第一章大数 2·红 5原始人和康托尔教授都在比较他们数不出来的数目的大小 你可能会说“是啊,这一切都很妙,不过,这是不是就意味 着,所有的无穷大数都是相等的呢?如果是这样,那还有什么可比 的呢?” 不。事情并不是这样。人们可以很容易地找出比所有整数或 所有分数所构成的无穷大数还要大的无穷大数来。 如果研究一下前面出现过的那个比较一条线段上的点数和整数 的个数的多少的问题,我们就会发现,这两个数目是不一样大 的。线段上的点数要比整数的个数多得多。为了证明这一点,我们 先来建立一段线段(比如说1寸长)和整数数列的一一对应关系 这条线段上的每一点都可用这一点到这条线的一端的距离来 表示,而这个距离可以写成无穷小数的形式,如 0.7350624780056 或者 0.38250375632… 现在我们所要做的,就是比较一下所有整数的数目和所有可能存 ①我们已经假定线段长1寸,因此这些小数都小于1
15 第一章 大 数 图 5 原始人和康托尔教授都在比较他们数不出来的数目的大小 你可能会说“是啊，这一切都很妙，不过，这是不是就意味 着，所有的无穷大数都是相等的呢？如果是这样，那还有什么可比 的呢？” 不。事情并不是这样。人们可以很容易地找出比所有整数或 所有分数所构成的无穷大数还要大的无穷大数来。 如果研究一下前面出现过的那个比较一条线段上的点数和整数 的个数的多少的问题，我们就会发现，这两个数目是不一样大 的。线段上的点数要比整数的个数多得多。为了证明这一点，我们 先来建立一段线段（比如说 1 寸长）和整数数列的一一对应关系。 这条线段上的每一点都可用这一点到这条线的一端的距离来 表示，而这个距离可以写成无穷小数的形式，如 0.735 062 478 005 6…… 或者 0.382 503 756 32……① 现在我们所要做的，就是比较一下所有整数的数目和所有可能存 ① 我们已经假定线段长 1 寸，因此这些小数都小于 1
120世纪科普经典特藏队从一到无穷大 在的无穷小数的数目。那么,上面写出的无穷小数和3,8这类 7277 分数有什么不同呢? 大家一定还记得在算术课上学过的这样一条规则:每一个普 通分数都可以化成无穷循环小数。如 =0.66…166、b 0428571.428571.428571.4…=0428571。我们已经证明过, 所有分数的数目和所有整数的数目相等,所以,所有循环小数的数 目必定与所有整数的数目相等。但是,一条线段上的点不可能完 全由循环小数表示出来。绝大多数的点是由不循环的小数表示的。 因此就很容易证明,在这种情况下,一一对应关系是无法建立的。 假定有人声称他已经建立了这种对应关系,并且,对应关系 具有如下形式: N 10.38602563078 20.57350762050… 30.99356753207 40.25763200456… 50.00005320562 60.99035638567 70.55522730567 80.05277365642 当然,由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数一个不漏 地写光,因此,上述声称只不过意味着此人发现了某种普遍规律 (类似于我们用来排列分数的规律),在这种规律的指导下,他制 定了上表,而且任何一个小数或迟或早都会在这张表上出现
16 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 在的无穷小数的数目。那么，上面写出的无穷小数和 3 7 ， 8 277 这类 分数有什么不同呢？ 大家一定还记得在算术课上学过的这样一条规则：每一个普 通分数都可以化成无穷循环小数。如 2 3 = 0.6666……=0.6 · 6， 3 7 = 0.428571⋰428571⋰428571⋰4……=0.4 · 28571 · 。我们已经证明过， 所有分数的数目和所有整数的数目相等，所以，所有循环小数的数 目必定与所有整数的数目相等。但是，一条线段上的点不可能完 全由循环小数表示出来。绝大多数的点是由不循环的小数表示的。 因此就很容易证明，在这种情况下，一一对应关系是无法建立的。 假定有人声称他已经建立了这种对应关系，并且，对应关系 具有如下形式： N 1 0. 3 8 6 0 2 5 6 3 0 7 8…… 2 0. 5 7 3 5 0 7 6 2 0 5 0…… 3 0. 9 9 3 5 6 7 5 3 2 0 7…… 4 0. 2 5 7 6 3 2 0 0 4 5 6…… 5 0. 0 0 0 0 5 3 2 0 5 6 2…… 6 0. 9 9 0 3 5 6 3 8 5 6 7…… 7 0. 5 5 5 2 2 7 3 0 5 6 7…… 8 0. 0 5 2 7 7 3 6 5 6 4 2…… · …………………………… · …………………………… · …………………………… 当然，由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数一个不漏 地写光，因此，上述声称只不过意味着此人发现了某种普遍规律 （类似于我们用来排列分数的规律），在这种规律的指导下，他制 定了上表，而且任何一个小数或迟或早都会在这张表上出现
