大数 “万”开始,然后引进一个新数“万万”(亿)作为第二阶单位 然后是“亿亿”(第三阶单位)、“亿亿亿”(第四阶单位),等等。 写个大数字,看来似乎不足挂齿,没有必要专门用几页的篇 幅来谈论。但在阿基米德那个时代,能够找到写出大数字的办法, 确实是一项伟大的发现,使数学向前迈出了一大步。 为了计算填满整个宇宙空间所需的沙子总数,阿基米德首先 得知道宇宙的大小。按照当时的天文学观点,宇宙是一个嵌有星 星的水晶球。阿基米德的同时代人,著名的天文学家,萨摩斯 的阿里斯塔克斯( Aristarchus)"求得从地球到天球面的距离为 10000000000斯塔迪姆,即约为100000000英里。 阿基米德把天球和沙粒的大小相比,进行了一系列足以把小 学生吓出梦魇症来的运算,最后他得出结论说: 很明显,在阿里斯塔克斯所确定的天球内所能装填的沙 子粒数,不会超过一千万个第八阶单位° 这里要注意,阿基米德心目中的宇宙的半径要比现代科学家 们所观察到的小得多。十亿英里,这只不过刚刚超过从太阳到土 星的距离。以后我们将看到,在望远镜里,宇宙的边缘是在 50000000000000000里的地方,要填满这样一个已被 观测到的宇宙,所需要的沙子数超过 10粒(即1的后面有100个零) 这个数字显然比前面提到的宇宙间的原子总数3×104大多了 这是因为宇宙间并非塞满了原子。实际上,在一立方米的空间内, *萨摩斯是希腊的一个岛。 *阿里斯塔克斯是公元前3世纪的希腊天文学家。—译者 ①斯塔迪姆是古希腊的长度单位,1斯塔迪姆为606英尺6英寸,或188米 ②用我们现在的数学表示法,这个数字是 千万 第三阶第四阶 (10000000)×(100000000)×(100000000)×(100000000) 第五阶第六阶 第七阶 第八阶 00000000×(100000000)×(100000000)×(100000000) 也可以简写成 0°3(即在1的后面有63个零
5 第一章 大 数 “万”开始，然后引进一个新数“万万”（亿）作为第二阶单位， 然后是“亿亿”（第三阶单位）、“亿亿亿”（第四阶单位），等等。 写个大数字，看来似乎不足挂齿，没有必要专门用几页的篇 幅来谈论。但在阿基米德那个时代，能够找到写出大数字的办法， 确实是一项伟大的发现，使数学向前迈出了一大步。 为了计算填满整个宇宙空间所需的沙子总数，阿基米德首先 得知道宇宙的大小。按照当时的天文学观点，宇宙是一个嵌有星 星的水晶球。阿基米德的同时代人，著名的天文学家，萨摩斯 * 的阿里斯塔克斯（Aristarchus）**求得从地球到天球面的距离为 10 000 000 000 斯塔迪姆 ①，即约为 1 000 000 000 英里。 阿基米德把天球和沙粒的大小相比，进行了一系列足以把小 学生吓出梦魇症来的运算，最后他得出结论说： 很明显，在阿里斯塔克斯所确定的天球内所能装填的沙 子粒数，不会超过一千万个第八阶单位 ②。 这里要注意，阿基米德心目中的宇宙的半径要比现代科学家 们所观察到的小得多。十亿英里，这只不过刚刚超过从太阳到土 星的距离。以后我们将看到，在望远镜里，宇宙的边缘是在 5 000 000 000 000 000 000 000 英里的地方，要填满这样一个已被 观测到的宇宙，所需要的沙子数超过 10100粒（即 1 的后面有 100 个零）。 这个数字显然比前面提到的宇宙间的原子总数 3×1074大多了， 这是因为宇宙间并非塞满了原子。实际上，在一立方米的空间内， * 萨摩斯是希腊的一个岛。——译者 ** 阿里斯塔克斯是公元前 3 世纪的希腊天文学家。——译者 ① 斯塔迪姆是古希腊的长度单位，1 斯塔迪姆为 606 英尺 6 英寸，或 188 米。 ② 用我们现在的数学表示法，这个数字是： 一千万 第二阶 第三阶 第四阶 (10 000 000)×(100 000 000)×(100 000 000)×(100 000 000)× 第五阶 第六阶 第七阶 第八阶 (100 000 000)×(100 000 000)×(100 000 000)×(100 000 000) 也可以简写成 1063（即在 1 的后面有 63 个零）
