第一章：基本概念 1.Stern-Gerlach实验 ·容易体现与经典力学的根本差别： ●容易体现量子力学的核心-测量问题 ●二能级系统是最量子的体系。 S S. Ag N 1)结果 加热的银原子束通过不均匀磁场后分裂为两束。 2)分析 ·磁场相互作用导致分裂，必是原子的磁矩M引起的，相互作用势V=-B。 ·磁矩与角动量了成正比，Mc了. ·原子将受到的力F-Mx说 分裂成对称的上下两束→角动量在磁场方向(Z)只有大小相等方向相反的两个分量。 如果这个角动量是由于原子本身转动引起的，热原子的角动量方向将是随机分布的，大量原 子通过磁场后在屏上会有一个对称的连续分布，而不是一个分离的两分量分布，因此力不是 由轨道角动量产生的。 银原子有47个电子，其中46个是满壳分布，球对称，整体不显示角动量。银原子的角 动量完全是由那个价电子引起的。分离的二分量分布说明是由价电子的内禀角动量引起的， 记为了，3只有两个大小相等方向相反的值3和3， 3)量子性质 •存在自旋角动量，是内禀物理量（与时空无关方 ●自旋角动量的取值不连续， •磁场起的是测量作用。用Z方向的磁场测量Z方向的角动量
1 第一章：基本概念 1. Stern－Gerlach 实验 ●容易体现与经典力学的根本差别； ●容易体现量子力学的核心－测量问题； ●二能级系统是最量子的体系。 1）结果 加热的银原子束通过不均匀磁场后分裂为两束。 2）分析 ● 磁场相互作用导致分裂，必是原子的磁矩 M 引起的，相互作用势 V MB 。 ● 磁矩与角动量 J 成正比，M J 。 ● 原子感受到的力 z zz z B B F VM e J e z z 分裂成对称的上下两束角动量在磁场方向（Z）只有大小相等方向相反的两个分量。 如果这个角动量是由于原子本身转动引起的，热原子的角动量方向将是随机分布的，大量原 子通过磁场后在屏上会有一个对称的连续分布，而不是一个分离的两分量分布。因此力不是 由轨道角动量产生的。 银原子有 47 个电子，其中 46 个是满壳分布，球对称，整体不显示角动量。银原子的角 动量完全是由那个价电子引起的。分离的二分量分布说明是由价电子的内禀角动量引起的， 记为s ， z s 只有两个大小相等方向相反的值 z s 和 z s 。 3）量子性质 ●存在自旋角动量，是内禀物理量（与时空无关）； ●自旋角动量的取值不连续。 ●磁场起的是测量作用。用 Z 方向的磁场测量 Z 方向的角动量。 x S N Ag y z Sz + Sz -
4)级联Stern-Gerlach实验 S N S 8+ N S N S2+ S Sx+LS」S2+ N N S.NI S 图1 入射原子束先后经过两个Z方向的磁场，见图1上部。在第二个磁场之前、，有确定值s, 故在磁场中原子感受的力是确定的，在第二个磁场之后3仍然有确定值、。 现在让入射原子束经过Z和X方向的两个磁场，见图1中部。在第二个磁场中原子感 受的力Fx识。在第二个蓝场之后观察到原子率分乳，说明在第二个道扬之葡，有两 个值s和s两个分量（虽然s.有确定值s ·量子性质：当3有确定值时，3，没有确定值。3和3，不能同时有确定值！ 再让入射原子束经过Z,X和Z方向的三个磁场，见图1下部。最后观察到、，有s和
2 4）级联 Stern－Gerlach 实验 图 1 入射原子束先后经过两个 Z 方向的磁场，见图 1 上部。在第二个磁场之前 z s 有确定值 z s ， 故在磁场中原子感受的力是确定的，在第二个磁场之后 z s 仍然有确定值 z s 。 现在让入射原子束经过 Z 和 X 方向的两个磁场，见图 1 中部。在第二个磁场中原子感 受的力 x x B FJ e x 。在第二个磁场之后观察到原子束分裂，说明在第二个磁场之前 x s 有两 个值 x s和 x s 两个分量（虽然 z s 有确定值 z s）。 ●量子性质：当 z s 有确定值时， x s 没有确定值。 z s 和 x s 不能同时有确定值！ 再让入射原子束经过 Z，X 和 Z 方向的三个磁场，见图 1 下部。最后观察到 z s 有 z s 和 z s S N S N Sz + Sz - Sz + Sz + Sz - S N S N Sx - Sx ＋ S N Sz + Sz - S N Sx + Sx - S N Sz + Sz -
