第1章 热传导 1.1要点 本章主要包含两方面内容，即导热理论基础和导热问题的分 祈解法。 1.导热理论基础 主要介绍导热的基本定律和导热问题数学模型的建立方法， 数学模型包括控制方程和单值性条件两部分。一个具体导热问题 的控制方程可由通用控制方程在具体条件下进行简化而得到，也 可对所选取的系统（微元的或有限大小的）应用物理定律而得到。 不同坐标系（正交或非正交）的控制方程既可通过选取相应的系 统(··般使系统界面与坐标面平行)并应用基本物理定律得到，也 可通过坐标转换的方法得到。对于正交坐标系，还可通过拉梅系数 由向量形式的控制方程得到。在单值性条件的建立方面，主要介绍 了边养条件的种类、数学描述以及非线性边界条件的处理方法， 2.导热问题的分类 导热问题根据其数学物理特征的不同，大体可以分为以下几 种类型。 按照是否满足特解叠加原理可以分为线性问题和非线性问题 两大类。线性问题可以分为齐次问题和非齐次问题。非齐次问题又 分为定热源定边界问题和变热源变边界问题两种类型。如下所示 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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「齐次问题（无热源、零边界问题） 定热源定边界问题 （热源、边界条件不随时间变化) 非齐次问题 变热源变边界问题 (热源，边界条件随时间变化) 、非线性问题 其中定热源定边界问题可以分解为若下个只含·个非齐次项的稳 态问题和…个齐次非稳态问题变热源变边界问题的解一般需要 利用定热源定边界问题的解或齐次问题的解经适当叠加而构成。 3.子热问题的分析解法 分析解法包括精确分析解法和近似分析解法两类。对于线性 导热问题，精确分析解法可以采用分离变量法、杜哈美尔定理法 格林函数法和拉普拉斯变换法等。分离变量法可以用于求解齐次 问题和定热源定边界问题。其它方法则主要用于求解变热源变边 界问题。其中杜哈美尔定理法是利用定热源定边界问题的解构造 变热源变边界问题的解，格林函数法是用齐次问题的解构造非齐 次问题的解，而拉普拉斯变换法则是将非稳态问题中对时间变量 的偏导数从方程中消去从而使方程的求解变得容易。 在近似分析解法中主要分析了积分方程近似解法、基于变分 原理的里兹法、伽略金法等。其中积分方程近似解法与对流换热边 界层积分方程解法是完全类似的。 1.2基本要求 1.草握各向同性介质中导热的基本定律一一傅里叶定律： 理解各向异性介质中热流密度与温度分布间关系的表达式。 2.掌握导热问题控制方程和单值性条件的建立方法。理解温 度场对单值性条件的反馈以及导热反问题的处理方法。 3.掌握线性导热问题的分类及各类问题适宜的解法•会选用 2 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.n
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轴上长度为2A的直线；当？·∞时，椭球面近似为圆，对于日= 0,双曲线面退化成由A到+∞的z轴：对于日=，双曲线面退化 到由-A到-∞的之轴；对于8=子，双曲线为y平面。如果椭 球坐标(？，0,9)与矩形坐标的关系为 x=Asinhnsindcoso y =Asinhnsindsing 2 =Acosh ncos0 试证明尺度系数为 a =a=A(sin'g+sinh'n)in a2=ao =A(sin0+sinn)in a3 =a=Asinhnsing 「.x=X(7,0,p）=Asinhnsint9cosp 证已知y=Y(7,8,p）=Asinh7sin9sing =2(0)=Acoshncos6 ,√++( =Av(sindcospoosh)2+(sinosingashn)(cos0sinhn) =A[(singcosh)2+(cos0sinh)212 =A[(sinecoshn)2-(sinesinhn)2+(sindsinhn)2 +(cos0sinhn)]12 =A(sin0 sinh?n)12 推导中用到(cosh7)2-(sinh7)2=1. a:=-v+(+( =A [(sinhncoscos6)2+(sinhnsingcose)2 +(cosh(-sine)》2]12 =A[(sinhncos0)+(coshnsin)2] =A(sin20 sinh2n)1 4 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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a,=,=√+T+ -=A[(sinhnsing(-sing))2+(sinhnsindasp)2+012 =A[(sinhnsing)2 =Asinhnsin 证毕。 13试写出以下热传导问题的数学描述： 1.块平板，0≤x≤L,初始温度为F(x)。当时间t>0时， x一0处始终绝热，x=L处以对沉方式与温度为零的介质换热， 2.一半无限大物体，0≤x<∞，初始温度为F(x)。当时间 t>0时，物体内产生速率为常数W/m的热量，血x=0处始 终为零度。 3.-实心圆柱体，0≤r≤b,初始温度为F(r)。当时间t>0 时，物体内产生速率为g(r)W㎡3的热量，而r=b处以对流方式 与温度为零的介质换热。 4.一实心球，0≤r≤b,初始福度为F(r)。当时间t>0时，物 体内产生速率为s(r)Wm的热壁，而r=b处始终保持均匀温 度Toa 解 1票 0<x<L,t>0 T(x,0)-F(x）0≤x≤L,t=0 8x=0 x=0,t>0 0 .x -k证=rx=L>0 图1-1 儿何条件及坐标系参见图1-1。 5 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建m,fineprint.cn
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2.- 0<x<∞，t>0 T(.x,0)=F(x）0≤x<m,t=0 T(0,t）=0x=0,t>0 几何条件及坐标系参见图1-2。 图1-2 图-3 3.r)+g=昭0<<6>0 a at T(r,0)=F(r) 0≤r≤b,t=0 部=缸 r=b,t>0 那-0 r=0,1>0(对称条件) 几何条件及坐标系参见图1-3。 4新部）9-器 a it 0<r<b.t>0 T(r,0)=F(r) 0≤r≤b,t=0 T(h,t)二To r=b,t>0 部=0 r=0,t>0(对称条件) 几何条件及坐标系参见图1-4。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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