120世纪科普经典特藏从一到无穷大 平均才只有一个原子。 要想得到大数目字,并不一定要把整个宇宙倒满沙子,或进 行诸如此类的剧烈活动。事实上,在很多乍一看来似乎很简单的 问题中,也常会遇到极大的数字,尽管你原先决不会想到,其中会 出现大于几千的数字。 有一个人曾经在大数目字上吃了亏,那就是印度的舍罕王 Shirham)根据古老的传说,舍罕王打算重赏象棋的发明人 和进贡者,宰相西萨·班·达依尔( Sissa ben dahir)。这位聪 明大臣的胃口看来并不大,他跪在国王面前说:“陛下,请您 在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子;在第二个小格 内给两粒,第三格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前 小格加一倍。陛下啊,把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒, 都赏给您的仆人罢!” 爱卿。你所求的并不多啊。”国王说道,心里为自己对这样 一件奇妙的发明所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。“你当然 会如愿以偿的。”说着,他令人把一袋麦子拿到宝座前。 计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒,第二格内放两粒, 图2机敏的数学家西萨·班·达依尔宰相正在向印度的舍罕王请求赏赐 *这里的象棋指的是国际象棋。整个棋盘是由64个小方格组成的正方形。双方的 棋子(每方16个,包括王一枚,王后一枚、相两枚、马两枚,车两枚、兵八枚)在 格内移动,以消灭对方的王为胜。棋盘的形状可参见插图2。—译者
6 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 平均才只有一个原子。 要想得到大数目字，并不一定要把整个宇宙倒满沙子，或进 行诸如此类的剧烈活动。事实上，在很多乍一看来似乎很简单的 问题中，也常会遇到极大的数字，尽管你原先决不会想到，其中会 出现大于几千的数字。 有一个人曾经在大数目字上吃了亏，那就是印度的舍罕王 （Shirham）。根据古老的传说，舍罕王打算重赏象棋 * 的发明人 和进贡者，宰相西萨·班·达依尔（Sissa Ben Dahir）。这位聪 明大臣的胃口看来并不大，他跪在国王面前说：“陛下，请您 在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格 内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前 一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有 64 格的麦粒， 都赏给您的仆人罢！” “爱卿。你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这样 一件奇妙的发明所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。“你当然 会如愿以偿的。”说着，他令人把一袋麦子拿到宝座前。 计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒，第二格内放两粒， 图 2 机敏的数学家西萨·班·达依尔宰相正在向印度的舍罕王请求赏赐 * 这里的象棋指的是国际象棋。整个棋盘是由 64 个小方格组成的正方形。双方的 棋子（每方 16 个，包括王一枚，王后一枚、相两枚、马两枚，车两枚、兵八枚）在 格内移动，以消灭对方的王为胜。棋盘的形状可参见插图 2。——译者
第一章大数 第三格内放四粒,……还没到第二十格,袋子已经空了。一袋又 袋的麦子被扛到国王面前来。但是,麦粒数一格接一格地增长 得那样迅速,很快就可以看出,即便拿来全印度的粮食,国王也 兑现不了他对西萨·班·达依尔许下的诺言了,因为这需要有 18446744073709551615颗麦粒呀! 这个数字不像宇宙间的原子总数那样大,不过也已经够可观 了。1蒲式耳小麦约有5000000颗,照这个数,那就得给西萨 班·达依尔拿来4万亿蒲式耳才行。这位宰相所要求的,竟是全世 界在2000年内所生产的全部小麦! 这么一来,舍罕王发觉自己欠了宰相好大一笔债。什么办?要 么是忍受西萨·班·达依尔没完没了的讨债,要么是干脆砍掉他 的脑袋。据我猜想,国王大概选择了后面这个办法。 另一个由大数目字当主角的故事也出自印度,它是和“世界 末日”的问题有关的。偏爱数学的历史学家鲍尔(Ball)是这样讲 述这段故事的2: 在世界中心贝拿勒斯”的圣庙里。安放着一个黄铜板 板上插着三根宝石针。每根针高约1腕尺(1腕尺大约合20 英寸)。像韭菜叶那样粗细。梵天在创造世界的时候,在 其中的一根针上从下到上放下了由大到小的64片金片。这就 是所谓梵塔。不论白天黑夜,都有一个值班的僧侣按照梵天 ①这位聪明的宰相所要求的麦子粒数可写为 在数学上,这类每一个数都是前一个数的固定倍数的数列叫做几何级数(在我们这个例子 里,这个倍数为2)。可以证明,这种级数所有各项之和,等于固定倍数(在本例中为2) 的项数次方幂(在本例中为64)减去第一项(此例中为1)所得到的差除以固定倍数与1 之差。这就是 直接写出结果来就是 18446744073709551615。 *蒲式耳是欧美的容量单位(计箅谷物专用)。1蒲式耳约合352升。——译者 ②引自 W. W.R. Bal, Mathmatical Recreations and Essays(《数学拾零》 **贝拿勒斯是佛教的圣地,位于印度北部 本*梵天是印度教的主神。—译者
