第4章频率城滤波 129 一个简单函数的傅里叶变换 F=f(edr=J2AeP山 动ewa em-e]小Aw (xW) 其中，我们利用了三角学恒等式sn0=(c9-e)/2j。在这种情况下，傅里叶变换的复数项精细地合并 为一个实正弦函数。前面表达式的最后一步是熟知的sc函数： sinc(m)sin(n) (42-19) 《Um) 其中，sinc(0)=1,对于m的所有其他整数值，sncm)=0。图4.4句)显示了F()的曲线。 通常，傅里叶变换包含复数项，且为显示目的，通常处理该变换的幅值（一个实量），该幅值称为傅 里叶谱或频谱： F啡-Awe 图4.4（©）显示了作为频率的函数的F(μ的曲线。我们注意的关键特性是F(4)和F(μ)的零值位置与“盒 状”函数的宽度W成反比，即波瓣的高度随函数距原点的距离降低，并且函数在：值的正方向和负方向 上无限扩展。正如您在稍后将会看到的那样，这些性质对解释图像的二维傅里叶变换谱十分有用。 a b c lECl AW aaa -2/w 2/W. ..-2/W /w2w. 图44(a一个简单的函数：()该函数的傅里叶变换：()该函数的谱。所有函数在两个方向上都无限扩展 例4.2冲激和冲激串的傅里叶变换 位于原点的单位冲澈的傅里叶变换由式(4.2-16)给出： F(u)）=∫广ewd=厂ew80t=e0=e°=l 其中，第三步由式(4.29)中的取样特性得出。这样，我们看到，一个位于空间域原点的冲激的傅里叶变 换，在频率域是一个常数。类似地。位于1=6的一个冲激的傅里叶变换是 F)=厂60-6)e-d山=∫广ew60-6)d=e=cos(2u)-jsin(2r,) 公式的第三步由式(4210)中的取样特性得到，最后一行由欧拉公式得到。最后两行是以复平面原点为中 28 心的单位圆的等效表示。 230
130 数字像处理（第三版） 在43节，我们将利用周期冲激串的傅里叶变换。得到这个变换并不像我们得到刚才显示的单个冲激 的变换那样简单。然而，理解如何推导一个冲激串的变换是十分重要的，因此这里我们花一些时间来详 细推导它。我们从仅在形式上与式(4216)和(4217)的指数符号上有些不同的注释开始。这样，如果函 数了有傅里叶变换F(),则在点求值后函数是F),它一定有变换f(一4)。使用这种对称特性和上 面给出的冲激6-)的傅里叶变换是e%，,可得函数e卫%的变换为6(-μ-6)。令-6=a,可得 e卫的变换是6(-u+a)=μ-a),其中最后一步是正确的，因为6仅在4=a时不为零，对于 6(-μ+a)或6（μ-a),结果均相同，因此这两种形式是等价的。 式(4214)中的冲激串sx)是周期为△T的周期函数，因此由422节可知它可表示为一个傅里叶级数： rm=∑ce0 其中。 参考图43，我们看到区间-△T12,△T12的积分仅包含位于原点的冲激5)。因此。上面的公式变为 然后，傅里叶级数可展开为 如立2帝 我们的目的是得到该表达式的傅里叶变换。因为求和是线性过程，得到和的傅里叶变换与求各个分 量的傅里叶变换之和是相同的。这些分量是指数形式，在这个例子中，我们早些时候已确立 因此，周期冲激串54，)的傅里叶变换S)是 sum=s-8位20如2立2“-) 这个基本结果告诉我们，周期为△T的冲激串的傅里叶变换还是冲激串，其周期为1/△T。5,)和S(4) 之间周期的这种反比关系与图4.4中盒状函数及其变换之间的关系是类似的。这种特性在本章的其余部分 中扮演着主要角色。 4.2.5卷积 在讨论之前，我们还需要建立一个模块。我们在3.4.2节介绍过卷积的概念。在那一节，您已了 解两个函数的卷积涉及一个函数关于原点做翻转（旋转180°）并滑过另一个函数。在滑动过程中的每 一个位移处我们执行计算，在第3章的情况下是计算乘积之和。在当前讨论中，我们的兴趣在于具有 连续变量1的两个连续函数f)和)的卷积，因此我们必须用积分代替求和。像之前那样，这两个 函数的卷积由算子★表示，卷积定义如下： 画 f)★h)=」f(c)ht-t)dr (4.2-20
