120世纪科普经典特藏从一到无穷大 图4一台刚刚印出一行莎士比亚诗句的自动印刷机 horse has six legs and…(马有六条腿,并且…) 或者 I like apples cooked in terpentin (我喜欢吃松节油煎苹果……)。 不过,只要找下去,一定会发现莎士比亚( William shak spare)的每一行著作,甚至包括被他扔进废纸篓里去的句子 实际上,这台机器会印出人类自从能够写字以来所写出的 切句子:每一句散文,每一行诗歌,每一篇社论,每一则广告,每 卷厚厚的学术论文,每一封书信,每一份订奶单…… 不仅如此,这架机器还将印出今后各个世纪所要印出的东西。 从滚筒下的纸卷中,我们可以读到30世纪的诗章,未来的科学发 现,2344年星际交通事故的统计,还有一篇篇尚未被作家们创作 出来的长、短篇小说。出版商们只要搞出这么一台机器,把它安装 在地下室里,然后从印出的纸卷里寻找好句子来出版就是了 他们现在所干的不也差不多就是这样嘛 为什么人们没有这样干呢? *莎士比亚(1564~1616年).文艺复兴时代的著名英国剧作家及诗人 译者
10 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 图 4 一台刚刚印出一行莎士比亚诗句的自动印刷机 horse has six legs and…（马有六条腿，并且……） 或者 I like apples cooked in terpentin… （我喜欢吃松节油煎苹果……）。 不过， 只要找下去， 一定会发现莎士比亚（William Shakespare）* 的每一行著作，甚至包括被他扔进废纸篓里去的句子！ 实际上，这台机器会印出人类自从能够写字以来所写出的一 切句子：每一句散文，每一行诗歌，每一篇社论，每一则广告，每 一卷厚厚的学术论文，每一封书信，每一份订奶单…… 不仅如此，这架机器还将印出今后各个世纪所要印出的东西。 从滚筒下的纸卷中，我们可以读到 30 世纪的诗章，未来的科学发 现，2344 年星际交通事故的统计，还有一篇篇尚未被作家们创作 出来的长、短篇小说。出版商们只要搞出这么一台机器，把它安装 在地下室里，然后从印出的纸卷里寻找好句子来出版就是了—— 他们现在所干的不也差不多就是这样嘛！ 为什么人们没有这样干呢？ * 莎士比亚（1564～1616 年），文艺复兴时代的著名英国剧作家及诗人。——译者
第一章大数 来,让我们算算看,为了得到所有字母和印刷符号的组合,该 印出多少行来。 英语中有26个字母、十个数码(0,1,2,…,9)、还有14 个常用符号(空白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号 破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号),共 50个字符。再假设这台机器有65个轮盘,以对应每一印刷行的平 均字数。印出的每一行中,排头的那个字符可以是50个字符当中 的任何一个,因此有50种可能性。对这50种可能性当中的每一 种,第二个字符又有50种可能性,因此共有50×50=2500种。对 于这前两个字符的每一种可能性,第三个字符仍有50种选择。这 样下去,整行进行安排的可能性的总数等于 50×50×50×……×50 或者505,即等于1010。 要想知道这个数字有多么巨大,你可以设想宇宙间的每个原 子都变成一台独立的印刷机,这样就有3×104部机器同时工作 再假定所有这些机器从地球诞生以来就一直在工作,即它们已经 工作了30亿年或107秒。你还可以假定这些机器都以原子振动的 频率进行工作,也就是说,一秒钟可以印出105行。那么,到目前 为止,这些机器印出的总行数大约是 3×104×1017×1015=3×1016 这只不过是上述可能性总数的三千分之一左右而已。 看来,想要在这些自动印出的东西里面挑选点什么,那确实 得花费非常非常长的时间了! 怎样计数无穷大的数字 上一节我们谈了一些数字,其中有不少是毫不含糊的大数。 但是这些巨大的数字,例如西萨·班·达依尔所要求的麦子粒数 虽然大得难以令人置信,但毕竟还是有限的,也就是说,只要有足
