@善来大身 高等量子力学习题集 王德华编著 鲁东大学物理学院
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前言 《高等量子力学》是物理学院原子分子物理和理论物理专业硕士 研究生的一门学位专业基础理论课，在研究生的培养过程中具有重要 作用 学生在学习《高等量子力学》的过程中，经常面临这样的问题： 觉得老师在课堂上讲解的内容似乎都能听明白，但是，在遇到具体的 有关量子力学的问题时，却往往感到无从下手，为了提高学生处理和 解决问题的能力，我们根据授课教材，搜集整理了大量的习题及其解 答，分章编成习题集，供学生参考。根据教学安排，每一章讲完后， 可以从习题集中选择相应习题进行练习，对每一道习题都精心准备了 较详细的参考答案和疑难，点分析。本习题集中的习题大致可分为三大 类：第一类是对教材中没有给出详细推导的公式进行了推导；第二类 是教材中基本理论的具体应用；第三类是对教材内容的推广和补充 本书可作为物理学院各专业硕士研究生学习《高等量子力学》课 程的参考书，也是学生考取博士研究生必备的参考资料 由于我们的水平有限，书中难免有许多不当和不完善之处，恳请 各位读者不吝赐教， 王德华 2011-5-6于鲁东大学
2 前 言 《高等量子力学》是物理学院原子分子物理和理论物理专业硕士 研究生的一门学位专业基础理论课,在研究生的培养过程中具有重要 作用. 学生在学习《高等量子力学》的过程中,经常面临这样的问题: 觉得老师在课堂上讲解的内容似乎都能听明白,但是,在遇到具体的 有关量子力学的问题时,却往往感到无从下手.为了提高学生处理和 解决问题的能力,我们根据授课教材，搜集整理了大量的习题及其解 答，分章编成习题集，供学生参考。根据教学安排，每一章讲完后， 可以从习题集中选择相应习题进行练习，对每一道习题都精心准备了 较详细的参考答案和疑难点分析。本习题集中的习题大致可分为三大 类:第一类是对教材中没有给出详细推导的公式进行了推导;第二类 是教材中基本理论的具体应用;第三类是对教材内容的推广和补充. 本书可作为物理学院各专业硕士研究生学习《高等量子力学》课 程的参考书,也是学生考取博士研究生必备的参考资料. 由于我们的水平有限,书中难免有许多不当和不完善之处,恳请 各位读者不吝赐教. 王德华 2011-5-6 于鲁东大学
目 录 第一章量子力学的一般描述.4 第二章运动方程与路径积分 35 第三章角动量理论及量子体系的对称性62 第四章二次量子化86 第五章散射理论109 第六章多粒子体系的近似处理方法… .131 第七章相对论量子力学…146 第八章量子信息论的物理基础158
3 目 录 第一章 量子力学的一般描述 ……………………...……………….4 第二章 运动方程与路径积分 ………………………………………35 第三章 角动量理论及量子体系的对称性 ………………………….62 第四章 二次量子化………….…………………………………….….86 第五章 散射理论……………………………………………………..109 第六章 多粒子体系的近似处理方法 ……………………………. 131 第七章 相对论量子力学 ……….………………………………….. 146 第八章 量子信息论的物理基础 ……………………………………158
第一章量子力学的一般描述 【1.1】若厄米算符H对任何态矢量a）都有关系(aHa≥0〉成立，则H是正定厄米算符. 如果F是一个线性算符，求证：F+F是一个正定厄米算符：r(FF)等于F在任何表象中 的矩阵元的模仿之和。试推导，当且仅当F-0时，存在关系r(F+F)=0。 【证明】因为 (F)=F+F 按厄米算符定义广-4，可见F+F是厄米算符。任取正交完备系{)}，则有 (lp*Fm）=ΣnF"mXmFl） =∑(mFn以(mlFn) =∑(mFm)f≥o 所以F+F是正定厄米算符。利用上面的结果同样给出 FF)=∑FFm) =∑(nFlmy≥0 可见，当矩阵元(mFn)=0时，则r(FF)=0:对所有的n)成立(mFn=0,则F=0 【12】设a,B)是两个有限模仿的矢量，求证 rda恥=(Bla吵da以B=|BXal 【证明】(1)令p-BXa 任取正交完备系《}，则有矩阵元 P.n=(mlPn）=(m aXB n） 而 tr(P)=∑Pn=∑nla以eln) =∑n以nla=(ela) 利用了完备条件∑n以n=1. 4