第4章频率域滤波 131 其中，负号表示网刚刚提及的翻转，1是一个函数滑过另一个函数的位移.而：是积分假变量。现在我 们假定函数从一∞扩展到∞。 在图3.4.2中我们说明了卷积的基本机制，而且在本章稍后和第5章中我们会再次说明它。此时， 我们的兴趣在于寻找式(4.2-20)的傅里叶变换。我们从式(4.2-15)开始： 3o*ho=∫feh-dre山=∫feyh-edrd 方括号中的项是一)的傅里叶变换。我们在本章稍后将证明 3h-)川=H(u)e2r,其中H()是h)的傅里叶变换。在前 如果颜倒0和)的顺序，可 以得到相同的结果。故卷积清足交 一公式中利用这一事实可得 换律。 (f()[H()e dr=H(f(e-d=H()F() 回顺一下42.4节，我们将所在的域称为空间域。而将μ所在的域称为频率域，前面的公式告诉我 们，空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积。反过来， 如果有两个变换的乘积，那么我们可以通过计算傅里叶反变换得到空间域的卷积。换句话说 f)★h()和H(u)F(4)是傅里叶变换对。这一结果是卷积定理的一半，并可以写为 f)★h)台H(4)F(4) (4.2-21)】 双箭头用于指示右边的表达式是通过对左边的表达式执行傅里叶变换得到的，而左边的表达式是通过 求右边的表达式的傅里叶反变换得到的。 遵循类似的推导可得到卷积定理的另一半： f)h()台H(μ)★F(4) (42-22 它说明频率域的卷积类似于空间域的乘积，两者分别与傅里叶正、反变换相联系。正如在本章稍后您 将看到的那样，卷积定理是频率域滤波的基础。 4.3取样和取样函数的傅里叶变换 在这一节，我们将利用4.2节的概念系统地阐述取样的数学基础。这将从基本原理开始引导我们 学习取样函数的傅里叶变换。 4.3.1取样 用计算机处理之前，连续函数必须转换为离散值序列。正如2.4节介绍的那样，这是用取样和量 化来完成的。在下面的讨论中，我们将详细地研究取样。 参考图45，考虑一个连续函数f),我们希望以独立变量1的均今间隔（△T)取样。我们假定函 数对于！从一x到x扩展。如4.2.3节讨论的那样，模拟取样的一种方法是用一个△T单位间隔的冲激 串作为取样函数去乘以f),即 j0=f05r0=∑f06-naTn (4.3-1) 中。和表示取样后的函数。这一和式的每一个分量都是由在该冲激位置处0的值加权后的冲激，园
132 数字图像处理（第三版） 如图45(。)所示。每个取样值由加权后的冲激“强度”给出，我们可通过积分得到它。也就是，序列中的 任意取样值f由下式给出： 按△了单位间隔取样表明取样常 人=」fu)8t-k△T)d=fk△T) (4.3-2) 等于/AT如果△T的单位为衫 其中，我们利用了式(4.2-10)中6的取样特性。式(4.3-2)对任何整数是取样数来，依次类推 k=…,-2.-1,0.1,2.…都成立。图4.5(@)显示了结果，它由原始函数的 等间隔取样组成。 -2T-70T24T f(ossr(t) T 27-70T27 =f(aT) ·。 。 图45(a)一个连续函数：()用于模拟取样过程的冲激串()图(a)和图6)相乘形成的取样后的函数 (@)由积分并使用冲激的取样特性得到的取样值[图（©）中的虚线仅供参考，它不是数据的部分】 4.3.2取样函数的傅里叶变换 令F()代表连续函数f)的傅里叶变换。如前节讨论的那样，取样后的相应函数)是f 与一个冲激律的乘积。由42.5节的卷积定理我们可知，空间域两个函数乘积的傅里叶变换是两个函 数在频率域的卷积。这样，取样后的函数了)的傅里叶变换F()是 F)=3j月=3{f)saI)}=F(u)★S() (43-3) 其中，由例4.2可知 (4.3-4)
第4章频率域滤波 133 是冲激串s)的傅里叶变换。由式(4.2-20)中的定义我们可直接得到F(4)和S()的卷积： F=Fu★S4)=F(e)Su-)dr Fo2u-tr=∫re6u-rr (4.35) 立立 其中，最后一步来自于由式(4.210)给出的冲激取样特性。 式(4.35)中最后一行的球和表明，取样后的函数了)的傅里叶变换F()是F(山的一个拷贝的无 限、周期序列，也是原始连续函数的傅里叶变换。拷贝间的间隔由V△T的值决定。很明显，虽然)是 取样后的函数，但其变换F(4)是连续的，因为它油F(4)的几个拷贝组成，所以F(4)是一个连续函数 图4.6是前面结果的一个图示总结P。图4.6(a)是函数f)的傅里叶变换F(4)的简图，图4.66) 显示了取样后的函数的变换F(山)。正如前节提到的那样，1V△T是用于生成取样后的函数的取样率 因此，在图4.66)中，取样率要足够高，以便在周期之间提供有效的间隔。并保持F()的完整性。 在图4.6(c)中，取样率网刚好足以保持F(4),但在图4.6(@)中，取样率低于保持不同F()拷贝的最小 取样率要求，这样，就不能保持原始变换。图4.6(b)是对信号过取样后的结果，图4.6(c)和()分别是 对信号临界取样和欠取样后的结果。这些概念是下一节内容的基础。 F(u 个个个个个 1八 -3A-2Ar-1A701A72A73/7 图46()一个带限函数的里叶变换：b)-(分别在过取样、临界取样、欠取样条件下取样后的函数的博里叶变换 ①为清楚起见，图46中傅里叶变换的草图及本查中的其他类似图形，忽略了变换一般是复函数这一事实