11 第一章 大 数 来，让我们算算看，为了得到所有字母和印刷符号的组合，该 印出多少行来。 英语中有 26 个字母、十个数码（0，1，2，…，9）、还有 14 个常用符号（空白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、 破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），共 50 个字符。再假设这台机器有 65 个轮盘，以对应每一印刷行的平 均字数。印出的每一行中，排头的那个字符可以是 50 个字符当中 的任何一个，因此有 50 种可能性。对这 50 种可能性当中的每一 种，第二个字符又有 50 种可能性，因此共有 50×50＝2 500 种。对 于这前两个字符的每一种可能性，第三个字符仍有 50 种选择。这 样下去，整行进行安排的可能性的总数等于 65 个 50×50×50×…×50 或者 5065，即等于 10110。 要想知道这个数字有多么巨大，你可以设想宇宙间的每个原 子都变成一台独立的印刷机，这样就有 3×1074 部机器同时工作。 再假定所有这些机器从地球诞生以来就一直在工作，即它们已经 工作了 30 亿年或 1017 秒。你还可以假定这些机器都以原子振动的 频率进行工作，也就是说，一秒钟可以印出 1015行。那么，到目前 为止，这些机器印出的总行数大约是 3×1074×1017×1015＝3×10106， 这只不过是上述可能性总数的三千分之一左右而已。 看来，想要在这些自动印出的东西里面挑选点什么，那确实 得花费非常非常长的时间了！ 二、怎样计数无穷大的数字 上一节我们谈了一些数字，其中有不少是毫不含糊的大数。 但是这些巨大的数字，例如西萨·班·达依尔所要求的麦子粒数， 虽然大得难以令人置信，但毕竟还是有限的，也就是说，只要有足
20世纪科普经典特藏从一到无穷大 够的时间,人们总能把它们从头到尾写出来。 然而,确实存在着一些无穷大的数,它们比我们所能写出的 无论多长的数都还要大。例如,“所有整数的个数”和“一条线上 所有几何点的个数”显然都是无穷大的。关于这类数字,除了说 它们是无穷大之外,我们还能说什么呢?难道我们能够比较一下 上面那两个无穷大的数,看看哪个“更大些”吗? 所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数,究竟哪个大 此 这个问题有意义吗?乍一看,提这个问题可真是头脑发 昏,但是著名数学家康托尔( Georg Cantor)首先思考了这个问 题。因此,他确实可被称为“无穷大数算术”的奠基人。 当我们要比较几个无穷大的数的大小时,就会面临这样一个 问题:这些数既不能读出来,也无法写出来,该怎样比较呢?这下 子,我们自己可有点像一个想要弄清自己的财物中,究竟是玻璃 珠子多,还是铜币多的原始部族人了。你大概还记得,那些人只能 数到3。难道他会因为数不清大数而放弃比较珠子和铜币数目的打 算?根本不会如此。如果他足够聪明,他一定会通过把珠子和铜币 逐个相比的办法来得出答案。他可以把一粒珠子和一枚铜币放在 起,另一粒珠子和另一枚铜币放在一起,并且一直这样做下去。 如果珠子用光了,而还剩下些铜币,他就知道,铜币多于珠子;如 果铜币先用光了,珠子却还有多余,他就明白,珠子多于铜币;如 果两者同时用光,他就晓得,珠子和铜币数目相等。 康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法正好与此相同:我 们可以给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组 都一个不剩,这两组无穷大就是相等的;如果有一组还有些数没 有配出去,这一组就比另一组大些,或者说强些。 这显然是合理的、并且实际上也是唯一可行的比较两个无穷 大数的方法。但是,当你把这个方法付诸实施时,你还得准备再吃 惊。举例来说,所有偶数和所有奇数这两个无穷大数列,你当然 会直觉地感到它们的数目相等。应用上述法则,也完全合理,因为