第一章大数 不过,我们很容易证明,任何一个这类的声称都是站不住脚 的,因为我们一定还能写出没有包括在这张无穷表格之中的无穷多 个小数。怎么写呢?再简单不过了。让这个小数的第一小数位 (十分位)不同于表中第一号小数的第一小数位,第二小数位(百 分位)不同于表中第二号小数的第二小数位,等等。这个数可能 就是这个样子(还可能是别的样子): 非3非7非3非6非5非6非3非5等等 0.52740712 这个数无论如何在上表中是找不到的。如果此表的作者对 你说,你的这个数在他那个表上排在第137号(或其他任何 号),你就可以立即回答说:“不,我这个数不是你那个数,因为 这个数的第137小数位和你那个数的第137小数位不同。” 这么一来,线上的点和整数之间的一一对应就建立不起来了。 也就是说,线上的点数所构成的无穷大数大于(或强于)所有整数 或分数所构成的无穷大数。 刚才所讨论的线段是“1寸长”。不过很容易证明,按照“无 穷大数算术”的规则,不管多长的线段都是一样。事实上,1寸长 的线段也妤,1尺长的线段也好,1里长的线段也好,上面的点数都 是相同的。只要看看图6即可明了,AB和AC为不同长度的两条线 段,现在要比较它们的点数。过AB的每一个点作BC的平行线, 都会与AC相交,这样就形成了一组点。如D与D,E与E,F与 F等。对AB上的任意一点,AC上都有一个点和它相对应,反之亦 然。这样,就建立了一一对应的关系。可见,按照我们的规则,这 两个无穷大数是相等的。 通过这种对无穷大数的分析,还能得到一个更加令人惊异的 结论:平面上所有的点数和线段上所有的点数相等。为了证明这 点,我们来考虑一条长1寸的线段AB上的点数和边长1寸的正方 形CDEF上的点数(图7)
17 第一章 大 数 不过，我们很容易证明，任何一个这类的声称都是站不住脚 的，因为我们一定还能写出没有包括在这张无穷表格之中的无穷多 个小数。怎么写呢？再简单不过了。让这个小数的第一小数位 （十分位）不同于表中第一号小数的第一小数位，第二小数位（百 分位）不同于表中第二号小数的第二小数位，等等。这个数可能 就是这个样子（还可能是别的样子）： 非 3 非 7 非 3 非 6 非 5 非 6 非 3 非 5 等等 0 . 5 2 7 4 0 7 1 2 这个数无论如何在上表中是找不到的。如果此表的作者对 你说，你的这个数在他那个表上排在第 137 号（或其他任何一 号），你就可以立即回答说：“不，我这个数不是你那个数，因为 这个数的第 137 小数位和你那个数的第 137 小数位不同。” 这么一来，线上的点和整数之间的一一对应就建立不起来了。 也就是说，线上的点数所构成的无穷大数大于（或强于）所有整数 或分数所构成的无穷大数。 刚才所讨论的线段是“1 寸长”。不过很容易证明，按照“无 穷大数算术”的规则，不管多长的线段都是一样。事实上，1 寸长 的线段也好，1 尺长的线段也好，1 里长的线段也好，上面的点数都 是相同的。只要看看图 6 即可明了，AB 和 AC 为不同长度的两条线 段，现在要比较它们的点数。过 AB 的每一个点作 BC 的平行线， 都会与 AC 相交，这样就形成了一组点。如 D 与 D′，E 与 E′，F 与 F′等。对 AB 上的任意一点，AC 上都有一个点和它相对应，反之亦 然。这样，就建立了一一对应的关系。可见，按照我们的规则，这 两个无穷大数是相等的。 通过这种对无穷大数的分析，还能得到一个更加令人惊异的 结论：平面上所有的点数和线段上所有的点数相等。为了证明这一 点，我们来考虑一条长 1 寸的线段 AB 上的点数和边长 1 寸的正方 形 CDEF 上的点数（图 7）
120世纪科普经典特藏队从一到无穷大 0.52 F'ED C 假定线段上某点的位置是075120386…。我们可以把这个数 按奇分位和偶分位分开,组成两个不同的小数: 0.7108 0.5236 以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向的距离,便得 出一个点,这个点就叫做原来线段上那个点的“对偶点”。反过 来,对于正方形内的任意一点,比如说由04835…和09907…这 两个数描述的点,我们把这两个数掺到一起,就得到了线段上的 相应的“对偶点”049893057…。 很清楚,这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上 的每一个点在平面上都有一个对应的点,平面上的每一个点在线段 上也有一个对应点,没有剩下来的点。因此,按照康托尔的标准, 正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点数的无穷大数相等。 用同样的方法,我们也容易证明,立方体内所有的点数和正 方形或线段上的所有点数相等,只要把代表线段上一个点的无穷 小数分作三部分①,并用这三个新小数在立方体内找“对偶点”就 ①例如,我们可把数字 0.735106822548312. 分成下列三个新的小数 0.30241 0.56282
