显然(alb)=(la)',(alb)=(bTla）', 矢量的分量（矩阵元上 将a=∑a,m）两边左乘左失(ml,有a.=mla 基矢完备性：l=∑a.lm=∑(nla)In)=∑Ir)(nla）=∑lmuo 由于a)是任意矢量，有 EIm)(n=1, 此即是基矢的完备性条件 算符的表示（矩阵形式上 b)=Fla) (mlb)=(mlla)-∑(nFn)(nla)，Fn=mlFm bn=∑Fman, 矩阵形式： b=Fa,F是算符F的表示，是一个方阵，矩阵元是F 厄米共轭算符（左算符）的表示： (=(a产 (blm）=(alF*lm）=∑(aln)(nF*m） 6=∑Fa,b.=∑(F)a 比较有 (F)广=F,F=户，F=F，即F是F的厄米共轭矩阵. 外积：a6 其表示是一个方阵()是一列矩阵，（是一行矩阵），故外积是一算符。实际上，由于 (a)b)lc)=a(《bc),a)b的作用是把矢量c)变成了另一个平行于a的矢量，故外积 |)b确实是一个算符。它的具体表示是一个方阵，矩阵元是 （a)b）=(ma)bn）=ma)nb)'=anbi
6 显然 * * ˆ ˆ ab ba aT b bT a , ， 矢量的分量（矩阵元）： 将 n n a an 两边左乘左矢 m ，有 ma ma 基矢完备性： n nn n n a a n na n n na n n a 由于 a 是任意矢量，有 1 n n n ， 此即是基矢的完备性条件。 算符的表示（矩阵形式）： 设 ˆ b Fa ˆ ˆ = n mb mF a mF n na ， ˆ F mFn mn , m mn n n b Fa 矩阵形式： b Fa ， F 是算符 Fˆ 的表示，是一个方阵，矩阵元是 Fmn。 厄米共轭算符（左算符）的表示： 由 ˆ b aF ˆ ˆ = n bm aF m an nF m * * * , m nm n m nm n n n b Fa b F a 比较有 * * * , , F F F F FF nm mn nm nm ， 即 F 是 F 的厄米共轭矩阵。 外积： a b 其表示是一个方阵（ a 是一列矩阵， b 是一行矩阵），故外积是一算符。实际上，由于 a b c a bc ， a b 的作用是把矢量 c 变成了另一个平行于 a 的矢量，故外积 a b 确实是一个算符。它的具体表示是一个方阵，矩阵元是 * * mn m n a b ma bn ma nb ab
3.算符（矩阵)的本征值和本征失 1)一般算符的本征值和本征态 算符的本征方程： ia)=a） 1称为i的本征值，a)称为i的本征矢。 矩阵形式（自己用完备性条件证明上 Ta=ia (T-al)a=0 本征矢a≠0的条件： det(T-1)=0, 即久期方程(N维空间上 -T2…Ts TT2-…T =0 TT:…Tw- 从而求得N个本征值元G=1,2N),将任意一个代入本征方程 (T-,I)a=0 得到对应的本征矢a, 部家E0本在准都未在先 久方程为小0，甲公小0，本程准方 设本征矢为a=巴） a 699。.有-5本失者- 夹，思，感精为应的木在失黄得 2)厄米算特 若=了，或T=T,则称了为厄米算符，T为厄米矩阵。 以下讨论厄米算符的性质： a)(alTb)=(bt-la)=(bTla)
1 3. 算符（矩阵）的本征值和本征矢 1）一般算符的本征值和本征态 算符的本征方程： T a a ˆ ， 称为Tˆ 的本征值， a 称为Tˆ 的本征矢。 矩阵形式（自己用完备性条件证明）： 0 T I a Ta a 本征矢a 0 的条件： det( ) 0 T I ， 即久期方程（N 维空间）： 11 12 1 21 22 2 1 2 NN T T 0 N N T T T T T T T N N … … … ， 从而求得 N 个本征值 ( 1,2,... ) i i N ，将任意一个代入本征方程 0 T Ia i 得到对应的本征矢a 。 例：求矩阵 1 0 = 0 -1 T 的本征值和本征矢。 久期方程为 1 0 0 0 -1- - ，即 2 1 0，本征值为= 1。 设本征矢为 2 1 a a a ， 取=1， 1 2 0 0 0 0 2 a a = ，求得归一化后本征矢为 1 0 a ； 类似，取=-1，求得对应的本征矢为 0 1 a 。 2）厄米算符 若 T T ˆ ˆ = , 或T T= , 则称Tˆ 为厄米算符，T 为厄米矩阵。 以下讨论厄米算符的性质： a) * * ˆˆ ˆ aT b bT a bT a