12 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 够的时间，人们总能把它们从头到尾写出来。 然而，确实存在着一些无穷大的数，它们比我们所能写出的 无论多长的数都还要大。例如，“所有整数的个数”和“一条线上 所有几何点的个数”显然都是无穷大的。关于这类数字，除了说 它们是无穷大之外，我们还能说什么呢？难道我们能够比较一下 上面那两个无穷大的数，看看哪个“更大些”吗？ “所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数，究竟哪个大 些？”——这个问题有意义吗？乍一看，提这个问题可真是头脑发 昏，但是著名数学家康托尔（Georg Cantor）首先思考了这个问 题。因此，他确实可被称为“无穷大数算术”的奠基人。 当我们要比较几个无穷大的数的大小时，就会面临这样一个 问题：这些数既不能读出来，也无法写出来，该怎样比较呢？这下 子，我们自己可有点像一个想要弄清自己的财物中，究竟是玻璃 珠子多，还是铜币多的原始部族人了。你大概还记得，那些人只能 数到 3。难道他会因为数不清大数而放弃比较珠子和铜币数目的打 算？根本不会如此。如果他足够聪明，他一定会通过把珠子和铜币 逐个相比的办法来得出答案。他可以把一粒珠子和一枚铜币放在 一起，另一粒珠子和另一枚铜币放在一起，并且一直这样做下去。 如果珠子用光了，而还剩下些铜币，他就知道，铜币多于珠子；如 果铜币先用光了，珠子却还有多余，他就明白，珠子多于铜币；如 果两者同时用光，他就晓得，珠子和铜币数目相等。 康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法正好与此相同：我 们可以给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组 都一个不剩，这两组无穷大就是相等的；如果有一组还有些数没 有配出去，这一组就比另一组大些，或者说强些。 这显然是合理的、并且实际上也是唯一可行的比较两个无穷 大数的方法。但是，当你把这个方法付诸实施时，你还得准备再吃 一惊。举例来说，所有偶数和所有奇数这两个无穷大数列，你当然 会直觉地感到它们的数目相等。应用上述法则，也完全合理，因为
第一章大数 这两组数间可建立如下的一一对应关系 135791113151719等等 2468101214161820等等 在这个表中,每一个偶数都与一个奇数相对应。看,这确实再 简单、再自然不过了! 但是,且慢。你再想一想:所有整数(奇偶数都在内)的数 目和单单偶数的数目,哪个大呢?当然,你会说前者大一些,因为 所有的整数不但包含了所有的偶数,还要加上所有的奇数啊。但 这只不过是你的印象而已。只有应用上述比较两个无穷大数的法 则,才能得出正确的结果。如果你应用了这个法则,你就会吃惊地 发现,你的印象是错误的。事实上,下面就是所有整数和偶数的一 一对应表 678等等 246810121416等等 按照上述比较无穷大数的规则,我们得承认,偶数的数目正 好和所有整数的数目一样大。当然,这个结论看来是十分荒谬的, 因为偶数只是所有整数的一部分。但是不要忘了,我们是在与无 穷大数打交道,因而就必须做好遇到异常的性质的思想准备。 在无穷大的世界里,部分可能等于全部!关于这一点,著名德 国数学家希尔伯特( David hilbert)有一则故事说明的再好不过 了。据说在他的一篇讨论无穷大的演讲中,他曾用下面的话来叙 述无穷大的似非而是的性质: 我们设想有一家旅店,内设有限个房间,而所有的房间都已 客满。这时来了位新客,想订个房间。旅店主说:“对不起,所 有的房间都住满了。”现在再设想另一家旅店,内设无限多个房 ①这段文字从未印行过,甚至希尔伯特本人也未写成文字,但是广泛流传着。本书引 A R. Courant, The Complete Collection of Helbert Stories
13 第一章 大 数 这两组数间可建立如下的一一对应关系： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 等等 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 等等 在这个表中，每一个偶数都与一个奇数相对应。看，这确实再 简单、再自然不过了！ 但是，且慢。你再想一想：所有整数（奇偶数都在内）的数 目和单单偶数的数目，哪个大呢？当然，你会说前者大一些，因为 所有的整数不但包含了所有的偶数，还要加上所有的奇数啊。但 这只不过是你的印象而已。只有应用上述比较两个无穷大数的法 则，才能得出正确的结果。如果你应用了这个法则，你就会吃惊地 发现，你的印象是错误的。事实上，下面就是所有整数和偶数的一 一对应表： 1 2 3 4 5 6 7 8 等等 2 4 6 8 10 12 14 16 等等 按照上述比较无穷大数的规则，我们得承认，偶数的数目正 好和所有整数的数目一样大。当然，这个结论看来是十分荒谬的， 因为偶数只是所有整数的一部分。