图」-4 图1-5 1.3.2直角坐标系中的分离变量法 1-4-长方体，0≤x≤a,0≤y≤b,0≤之≤c,初始温度 均匀为T0,时间t>0时，在x=0,y=0,之=0的边界处绝热，在 x=a,y=b,之=c的边界处温度维持零度。试用乘积解的方法求 区域内温度分布T(x,y,之，t)的表达式。 解本问题的数学描述为（参见图1-5） +影+票-韶0<<e0<y<b0<<0 a at T(xy,x,0)=T0t=0 。=01。=02。-0 xa- T(a,y,z)=0,Tx,b,x)=0.T(x,y,c)=0 这是一个二维不稳态热传导齐次问题，其初始温度分布可表示为单 个空间变量函数乘积的形式，即 7(r,y,z,0)=T1(x,0)Tz(y,0)T3(e,0)=T0·1·1 因此，其解为3个一维问题解的乘积 T(r.y,s,t)=T(,t)t(y,t)T3(,t) (1-1) 这3个·维问题分别是 7 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建m,fineprint..cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
nDs ud 其+of2m2]r=a20(mx-)- (-1)"2a (22-1)π 于是n》=2仁碳m-》kr的 mr-习 同理可得 72(,)=2(1 π-至 a(nx-交)光]e(m T3(,t)= 方2·(-1P1 (pm-5)名]em 将T1,T2,T3的表达式代人式(1-1)就得到原向题的解为 Ty,)=27-1)- 的mr-受 s(mx-艺)1e(m+ 少2(-1)”- 片ur-牙 (nx-)芳。9 32:-101 品饭-及 (pr-)三]e月 -8m②229- (mx-受(nm-乃)(pm-乏)》 e[(-(门 as(m-)la(mm-)】 9 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
.174152 鼎+翠=0 =29。-0.9。=0 。。 dyly o T(a.y)=aa,) 2张1A=0,即9u,)=2 26-A. 7z,b)=9(,b)-约r 4A=0.即，6)然-A (1·6) 令A-,则有 a)=0,6(x,b)=毁(r2-a2)=x) 式(1“6)就是只有一个作齐次边界条件，方程和其它边界条件 均为齐次的多维稳态问题。下面用分离变量法求解式(1一6)。 令(x,y)=X(x）·Y(y)》 代人式(1-6)得出两个分离后的问题 +x=00<< (1·7) X,=a=0 PY dy2 -2Y=00<y<b (1-8) 0 查文献[11表2-2知 XA)=m2,N=弓A.是方程aga=0的正 根。式(18)的解为 11 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint..cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
Y(B.y)coshBy 因此(x,y)的完全解为 atr)-C.oheyonp. (1-9) 系数C”由剩下的非齐次边界条件求得 (=)f()CucohBbocBr (1-10) 为求Cm,以sRx乘以式(1-l0)的两边，在0~u区间积分dz, awacx'd=f(CapbosRrosgc 1- -∑CnoshpRbasfgxaweyg.r'dr 由cRx的正交性可知，只有当m=n时，上式右边的积分才不为 零（等于范数N(.),当m≠n时，该积分均为零，从而得上式右边 (cohB,bN(B 于是可得Cm的计算式（用m替换上式的n) C.NBdr (1-11) 将式(1-11)代入式(1-9)得， (x,y)=S_2 achgyndr (1-12) 将式(1·12)代入式(1-5)，即得原问题的解为 T(x,w)=0(a2-x2) +、、2 xhc(dr 12 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
设式115)的解为T(r)=6(x)-费2+A, 式中6(x)是如下问题的解 盟-0 >0 (1-17) 00)=T0)+20r0 -A=-A=0x=0 即A=0,式(1-17)的解为 (.x)=x,c为任意常数，由于无内热源，当x·∞，8应为有 限值，所以只能有c=0,十是 Tx)=-是2 (1-18) 式(1-16)的解为（用分离变量法求解） ,）=exg,） =0 -KgrF4e 式中 XA,)=nh:N南=是，P是0-m之间的任意实数， F(x)=T+架2 -2ea时na(n+09 所以 7小-e子in(+是h4 πJ-0 1.3.3圆柱坐标系中的分离变量法 1·7-实心圆挂的部分，0≤r≤b,0≤g≤(<2x) 14 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn