0处的有限性条件,得C1=0应用另一边界条件即式(2.24),可得
因此 T 以T表示杆中心线的温度,并用比表示,可得一简便的无量纲形式的温度分布 2.7对流边界亲件 牛顿冷却定律(式(1.4)可简写成 q=hA△T (2.27 式中,h为对流换热系数w/(m2K)(英制单位为Bu/hf2r) A为垂直于热流方向的面积,m2(英制单位为f2) △T为固体表面与流体之间的温差,K(英制单位为T 本节我们研究h已知或给定的问题,并将注意力放在传导对流复合问题的求解上 总传热养数 将传导一对流复合问题的传热速率以式(227)的形式(h改成总传热系数U)表示常常是 方便的.下面确定平板和圆筒系统的U 平板如图29所示,一块具有常导热系数的均质平板a,一侧处于温度为T的流体i中,面 另一侧处于温度为T的流体o中通常,离壁面足够远的流体因不受传热的影响其温度是已 知的,面壁面的温度T1和T2未给定 流体 To 流体 人a 图29 应用式(2.27)于两表面得 h;(T1-T1)=h2(T2-T) 或 Ti- T1 T2- To q (2.28) 式中h顶上的横杠表示其是整个表面的平均值 按照2.3节电模拟的想法,1/hA可被看成是对流边界层产生的热阻.因此,该问题的电 模拟由三个串联热阻构成如图2-9(b所示其中,R。=La/kA是均质材料a的导热热阻因 固体内的传导热流必须同边界上的对流热流完全相等,由式(2.12)得
第二章一维稳定导热 q (△T)me A 1/h:+ La/ke+1/ (2.29) 定义总传热系数U为 (2.30) 则对于任意几何形状,都有 U(△T) (2.31) 对图2-29(a)所示的平板 U=1/h;+L2/k+1/h 对由层a、b、…组成的多层平板, h,+L/kn+L/k+…+1/ (2.33) 径向亲统 考虑由单层材料组成的圆筒系统,其内外表面均有对流(见图2-10(a)若T2代表r2知处 的温度,并以此类推那么,由式(2.12)可得 T-T ∑R由∑R出 WTM 式中的热阻分别是 R;=内表面的对流热阻Rt=2x1Lh R。=简壁材料a的导热热阻Rh2 In(r2/ R=外表面的对流热阻R么1 上述表达式中的L为圆筒的长度将这些热阻相加得 n(r2/r1) 2xkL2πr2Lh 现根据定义U=1/(A∑R出),并按惯例取A为圆筒的外表面积,A。=2m2L,则 (r2/r1h;)+[r2ln(r2/r1)/ka]+(1/h) 式中下标o表示U是基于圆简外表面积计算的对于由n-1层材料组成的多层圆筒系统 总热阻U。为 U。=(rn/r1h;)+[rnln(r2/r1)/k1.2]+…+[rnhn(rn/rn-1)kn-1.nJ+(1/五。)