但是不要忘了，我们是在与无 穷大数打交道，因而就必须做好遇到异常的性质的思想准备。 在无穷大的世界里，部分可能等于全部！关于这一点，著名德 国数学家希尔伯特（David Hilbert）有一则故事说明的再好不过 了。据说在他的一篇讨论无穷大的演讲中，他曾用下面的话来叙 述无穷大的似非而是的性质：① 我们设想有一家旅店，内设有限个房间，而所有的房间都已 客满。这时来了位新客，想订个房间。旅店主说：“对不起，所 有的房间都住满了。”现在再设想另一家旅店，内设无限多个房 ① 这段文字从未印行过，甚至希尔伯特本人也未写成文字，但是广泛流传着。本书引 自 R. Courant, The Complete Collection of Helbert Stories
120世纪科普经典特藏队从一到无穷大 间,所有房间也都客满了。这时也有一位新客来临,想订个房间。 “不成问题!”旅店主说。接着,他就把一号房间里的旅客移 至二号房间,二号房间的旅客移到三号房间,三号房间的旅客移 到四号房间,等等,这一来,新客就住进了已被腾空的一号房 间 我们再设想一座有无限个房间的旅店,各个房间也都住满 了。这时,又来了无穷多位要求订房间的客人。 好的,先生们请等一会儿。”旅店主说。 他把一号房间的旅客移到二号房间,二号房间的旅客移到四 号房间,三号房间的旅客移到六号房间,如此,如此 现在,所有的单号房间都腾出来了。新来的无穿多位客人可 以住进去了。 由于希尔伯特讲这段故事时正值世界大战期间,所以,即使 在华盛顿,这段话也不容易被人们所理解。但这个例子却确实举 到了点子上,它使我们明白了:无穷大数的性质与我们在普通算 术中所遇到的一般数字大不一样 按照比较两个无穷大数的康托尔法则,我们还能证明,所有 的普通分数如 3375 等的数目和所有的整数相同。把所有的分 数按照下述规则排列起来:先写下分子与分母之和为2的分数,这 样的分数只有一个,即1;然后写下两者之和为3的分数,即2和 1;再往下是两者之和为4的,即3,2,1。这样做下去,我们 可以得到一个无穷的分数数列,它包括了所有的分数(图5)现 在,在这个数列旁边写上整数数列,就得到了无穷分数与无穷整 数的一一对应。可见,它们的数目又是相等的! 作者这句话说得比较含蓄,意思大概是说:本来这些概念就不好懂,再加上希尔伯 特的国籍是德国——美国在世界大战中的敌国,因此,这段话当时就更不易为美国人所接 受」
14 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 间，所有房间也都客满了。这时也有一位新客来临，想订个房间。 “不成问题！”旅店主说。接着，他就把一号房间里的旅客移 至二号房间，二号房间的旅客移到三号房间，三号房间的旅客移 到四号房间，等等，这一来，新客就住进了已被腾空的一号房 间。 我们再设想一座有无限个房间的旅店，各个房间也都住满 了。这时，又来了无穷多位要求订房间的客人。 “好的，先生们请等一会儿。”旅店主说。 他把一号房间的旅客移到二号房间，二号房间的旅客移到四 号房间，三号房间的旅客移到六号房间，如此，如此。 现在，所有的单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可 以住进去了。 由于希尔伯特讲这段故事时正值世界大战期间，所以，即使 在华盛顿，这段话也不容易被人们所理解 * 。但这个例子却确实举 到了点子上，它使我们明白了：无穷大数的性质与我们在普通算 术中所遇到的一般数字大不一样。 按照比较两个无穷大数的康托尔法则，我们还能证明，所有 的普通分数 3 375 7 8 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 如， 等 的数目和所有的整数相同。把所有的分 数按照下述规则排列起来：先写下分子与分母之和为 2 的分数，这 样的分数只有一个，即 1 1 ；然后写下两者之和为 3 的分数，即 2 1 和 1 2 ；再往下是两者之和为 4 的，即 3 1 ， 2 2 ， 1 3 。这样做下去，我们 可以得到一个无穷的分数数列，它包括了所有的分数（图 5）。现 在，在这个数列旁边写上整数数列，就得到了无穷分数与无穷整 数的一一对应。可见，它们的数目又是相等的！ * 作者这句话说得比较含蓄，意思大概是说：本来这些概念就不好懂，再加上希尔伯 特的国籍是德国——美国在世界大战中的敌国，因此，这段话当时就更不易为美国人所接 受了。——译者