7 第一章 大 数 第三格内放四粒，……还没到第二十格，袋子已经空了。一袋又 一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长 得那样迅速，很快就可以看出，即便拿来全印度的粮食，国王也 兑现不了他对西萨·班·达依尔许下的诺言了，因为这需要有 18 446 744 073 709 551 615 颗麦粒 ①呀！ 这个数字不像宇宙间的原子总数那样大，不过也已经够可观 了。1 蒲式耳 * 小麦约有 5 000 000 颗，照这个数，那就得给西萨· 班·达依尔拿来 4 万亿蒲式耳才行。这位宰相所要求的，竟是全世 界在 2000 年内所生产的全部小麦！ 这么一来，舍罕王发觉自己欠了宰相好大一笔债。什么办？要 么是忍受西萨·班·达依尔没完没了的讨债，要么是干脆砍掉他 的脑袋。据我猜想，国王大概选择了后面这个办法。 另一个由大数目字当主角的故事也出自印度，它是和“世界 末日”的问题有关的。偏爱数学的历史学家鲍尔（Ball）是这样讲 述这段故事的 ② ： 在世界中心贝拿勒斯 * *的圣庙里。安放着一个黄铜板， 板上插着三根宝石针。每根针高约 1 腕尺（1 腕尺大约合 20 英寸）。像韭菜叶那样粗细。梵天 ***在创造世界的时候，在 其中的一根针上从下到上放下了由大到小的 64 片金片。这就 是所谓梵塔。不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣按照梵天 ① 这位聪明的宰相所要求的麦子粒数可写为 1+2+22 +23 +24 +……262+263 在数学上，这类每一个数都是前一个数的固定倍数的数列叫做几何级数（在我们这个例子 里，这个倍数为 2）。可以证明，这种级数所有各项之和，等于固定倍数（在本例中为 2） 的项数次方幂（在本例中为 64）减去第一项（此例中为 1）所得到的差除以固定倍数与 1 之差。这就是： 64 2 1 64 2 1 2 1 − = − − 直接写出结果来就是 18 446 744 073 709 551 615。 * 蒲式耳是欧美的容量单位（计算谷物专用）。1 蒲式耳约合 35.2 升。——译者 ② 引自 W.W.R.Ball, Mathmatical Recreations and Essays（《数学拾零》）。 ** 贝拿勒斯是佛教的圣地，位于印度北部。——译者 *** 梵天是印度教的主神。——译者
120世纪科普经典特藏从一到无穷大 不渝的法则,把这些金片在三根针上移来移去:一次只能移 片,并且要求不管在哪一根针上,小片永远在大片的上面。 当所有64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一 根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,梵塔、庙宇和众生都 将同归于尽。 图3是按故事的情节所作的画,只是金片少画了一些。你不妨 用纸板代表金片,拿长钉代替宝石针,自己搞这么一个玩具。不难 图3一个僧侣在大佛像前解决“世界未日”的问题。为了 省事起见,这里没有画出64片金片来 发现,按上述规则移动金片的规律是:不管把哪一片移到另一根 针上,移动的次数总要比移动上面一片增加一倍。第一片只需 次,下一片就按几何级数加倍。这样,当把第64片也移走后,总 的移动次数便和西萨·班·达依尔所要求的麦粒数一样多了! 把这座梵塔全部64片金片都移到另一根针上,需要多长时间 ①如果只有7片,则需要移动的次数为 +2+22+23+……-27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127 当金片为64片时,需要移动的次数则为 2-1=18446744073709551615 这就和西萨·班·达依尔所要求的麦粒数相同了
