第5章图像复原与重建 我们所看到的事物并不是事物的本身…物体本身是什么对我们而言完全 是未知的，并且远离我们的感知，除了对物体的感知，我们什么也不知道 伊曼努尔·康德 引言 正像图像增强那样。图像复原技术的主要目的是以预先确定的目标来改善图像。尽管两者有相 覆盖的领域，但图像增强主要是一个主观过程，而图像复原则大部分是一个客观过程。图像复原试疼 利用退化现象的某种先验知识来复原被退化的图像。因而，复原技术是面向退化模型的，并且采用相 反的过程进行处理，以便恢复出原图像。 这种方法通常都会涉及设立一个最佳准则，它将产生期望结果的最佳估计。相比之下，图像增 强技术基本上是一个餐索性过程.即根据人类视觉系统的生理特点来设计一种改善图像的方法。例如， 对比度拉伸被认为是一种增强技术，因为它主要基于给观看者提供其喜欢接受的图像。而通过去模 函数去除图像模糊则被认为是一种图像复原技术。 本章中给出的素材严格地说只是介绍性的。我们仅从给出的一幅退化数字图像的特点来考虑复 原问题：因此对传感器、数字化转换器和显示退化等话题考虑得较少。尽管这些主题在图像复原应用 的整个处理中非常重要，但它们超出了本章所要讨论的范围。 正如第3章和第4章中讨论的那样，一些空间域复原技术已很好地阐述过了，而另一些复原 术则更适用于频率域。例如，当退化仅仅是加性噪声时，空间处理就非常适用。另一方面，如图像模 糊这样的退化在空间域使用较小的滤波模板就很困难。在这种情况下，基于不同优化准则的频率域滤 波是可选择的方法。这些滤波器同样也考虑到了噪声的存在。正如第4章中所讲的那样，频率域中用 来解决给定应用的复原滤波器通常作为生成一个数字滤波器的基础，数字滤波器的程序操作更适合于 用硬件或固件来实现 5.1节介绍图像退化复原过程的一个线性模型。5.2节处理实我中经常西到的各中燥声模型。53节 阐述降低图像噪声的几种空间滤波技术，即通常称为图像去噪的处理。5.4节致力于使用频率域降噪的技 术。55节介绍图像退化的线性、位置不变模型，5.6节介绍估计退化函数的方法。5.7节至5.10节阐述基 本的图像复原方法。本章最后（见5.11节拘）介绍由投影来承建图像。这一概念的主要应用是计算断层(CT) 图即像处理在康领城最为重要的一种商业应用
第5章图像复原与重建 197 5.1图像退化/复原过程的模型 如图5.1所示，在本章中，退化过程被建模为一个退化函数和一个加性噪声项，对一幅输人图像 f(x)进行处理，产生一幅退化后的图像gx。给定g红，)和关于退化函数H的一些知识以及关 于加性噪声项n化，)的一些知识后，图像复原的目的就是获得原始图像的一个估计广(x,)。通常， 我们希望这一估计尽可能地接近原始输人图像，并且H和的信息知道得越多，所得到的广(xy)就 会越接近x)。在本章中使用的大部分复原方法都是以不同类型的图像复原滤波器为基础的。 正如55节所示，如果H是一个线性的、位置不变的过程，那么空间域中的退化图像可由下式给出： g(x.y)=h(x,y)★f(x,y)+刀(x,y) (5.1-1) 其中，xy是退化函数的空间表示：与第4章相同，符号“★”表示空间卷积。由4.6.6节的讨论可 知，空间域中的卷积等同于频率域中的乘积，因此可以把式(5.1)中的模型写成等价的频率域表示： G(u,v)=H(u.v)F(u,v)+N(u,v) (5.1-2 其中的大写字母项是式(5.11)中相应项的傅里叶变换。这两个公式是本章中大部分复原内容的基础 (x.y) f,)> 化函数 复原滤被卷 f.v) 退化 复原 图5.】图像退化复原过程的模型 在接下来的三节中，我们假设H是一个同一性算子，并且只处理由噪声引起的退化。从5.6节开 始，我们考虑若干重要的图像退化函数，并考虑几个H和刀同时存在的图像复原方法。 5.2噪声模型 数字图像中。噪出主要来源于图像的获取和或传输过时程。成像传成器的性能受各种因素的影响 如图像获取过程中的环境条件和传感元器件自身的质量。例如，在使用CCD摄像机获取图像时，光 照水平和传感器温度是影响结果图像中噪声数量的主要因索。图像在传输中被污染主要是由于传输信 道中的干扰。例如，使用无线网络传输的图像可能会因为光照或其他大气因素而污染 5.2.1噪声的空间和频率特性 与我们的讨论相关的是定义噪声空间特性的参数，以及噪声是否与图像相关。频率特性是指傅 里叶域中噪声的频率内容（即相对于电磁波谱的频率）。例如，当噪声的傅里叶谱是常量时，噪声通常 称为白噪声。这个术语是从白光的物理特性派生出来的，它以相等的比例包含可见光谱中的几乎所有 频率。从第4章的讨论中不难看出，以相同比例包含所有频率的函数的傅里叶谱是一个常量。 除了空间周期噪声（见5,2.3节）之外.在本章中我们假设噪声独立于空间坐标，并且噪声与图像3网 本身不相关（即像素值与噪声分量的值之间不相关）。虽然这些假设至少在某些应用中（例如X射线和5