两个分量，说明在第三个磁场之前s,有两个值和3两个分量（虽然5，有确定值s)。 ●量子性质：当3，有确定值时，3也设有确定值。3和3不能同时有确定值！ 5)与经典电磁波的类似性（实物粒子与光波的类似性） x filter y filter 沿Z方向传播的电磁波先后经过只允许X方向的波通过的滤波器(X filter)和只允许Y 方向的波通过的滤波器(Y filter)后全部消失。 E(行，t)=E(厄+e,)cos(ke-o) X filter Ee,cos(k=-ot) Y filter 0 E Ex x filter x'filter y filter 45° X 在X filter和Yter之间放一个X'filter,X'与X,Y都是45度角，则最后仍然有Y方向 的电磁波观察到。 E(F,1)=E(e,+)cos(k-@t) Xe5g.ok-o-务民，-ejoe-a侧 Xfie爱，cok-oa侧=经e+8)1coe-o侧 类似性：3，S,.和E,E,都可看成二分量矢量 不同：5是内禀角动量，量子力学量；E是空间相关力学量，经典力学量
3 两个分量，说明在第三个磁场之前 z s 有两个值 z s 和 z s 两个分量（虽然 x s 有确定值 x s ）。 ●量子性质：当 x s 有确定值时， z s 也没有确定值。 x s 和 z s 不能同时有确定值！ 5）与经典电磁波的类似性（实物粒子与光波的类似性） 沿 Z 方向传播的电磁波先后经过只允许 X 方向的波通过的滤波器（X filter）和只允许 Y 方向的波通过的滤波器（Y filter）后全部消失。 0 0 ( , ) ( )cos( ) cos( ) 0 x y x E r t E e e kz t X filter E e kz t Y filter 在 X filter 和 Y filter 之间放一个 X’ filter，X’与 X，Y 都是 45 度角，则最后仍然有 Y 方向 的电磁波观察到。 0 0 0 '' 0 0 ' ( , ) ( )cos( ) cos( ) ( )cos( ) 2 X' cos( ) ( )cos( ) 2 2 Y x y x xy x xy E r t E e e kz t E X filter E e kz t e e kz t E E filter e kz t e e kz t filter 0 cos( ) 2 y E e kz t 类似性： , , x y z sss 和 ' ' , E E x y 都可看成二分量矢量 不同：s 是内禀角动量，量子力学量； E 是空间相关力学量，经典力学量。 E x filter Ex x’ filter Ex y filter Ey y y’ x’ 45° x E x filter Ex y filter
2.线性矢量空间 从上一节，电子自旋角动量在任意方向的投影5只能取两个值，可将5看成是一个二维 矢量。为了建立量子力学的数学描述方式，先讨论线性矢量空间， 1)3维矢量空间 e3 e1 任意矢量： 基矢： en,n=1,2,3 基矢完备性： d- 内积： a.b=∑a.b.enen 矢量模方： a-a20 若基矢正交归一：n·enm=6 (b a 有内积矩阵形式：ā6=∑abn=b,其中矩阵b a= 的转置矩阵 a=(a,a.a) 矢量的分量（矩阵元上a,=,ā ā是矢量的抽象形式或一般形式，矩阵a是失量ā在某个具体坐标系（表象）的表示 矩阵元与基矢的选取有关，例如直角坐标与球坐标中的表示是不同的。 对失量的运算，例如平移，旋转等（算符上T石=b,仍然是3维空间中的一个矢量. 2)Hilbert空间 将3维矢量空间扩展到任意维数的复失量空间： 3维→任意有限维，无限维，连续维