特别是，(aia=(aTla,说明厄米算符的平均值(aTa）是实数。 注意，对于反厄米算符，i产=i,(alila)=-(alila),反厄米算符的平均值alila)是 虚数 b)设本征方程)=)，》=2，) 由i=1 和=3，）=）=) 有(-2)）=0 当广=i,以≠0，入=入，说明厄米算符的本征值为实数。 当j≠1，如果入-乙，≠0，()=0，说明厄米算符属于不同本征值的本征态正交。考虑 到总可以归一化，有正交归一条件： 》=6 问题：同一本征值的本征态是否正交？ c)线性叠加正交法（施米特正交法） 若同一本征值对应多个本征态，即有简并，例如有g重简并（g22上 T1,》=,》,j=1g,这g个本征矢量是否正交？ 重新定义g个新态： k小-2ck小n=l28 因为 fli)-C.fl./-zCali./-4l.n). i=l 所以，仍然是T的属于本征值的本征态，故只需证明，)是正交归一的就可以了. 能否通过合适的选取系数C则，使得这g个新态正交归一？ 么，mi,n〉=6m？ 共有g个归一化方程+8，是个正交方程品+个维立方程<g个待定系数C,故有多种 选择来决定满足正交归一化条件的系数Cm,使得新态1，)正交归一： ,mlj,n）=6,6m
2 特别是， * ˆ ˆ aT a aT a ，说明厄米算符的平均值 ˆ aT a 是实数。 注意，对于反厄米算符，T T ˆ ˆ =- ， * ˆ ˆ aT a aT a ，反厄米算符的平均值 ˆ aT a 是 虚数。 b) 设本征方程 Ti i ˆ =i ， Tj j ˆ = j 由 ˆ = i j Ti ji 和 * ˆ= j j T j ， * * ˆ = j j j Ti j i ji 有 * () 0 i j j i 当 * , 0, i i j i ii ，说明厄米算符的本征值为实数。 当 j i, 如果 0, 0, i j j i 说明厄米算符属于不同本征值的本征态正交。考虑 到总可以归一化，有正交归一条件： = ij i j 。 问题：同一本征值的本征态是否正交？ c) 线性叠加正交法（施米特正交法） 若同一本征值对应多个本征态，即有简并，例如有 g 重简并（ g 2）： ˆ , = , 1,... Tij ij j g i ， ， 这 g 个本征矢量是否正交？ 重新定义g 个新态： 1 , = , 1, 2,... g nj j in C i j n g ， 因为 1 1 ˆ ˆ ,= ,= ,= , g g nj i nj i j j Tin CTi j C i j in ， 所以 i n, 仍然是Tˆ 的属于本征值i 的本征态，故只需证明 i n, 是正交归一的就可以了。 能否通过合适的选取系数Cnj ，使得这g 个新态正交归一？ , , mn imin ？ 共有g 个归一化方程 2 g g + 2 个正交方程 gg 1 = 2 个独立方程 2 <g 个待定系数Cnj ，故有多种 选择来决定满足正交归一化条件的系数Cnj ，使得新态 i n, 正交归一： , , ij mn im jn =
可，来自于不同本征值的本征态的正交归一，6来自于线性叠加正交法. 结论：无论简并还是非简并，厄米算符的本征态正交归一。 d)可以证明：厄米算符的本征矢满足完备性条件， ∑=1. 故厄米算符的本征矢可以构成Hilbert空间的一组正交归一的基矢，即构成一个线性矢量空 问，或一个表象。 4.测量 讨论量子力学与Hilbert空间的联系 1)单个力学量的测量 在Stern-Gerlach实验中，.在磁场前没有确定值（如果有确定值，则经过磁场后会只 有一束银原子，只在磁场后有确定值，一束为，另一束为$。因此，量子力学量的取值 与系统所处的状态紧密相关。力学量在一般状态没有确定值，只有在某些特点的状态有确定 值。 量子力学假设：量子力学系统的力学量用线性矢量空间中的厄米算符表示，状态用矢量 表示。由于厄米算符本征态的完备性，任意力学量的本征态都可构成一个线性矢量空间或 个表象。 F的本征方程Fn）=fnn) 在F表象：基矢n) 任意态la)=ln)ma）,ua)是态a)在F表象的具体形式. 量子力学假设：力学量F只有在它的本征态)才有确定值，就是本征值。，处于任意 态a)时，F没有确定值，只有确定的平均值(F〉=(aFa)。(厄米算符的本征值和平均值都 是实数，这是为什么将力学量用厄米算符表示的原因)