8 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 不渝的法则，把这些金片在三根针上移来移去：一次只能移 一片，并且要求不管在哪一根针上，小片永远在大片的上面。 当所有64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一 根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都 将同归于尽。 图 3 是按故事的情节所作的画，只是金片少画了一些。你不妨 用纸板代表金片，拿长钉代替宝石针，自己搞这么一个玩具。不难 图 3 一个僧侣在大佛像前解决“世界未日”的问题。为了 省事起见，这里没有画出 64 片金片来 发现，按上述规则移动金片的规律是：不管把哪一片移到另一根 针上，移动的次数总要比移动上面一片增加一倍。第一片只需一 次，下一片就按几何级数加倍。这样，当把第 64 片也移走后，总 的移动次数便和西萨·班·达依尔所要求的麦粒数一样多了 ①！ 把这座梵塔全部 64 片金片都移到另一根针上，需要多长时间 ① 如果只有 7 片，则需要移动的次数为 1+21 +22 +23 +……＝27 －1＝2×2×2×2×2×2×2－1＝127 当金片为 64 片时，需要移动的次数则为 264－1＝18 446 744 073 709 551 615。 这就和西萨·班·达依尔所要求的麦粒数相同了
大数 呢?一年有31558000秒。假如僧侣们每一秒钟移动一次,日夜不 停,节假日照常干,也需要将近5800亿年才能完成。 把这个纯属传说的寓言和按现代科学得出的推测对比一下倒 是很有意思的。按照现代的宇宙进化论,恒星、太阳、行星(包 括地球)是在大约30亿年前由不定形物质形成的。我们还知道, 给恒星,特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100亿 ~150亿年(见“创世的年代”一章)。因此,我们太阳系的整个 寿命无疑要短于200亿年,而不像这个印度传说中所宣扬的那样 长!不过,传说毕竞只是传说啊! 在文学作品中所提及的最大数字,大概就是那个有名的“印 刷行数问题”了。 假设有一台印刷机器可以连续印出一行行文字,并且每一行 都能自动换一个字母或其他印刷符号,从而变成与其他行不同的 字母组合。这样一架机器包括一组圆盘,盘与盘之间像汽车里程 表那祥装配,盘缘刻有全部字母和符号。这样,每一片轮盘转动一 周,就会带动下一个轮盘转动一个符号。纸张通过滚筒自动送入 盘下。这样的机器制造起来没有太大的困难,图4是这种机器的示 意图。 现在,让我们开动这架印刷机,并检查印出的那些没完没了 的东西吧。在印出的一行行字母组合当中,大多数根本没有什么意 aaaaaaaaaaaa 或者 boobooboobooboo 或者 zawkpopkossscilm 但是,既然这台机器能印出所有可能的字母及符号的组合,我们就 能从这堆玩艺儿中找出有点意思的句子。当然,其中又有许多是 胡说八道,如
9 第一章 大 数 呢？一年有 31 558 000 秒。假如僧侣们每一秒钟移动一次，日夜不 停，节假日照常干，也需要将近 5800 亿年才能完成。 把这个纯属传说的寓言和按现代科学得出的推测对比一下倒 是很有意思的。按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包 括地球）是在大约 30 亿年前由不定形物质形成的。我们还知道， 给恒星，特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持 100 亿 ~150 亿年（见“创世的年代”一章）。因此，我们太阳系的整个 寿命无疑要短于 200 亿年，而不像这个印度传说中所宣扬的那样 长！不过，传说毕竟只是传说啊！ 在文学作品中所提及的最大数字，大概就是那个有名的“印 刷行数问题”了。 假设有一台印刷机器可以连续印出一行行文字，并且每一行 都能自动换一个字母或其他印刷符号，从而变成与其他行不同的 字母组合。这样一架机器包括一组圆盘，盘与盘之间像汽车里程 表那祥装配，盘缘刻有全部字母和符号。这样，每一片轮盘转动一 周，就会带动下一个轮盘转动一个符号。纸张通过滚筒自动送入 盘下。这样的机器制造起来没有太大的困难，图 4 是这种机器的示 意图。 现在，让我们开动这架印刷机，并检查印出的那些没完没了 的东西吧。在印出的一行行字母组合当中，大多数根本没有什么意 思，如： aaaaaaaaaaaa… 或者 boobooboobooboo… 或者 zawkpopkossscilm… 但是，既然这台机器能印出所有可能的字母及符号的组合，我们就 能从这堆玩艺儿中找出有点意思的句子。当然，其中又有许多是 胡说八道，如：