4 2. 线性矢量空间 从上一节，电子自旋角动量在任意方向的投影 n s 只能取两个值，可将 n s 看成是一个二维 矢量。为了建立量子力学的数学描述方式，先讨论线性矢量空间。 1）3 维矢量空间 任意矢量： a 基矢： , 1, 2,3 n e n 基矢完备性： 3 1 n n n a ae 内积： , nmn m n m a b abe e 矢量模方： a a 0 若基矢正交归一： n m nm e e 有内积矩阵形式： n n n a b a b ab , 其中矩阵 1 2 3 , b bb a b 是 1 2 3 a a a a 的转置矩阵 123 a aaa (, , ) 矢量的分量（矩阵元）： n n a ea a 是矢量的抽象形式或一般形式，矩阵a 是矢量 a 在某个具体坐标系（表象）的表示。 矩阵元与基矢的选取有关，例如直角坐标与球坐标中的表示是不同的。 对矢量的运算，例如平移，旋转等（算符）：Ta b ˆ ，仍然是 3 维空间中的一个矢量。 2）Hilbert 空间 将 3 维矢量空间扩展到任意维数的复矢量空间： 3 维任意有限维，无限维，连续维
常矢量→复变函数矢量 用Dirac符号（右矢）表示任意矢量：a) 对于复矢量，引入左矢（表示其复共轭矢量。左矢与右失并不互相独立，而是互为复 共轭： la）〉(a. 一个矢量既可以用右矢a,也可以用左矢(@表示 在复变函数矢量空问，常数一般也是复数，有 ala)(ala'. 对于复空间中的运算（算符）个： ia)(ai, 户·是右算符个的对应左算符，称为厄米共轭算符。注意 iF a)=T(Fa))(aFT. 进入具体表象，以N维离散空间为例。 基矢：n),n=1,2 基矢完备性： a)=∑am）,(a=∑na(矢量的具体表示) 内积： ab-∑ih.mm） 是一个复数 矢量模方： (aa)≥0（只有定义(a与a)互为复共轭，才能保证矢量模方大 于零) 归一化矢量： 如果定义a)=7 可以有何的创=转期-电 基矢正交归一： (nm）=6 b 内积矩阵形式： (ab)=∑ib.=ab,其中列矩阵b= ,行矩阵a是a 的厄米共厄（转置复共轭）矩阵a=(aa;…a)
5 常矢量复变函数矢量 用 Dirac 符号（右矢）表示任意矢量： a 对于复矢量，引入左矢 a 表示其复共轭矢量。左矢与右矢并不互相独立，而是互为复 共轭： a a 。 一个矢量既可以用右矢 a ，也可以用左矢 a 表示。 在复变函数矢量空间，常数一般也是复数，有 a * a 。 对于复空间中的运算（算符）Tˆ ： ˆ ˆ T a aT ， Tˆ 是右算符Tˆ 的对应左算符，称为厄米共轭算符。注意 TF a T F a a F T ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ( ) 。 进入具体表象，以 N 维离散空间为例。 基矢： n n , 1, 2,..... 基矢完备性： n n a an ， * n n a na （矢量的具体表示） 内积： * , n m n m ab ab nm 是一个复数。 矢量模方： a a 0 （只有定义 a 与 a 互为复共轭，才能保证矢量模方大 于零） 归一化矢量： 如果定义 1 a a , a a 有 1 a a ，称为归一化。 基矢正交归一： nm n m 内积矩阵形式： * n n n ab ab ab ，其中列矩阵 1 2 N b b b b ，行矩阵a 是 1 2 N a a a a 的厄米共厄（转置复共轭）矩阵 ** * 1 2 N a aa a