3 ij 来自于不同本征值的本征态的正交归一， mn 来自于线性叠加正交法。 结论：无论简并还是非简并，厄米算符的本征态正交归一。 d）可以证明：厄米算符的本征矢满足完备性条件， 1 i i i 。 故厄米算符的本征矢可以构成 Hilbert 空间的一组正交归一的基矢，即构成一个线性矢量空 间，或一个表象。 4. 测量 讨论量子力学与 Hilbert 空间的联系。 1）单个力学量的测量 在 Stern－Gerlach 实验中 z s 在磁场前没有确定值（如果有确定值，则经过磁场后会只 有一束银原子），只在磁场后有确定值，一束为 z s ，另一束为 z s 。因此，量子力学量的取值 与系统所处的状态紧密相关。力学量在一般状态没有确定值，只有在某些特点的状态有确定 值。 量子力学假设：量子力学系统的力学量用线性矢量空间中的厄米算符表示，状态用矢量 表示。由于厄米算符本征态的完备性，任意力学量的本征态都可构成一个线性矢量空间或一 个表象。 Fˆ 的本征方程 ˆ Fn f n n 在 F 表象：基矢 n 任意态 n a n na ， n a 是态 a 在 F 表象的具体形式。 量子力学假设：力学量 Fˆ 只有在它的本征态 n 才有确定值，就是本征值 nf ，处于任意 态 a 时，Fˆ 没有确定值，只有确定的平均值 F aFa ˆ 。（厄米算符的本征值和平均值都 是实数，这是为什么将力学量用厄米算符表示的原因）
(F)a Fla) =(alr)(nlFIm)(mla） (aln)f_6_(mla) =∑(aln)na)f =∑Knla). 表明F取值为fn的几率是《nla，(na)是几率幅，《mla是在态a）中包含态n的几率。 在一般态，力学量取值不确定，但取值几率确定，平均值确定。 在户的自身表象，F的矩阵元 F.=(mFn)=f(mn)=f.6 故力学量在自身表象是一个对角矩阵，对角元就是力学量的本征值。 现在讨论测量与态的塌缩。 Sten-Gerkach实验中的Ag原子在磁场前s.无确定值，过磁场后有了确定值。设置磁 场可以看成是对自旋的一次测量，一测量就有了确定值 在任意态|)测量户，体系便塌缩到F的本征态，故F有确定的值。塌缩到F的哪一个 本征态呢？因为在态a)中包含态n)的几率是Knla，故塌缩到m)的几率是Kna，即测 量取值为的几率是《na. 测量使得体系的粒子性质得以体现，或者可以说，测量产生了粒子。 问题：在态a)测量户，得值n,紧接又测量户，取值为多少？ 第一次测量，a）→n) 第二次测量，体系已经处于户的本征态)，测量结果仍然为。这是为什么在经过两个 Z方向磁场后，Stern-Gerlach实验中Ag原子的自旋仍然为s的原因。 2)自旋矩阵 由Sem-Cen阳ch实险，电子自旋为号，在任意方向E的自旋算行=或的取位是±号 本征方程
4 , , 2 ˆ ˆ n m m nm n m n n n n F aFa an nFm ma anf ma an na f na f 表明 Fˆ 取值为 nf 的几率是 2 n a ， n a 是几率幅， 2 n a 是在态 a 中包含态 n 的几率。 在一般态，力学量取值不确定，但取值几率确定，平均值确定。 在 Fˆ 的自身表象，F 的矩阵元 ˆ F mFn f mn f mn n n mn ， 故力学量在自身表象是一个对角矩阵，对角元就是力学量的本征值。 现在讨论测量与态的塌缩。 Stern－Gerkach 实验中的 Ag 原子在磁场前 z s 无确定值，过磁场后有了确定值。设置磁 场可以看成是对自旋的一次测量，一测量就有了确定值。 在任意态 a 测量 Fˆ ，体系便塌缩到 Fˆ 的本征态，故 Fˆ 有确定的值。塌缩到 Fˆ 的哪一个 本征态呢？因为在态 a 中包含态 n 的几率是 2 n a ，故塌缩到 n 的几率是 2 n a ，即测 量取值为 nf 的几率是 2 n a 。 测量使得体系的粒子性质得以体现，或者可以说，测量产生了粒子。 问题：在态 a 测量 Fˆ ，得值 nf ，紧接又测量 Fˆ ，取值为多少？ 第一次测量， a n 第二次测量，体系已经处于 Fˆ 的本征态 n ，测量结果仍然为 nf 。这是为什么在经过两个 Z 方向磁场后，Stern－Gerlach 实验中 Ag 原子的自旋仍然为 z s的原因。 2）自旋矩阵 由 Stern－Gerlach 实验，电子自旋为 1 2 ，在任意方向 n e 的自旋算符 ˆ ˆ n n se s 的取值是 2 ， 本征方程