4 第一章 量子力学的一般描述 【1.1】若厄米算符 H 对任何态矢量 a 都有关系 a H a ≥ 0 成立，则 H 是正定厄米算符。 如果 F 是一个线性算符，求证：F F+ 是一个正定厄米算符；tr(F F) + 等于 F 在任何表象中 的矩阵元的模仿之和。试推导，当且仅当 F=0 时，存在关系 tr(F F) + =0。 【证明】因为 F F F F + + + ( ) = 按厄米算符定义 A+ =A，可见 F F + 是厄米算符。任取正交完备系{n }，则有 0 2 = ≥ = ⋅ = ∑ ∑ ∑ + + m m m m F n m F n m F n n F F n n F m m F n 所以 F F+ 是正定厄米算符。利用上面的结果同样给出 0 ( ) 2 = ≥ = ∑ ∑ + + m n n F n tr F F n F F n 可见，当矩阵元 m F n = 0 时，则 tr(F F) + =0；对所有的 n 成立 m F n = 0 ，则 F=0 【1.2】设 a , β 是两个有限模仿的矢量，求证 tr a β = β a a β = β a + ( ) ;( ) 【证明】（1）令 p = β a 任取正交完备系{ } n ，则有矩阵元 P m P n m a n m,n = = β 而 n n a a tr P P n a n n n n n n β β β = = = = ∑ ( ) ∑ , ∑ 利用了完备条件∑ n n = 1 n
(2)由算符性质 w4|p〉=(《4w少 wl(a以Bl）=(aXBw' =(《ea'(《Bw》'=(《Bw'(a wXap〉 对任意态矢上式成立，则有a以B孙=BXa。 【1.3】设算符A存在逆算符A,试将算符(A-2B)展开成1的幂级数（这里，入是任意 参数，B是任意算符)。 【解】把(A-B)展开，设 (4-B)=2x。 这里X是待定算符，以(A-B)左乘上式两端给出 1=立(A-B)X。 =4AK,+∑rAK,-Bx) 比较两边无同次幂的系数，给出 n=0,X。=A1 n=1.X=A-BXo=A-BA- 最后求出 Xn=A-BX n=1,2,3… 这样有展开式 (A-B)=∑2严X。 =0 =A+2ABA+2 A-BA-BAT+·
5 （2）由算符性质 + • ψ A ϕ = ( φ Aψ ) 则 ψ β φ φ β ψ β ψ φ ψ β φ φ β ψ a a a a a • • • • + • = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 对任意态矢上式成立，则有 a β = β a + ( ) 。 【1.3】设算符 A 存在逆算符 A-1，试将算符 1 ( ) − A − λB 展开成λ 的幂级数（这里，λ 是任意 参数，B 是任意算符）。 【解】把 1 ( ) − A − λB 展开，设 n n n A B ∑ X ∞ = − − = 0 1 ( λ ) λ 这里 X 是待定算符，以(A − λB) 左乘上式两端给出 ( ) 1 ( ) 1 1 0 0 − ∞ = = = + − = − ∑ ∑ n n n n n x n n AX AX BX A B X λ λ λ 比较两边 " λ 同次幂的系数，给出 1 1 0 1 1 1 0 1, 0, − − − − = = = = = n X A BX A BA n X A ………… 最后求出 Xn = A−1 BXn−1 n = 1,2,3,L 这样有展开式 = + + +L − = − − − − − − = − ∑ 1 1 1 2 1 1 1 0 1 ( ) A A BA A BA BA A B X n x n n λ λ λ λ