198 数字图像处理（第三版） 核医学成像的有限量子成像就是一个很好的例子)是无效的、但处理空间相关和相关性噪声的复杂性 超出了我们讨论的范围。 5.2.2一些重要的噪声概率密度函数 基于前一节的假设，我们关心的空间噪声描述子就是图5.1中模型的噪声分量中灰度值的统计特 性。可以认为它们是由概率密度函数(PDF)表征的随机变量。下面是 二一关于假率论的简要回。请 在图像处理应用中最常见的PDF。 在阅本书的网站 高斯噪声 在空间域和频率域中，由于高斯噪声在数学上的易处理性，故实践中常用这种噪声（也称为正态 桑声)模型。事实上，这种易处理性非常方便，以至于高斯模型常常应用于在一定程度上导致最好结 果的场合。 高斯随机变量z的PDF由下式给出： p(:) 1 e-(:-EY/2o (5.2-1) 其中，：表示灰度值，乏表示z的均（平均@值，。表示z的标准差。标准差的平方σ称为：的方差。高 斯函数的曲线如图5.2(a)所示。当z服从式(5.21)的分布时，其值有大约70%落在范（乏一o,(?+o列引 内.有大约95%落在范I(乏-2，（乏+21内。 p() V2和 高新 060月 端利 马 b-1/a 川2) P 物数 b-a 均匀 图5.2一些重要的概率密度函数 瑞利噪声 瑞利噪声的PDF由下式给出： ①在本节中我使用？面不是m来表示均值的原因是，避免我们在后面使用和来表示邻线大小时妈引起混清
第5章图像复原与重建 199 p(2)= (5.22) o. 2<a 概率密度的均值和方差由 乏=a+√b14 (52-3) 和 g2=b4-) 5.2-4 给出。图5.2(6)显示了瑞利密度的曲线。注意，距原点的位移和密度的基本形状向右变形了这一事实 瑞利密度对于近似歪斜的直方图十分适用。 爱尔兰（伽马）噪声 爱尔兰噪声的PDF由下式给出： p()=(b-Iye".2a ab-6-1 (5.25) 0. 2<a 其中，参数a>0.b为正整数，并且“”表示阶乘。其概率密度的均值和方差由 (5.2.6) 和 (52-7) 给出。图5.2()显示了伽马分布密度的曲线，尽管式(5.25)经常称之为伽马密度，但严格地说，这只 有在分母为伽马函数T(b)时才是正确的。当分母如表达式所示时，该密度称为爱尔兰密度更合适。 指数噪声 指数噪声的PDF由下式给出 n)- z<0 (5.2-8) 其中，a>0。该概率密度函数的均值和方差是 (5.2.9) 和 (52.10) 注意，这个PDF是当b=1时爱尔兰PDF的特殊情况。图5.2(d)显示了该密度函数的曲线 均匀噪声 均匀噪声的PDF由下式给出：
200 数字图像处理（第三版） p(z)=b-a' a≤z≤b (52-11) 其他 该密度函数的均值由下式给出： 2=0+b (5.2-12 2 它的方差由下式给出： g2=6- (5.2-13) 12 图5.2(e)显示了均匀密度的曲线 脉冲（椒盐）噪声 (双极)脉冲噪声的PDF由下式给出： Pa. z=0 p(2)=B. 2=b (52-14) 1-B -B. 其他 如果b>a,则灰度级b在图像中将显示为一个亮点；反之，灰度级a在图像中将显示为一个暗点。 若P,或P。为零，则脉冲噪声称为单极脉冲。如果P和P,两者均不可能为零，尤其是它们近似相等 时，则脉冲噪声值将类似于在图像上随机分布的胡椒和盐粉微粒。由于这个原因，双极脉冲噪声也 为椒盐噪声。这种类型的噪声也可以使用散粒噪声和尖峰噪声来称呼。在下面的讨论中，我们将交替 使用脉冲噪声和椒盐噪声这两个术语。 噪声脉冲可以为正也可以为负。标定通常是图像数字化处理的一部分。因为，与图像信号的强 度相比，脉冲污染通常较大，所以在一幅图像中脉冲噪声通常被数字化为最大值（纯黑或纯白）。这样， 通常假设和b是饱和值，从某种意义上看，在数字化图像中，它们等于所允许的最大值和最小值 由于这一结果，负脉冲以一个黑点（胡椒点）出现在图像中。由于相同的原因，正脉冲以白点（盐粒点） 出现在图像中。对于一幅8比特图像.典型地，这意味者a=0(黑)和b=255(白)。图5.2(0显示了 脉冲噪声的概率密度函数(PD) 前述的一组PDF为在实践中建立宽带噪声污染状态的模型提供了有用的工具。例如，在一幅图 像中，高斯噪声源于诸如电子电路噪声以及由低照明度和/或高温带来的传感器噪声。瑞利密度有助 于在深度成像中表征噪声现象。指数密度和伽马密度在激光成像中有用。正如前段所提及的那样，脉 冲噪声在快速过渡的情况下产生，如在成像期间发生的错误开关操作。均匀密度可能是实践中描述得 最少的，然而，均匀密度作为仿真中使用的许多随机数生成器的基础是非常有用的（见Peeblesl1993 和Gonzalez,Woods and Eddins2004)。 例5.1噪声图像及其直方图。 图53显示了一幅非常适合于闸述闪刚刚讨论的噪声模型的测试图 案。这是一幅适合使用的图案，因为它是由简单的、恒定的区域所组 成的，且其从黑到近似于白仅仅有3个灰度级增长跨度。这方便了附 加在图像上的各种噪声分量特性的视觉分析。 图5.4显示的是叠加了本节所讨论的6种噪声的测试图案。每幅 图5.3用于说明显示在图52中的 图像下面所示的是从图像直接计算得到的直方图。在每种情况下选择 噪声PDF特性的测试图案