数建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步, 越来越受到人们的重视。 如虎添翼 数学建模 计算机技术 知识经济
数 学 建 模 的 重 要 意 义 • 电子计算机的出现及飞速发展 • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 数学建模 计算机技术 如虎添翼 知识经济
建模示例椅子能在不平的地面上放稳吗? 问题椅子能在不平的地面上放稳吗? 模1椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处可视为一人点,四 型脚的连线呈正方形 假 设2地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没 有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面; 3对于椅脚的间距和椅腿的长度而言,地面是相对平坦的, 使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。 模‖椅脚连线为正方形ABCD(如右图) B B A 型 构t~椅子绕中心点O旋转角度 成 f()~AC两脚与地面距离之和 AX f(t)2g(t)≥0 g(t)AC两脚与地面距离之和 D
建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 问题 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一人点，四 脚的连线呈正方形； 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没 有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面； 3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的， 使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。 模 型 假 设 A B C D t A‘ B‘ C‘ D‘ O x 模 型 构 成 椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。 t ~椅子绕中心点O旋转角度 f(t)~A,C两脚与地面距离之和 g(t)~A,C两脚与地面距离之和 f(t), g(t) 0
模型构成由假设1,f和g都是连续函数 由假设3,椅子在任何位置至少有三只脚 同时着地:对任意t,f(t)和g(t)中至少有 个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,(t)>0,原题 归结为证明如下的数学命题: 已知f(t)和g(t)是t的连续函数对任意t,f(t)“g(t)=0 且g(0)=0,f(0)>0。则存在t,使〔t)=g(t)=0 模型‖将椅子旋转90,对角线AC与BD互换。由g(0)=0,f(O)>0可 求解知g(2)>0 令h)=t)g(t,则h(0)>0和h(2)<0,由和g的连续性知h也是连 续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t(042)使ht)=0, 即ft)=g(t) 最后,因为f(t)·g(t)=0,所以f(t)=g(t=0
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚 同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少有一 个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)>0,原题 归结为证明如下的数学命题： 已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) •g(t)=0, 且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0 模型 求解 O x A‘ B‘ C‘ D‘ A B C D t 最后，因为f(t) •g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。 令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)>0和h( ) <0，由f和g的连续性知h也是连 续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0（0<t0< ),使h(t0 )=0， 即f(t0 )= g(t0 )。 2 2 将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换。 由g(0)=0,f(0)>0可 知g( )>0,f( )=0 2 2
建模示例商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) 随从们密约,在河的任一岸,河 旦随从的人数比商人多, 就杀人越货 〗小船(至多2人) 但是乘船渡河的方案由商人决定.△A△3名商人 商人们怎样才能安全过河? ××3名随从 问题分析 多步决策过程 决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多)经有 狠步使全体人员过河
建模示例 商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) 3名商人 3名随从 河 小船(至多2人) 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. 但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河? 问题分析 多步决策过程 决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河
模型构成 x~第k次渡河前此岸的商人数Xy=01.3 yk~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2 s=(x,y)过程的状态S~允许状态集合 uk~第k次渡船上的商人数uV2y=12 S={(X,y)x=0,y=0,132,3;x=3,y=0,1,2,3; v~第k次渡船上的随从数k=1,2 d=(uk,V)决策D={(u,V)u+v=1,2}~允许决策集合 k+1=S+(-1)d~状态转移律 多步决求d∈D(k=1,2,…n),使s∈S按转移律 策问题」由s=(3)到达sm=(0,0
模型构成 xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 xk , yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk )~过程的状态 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} S ~ 允许状态集合 uk~第k次渡船上的商人数 vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk )~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合 uk , vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk+( dk -1)k ~状态转移律 求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律 由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0). 多步决 策问题