18 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 图 6 图 7 假定线段上某点的位置是 0.75120386…。我们可以把这个数 按奇分位和偶分位分开，组成两个不同的小数： 0 . 7 1 0 8… 和 0 . 5 2 3 6… 以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向的距离，便得 出一个点，这个点就叫做原来线段上那个点的“对偶点”。反过 来，对于正方形内的任意一点，比如说由 0.4835…和 0.9907…这 两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起，就得到了线段上的 相应的“对偶点”0.49893057…。 很清楚，这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上 的每一个点在平面上都有一个对应的点，平面上的每一个点在线段 上也有一个对应点，没有剩下来的点。因此，按照康托尔的标准， 正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点数的无穷大数相等。 用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正 方形或线段上的所有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷 小数分作三部分 ①，并用这三个新小数在立方体内找“对偶点”就 ① 例如，我们可把数字 0 . 7 3 5 1 0 6 8 2 2 5 4 8 3 1 2…… 分成下列三个新的小数： 0 . 7 1 8 5 3…， 0 . 3 0 2 4 1…， 0 . 5 6 2 8 2…
第一章大数 行了。和两条不同长度线段的情况一样,正方形和立方体内点数 的多少与它们的大小无关。 尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大,但数学家们还 知道比它更大的数。事实上,人们已经发现,各种曲线,包括任何 一种奇形怪状的样式在内,它们的样式的数目比所有几何点的数目还 要大。因此,应该把它看作是第三级无穷数列 按照“无穷大数算术”的奠基者康托尔的意见,无穷大数是 用希伯来字母N(读作阿莱夫)表示的,在字母的右下角,再用 个小号数字表示这个无穷大数的级别。这样一来,数目字(包括 无穷大数)的数列就成为 1,2,3,4,5,…1,N2,3 我们说“一条线段上有N1个点”或“曲线的样式有2种”, 就和我们平常说“世界有7大洲”或“一副扑克牌有54张”一样 简单了。 和分数的 N 线、面、体上 所有几何曲线 的数目 图8无穷大数的头三级 在结束关于无穷大数的讨论时,我们要指出,无穷大数的级 只要有几个,就足够把人们所能想像出的任何无穷大数都包括进
19 第一章 大 数 行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方体内点数 的多少与它们的大小无关。 尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还 知道比它更大的数。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何 一种奇形怪状的样式在内，它们的样式的数目比所有几何点的数目还 要大。因此，应该把它看作是第三级无穷数列。 按照“无穷大数算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是 用希伯来字母ℵ（读作阿莱夫）表示的，在字母的右下角，再用一 个小号数字表示这个无穷大数的级别。这样一来，数目字（包括 无穷大数）的数列就成为 1，2，3，4，5，…ℵ1，ℵ2，ℵ3… 我们说“一条线段上有ℵ1 个点”或“曲线的样式有ℵ2 种”， 就和我们平常说“世界有 7 大洲”或“一副扑克牌有 54 张”一样 简单了。 图 8 无穷大数的头三级 在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，无穷大数的级 只要有几个，就足够把人们所能想像出的任何无穷大数都包括进