频率域滤波 ·4.1背景 ·4.2基本概念 ·4.3取样和取样函数的傅立叶变换 ·4.4单变量的离散傅立叶变换 ·4.5两个变量的扩展 ·4.6二维离散傅立叶变换的一些性质 ·4.7频率域滤波基础 ·4.8频率域滤波器平滑图像 ·4.9频率域滤波器锐化图像 ·4.10选择性滤波
• 4.1 背景 • 4.2 基本概念 • 4.3 取样和取样函数的傅立叶变换 • 4.4 单变量的离散傅立叶变换 • 4.5 两个变量的扩展 • 4.6 二维离散傅立叶变换的一些性质 • 4.7 频率域滤波基础 • 4.8 频率域滤波器平滑图像 • 4.9 频率域滤波器锐化图像 • 4.10 选择性滤波 频率域滤波
§4.4单变量的离散傅立叶变换(DFT) f(t)=f(t)SAT(t) =∑fost-nan) 取样后的函数f(t)的傅里叶变换： FW=r*s0W=resu-odr=Cro∑80u-i-沿dr f(ssr() 由傅里叶变换定义得 0△T2△ POD()e-md-T -2/△7 -17 2/A7 ∑a T)e-ptr- F()是周期为行的无限周期连续函数，对 fne-fj2un△T F()进行一个周期的取样是DFT的基础
§4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 取样后的函数𝒇෨(𝒕)的傅里叶变换： 由傅里叶变换定义得 𝐹෨ 𝜇 = න −∞ ∞ 𝑓ሚ 𝑡 𝑒 −2𝑗𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 𝐹෨ 𝑢 是周期为 1 ∆𝑇 的无限周期连续函数，对 𝑭෩ 𝒖 进行一个周期的取样是DFT的基础 𝐹෨ 𝜇 = 𝐹(𝜇)𝑆(𝜇) = න −∞ ∞ 𝐹 𝜏 𝑆 𝜇 − 𝜏 𝑑𝜏 = 1 ∆𝑇 න −∞ ∞ 𝐹 𝜏 𝑛=−∞ ∞ 𝛿(𝜇 − 𝜏 − 𝑛 ∆𝑇 ) 𝑑𝜏 = 1 ∆𝑇 𝑛=−∞ ∞ 𝐹(𝜇 − 𝑛 ∆𝑇 ) = න −∞ ∞ 𝑛=−∞ ∞ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑛 △ 𝑇)𝑒 −2𝑗𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓(𝑛 △ 𝑇)𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇 = 𝑛=−∞ ∞ න −∞ ∞ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑛 △ 𝑇)𝑒 −2𝑗𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇
S4.4单变量的离散傅立叶变换（DFT) 假设在周期u=0到1/△T之间得到F()的M个等间距的样本。可通过在如下频率处取样得到： m k=M△T,m=0,12,,M-1 ()= f(n△T)e-j2mm△T n=-00 00 M-1 e27,m=0,12,,M-1 fne-j2run△T n=-00 n=0 给定一个由f(t)的M个样本组成的集合Uf},可以得到一个与输入样本集合离散傅里叶变换相对应的M 个复数离散值的样本集合{Em}。 F(4) M-1 fn=M Fme jznmn/M,n=0,1,2....M- -2/A7 -1/△1 2/△7 m=0
假设在周期𝜇 = 0到𝟏/△ 𝑻之间得到𝐹෨ 𝑢 的M个等间距的样本。可通过在如下频率处取样得到： 𝜇 = 𝑚 𝑀 △ 𝑇 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝐹𝑚 = 𝑛=0 𝑀−1 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋 𝑚 𝑀 𝑛 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 给定一个由𝑓(𝑡)的M个样本组成的集合 𝑓𝑛 ,可以得到一个与输入样本集合离散傅里叶变换相对应的M 个复数离散值的样本集合 𝐹𝑚 。 𝐹෨ 𝜇 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓(𝑛 △ 𝑇)𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇 §4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 𝑓𝑛 = 1 𝑀 𝑚=0 𝑀−1 𝐹𝑚𝑒 𝑗2𝜋𝑚𝑛/𝑀 , 𝑛 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1
§4.4单变量的离散傅立叶变换(DFT) 离散傅里叶变换(DFT)适用于任何均匀取样的有限离散样本集。 离散傅里叶变换(DFT) M-1 Fm= he7,m=0,12,,M-1 Eo-ag=a42-M- x=0 离散傅里叶变换(DFT,inverse discrete fourier transform) M-1 A 1 fn二M Fnej2nmn/M,n =0,1,2,..M-1 F(0e2mux/W,x=0,12,…,M-1 m=0 2u=0 具有周期性 F(u)=F(u+kM) f(x)=f(x+kM)
离散傅里叶变换(DFT)适用于任何均匀取样的有限离散样本集。 𝐹 𝑢 = 𝑥=0 𝑀−1 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗2𝜋𝑢𝑥/𝑀 , 𝑢 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝑓 𝑥 = 1 𝑀 𝑢=0 𝑀−1 𝐹(𝑢)𝑒 𝑗2𝜋𝑢𝑥/𝑀 , 𝑥 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 §4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 𝐹𝑚 = 𝑛=0 𝑀−1 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋 𝑚 𝑀 𝑛 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝑓𝑛 = 1 𝑀 𝑚=0 𝑀−1 𝐹𝑚𝑒 𝑗2𝜋𝑚𝑛/𝑀 , 𝑛 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 离散傅里叶变换 (DFT) 离散傅里叶变换 (IDFT, inverse discrete fourier transform) 具有周期性 𝐹 𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝑘𝑀 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑘𝑀
S4.4单变量的离散傅立叶变换(DFT) 如果f(x)由函数f(t)以7T为单位间隔取样后的M个样本组成，则包含集合 {f(x)},m=0,1,2,…,M-1的记录的持续时间为 T=M△T 离散频率域中的相应间隔： M-1 1 1 F(u)= f(x)eJ2mx/M,u=0,1,2,…,M-1 △u=M△T=T X=0 m 由DFT的M个分量跨越的整个频率范围： u=M△Tm=0,12,…,M-1 1 2=M△u= △T
§4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 如果𝑓 𝑥 由函数𝑓 𝑡 以𝛻𝑇为单位间隔取样后的M个样本组成，则包含集合 𝑓 𝑥 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1的记录的持续时间为 𝑇 = 𝑀 △ 𝑇 △ 𝑢 = 1 𝑀 △ 𝑇 = 1 𝑇 Ω = 𝑀 △ 𝑢 = 1 △ 𝑇 离散频率域中的相应间隔： 由DFT的M个分量跨越的整个频率范围： 𝐹 𝑢 = 𝑥=0 𝑀−1 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗2𝜋𝑢𝑥/𝑀 , 𝑢 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝑢 = 𝑚 𝑀 △ 𝑇 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1