极点位置 P3 阶数 1.0000 ·0.5000±j,8660-1.0000 3827士j0,9239-0,9239±j.3827 0,2588±j0.96590.7071±j7071-0.9559士j,2588 -0.2225±j9.9749-0.6235j0,7818-0.9010±j0.4339-1,000 0.1951j,98080.5556j0.83150.8315±j.55560.9808±j,1951 0.1736±j0.9848-0.500士j.8660-0.7560±j.64280,9397±j.3420-1.000 分母多项式B(p)=p“+b=P-+hP-2+…+bP+b 系数阶数 1.00001.4142 1.00002.00002.00 1.00002.61313.41422.613 1.00003.23615,23615.23613.2361 1.00003.86377.46419.14167.46413.8637 1.00004.494010.097814.591814,591810.09784.4940 1.00005.125813.137121.846225.688421.864213.13715.1258 1.00005.758816.581731.163441.986441.986431.163416.58175.7588 分母因式B(p)=B(p)B(p)B3(p)B1(p)B(p) B(P) (p2+1,4142p+1) (p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1) (p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1) 6 (p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1 (p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1) p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1) (p2+0.3473p+1)(护2+p+1)(p2+1,5321p+1)(p2+1.8794p+1)(p+1)
(5)例题 例6.2.1已知通带截止频率∫=5kH,通带最大衰减an=2dB,阻带截 止频率∫=12kH,阻带最小衰减a,=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低 通滤波器。 解: Step1:确定阶数N。 Step2:确定传输函数H2(p)。 Step3:将H(p)去归一化。 用 MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 Z, PKFbuttap(N) 计算N阶巴特沃斯归一化模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增 益因子。返回长度为N的列向量Z和P,分别给出N个零点和极点的位置,K 表示滤波器增益。 N, wcIbuttord(wp, ws, Rp, As) 一一计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率。 IN, wc]=buttord(wp, ws, Rp, As, S) 计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率。 B, Abutter(N, wc, ftype) 计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B B,A=butter(N, wc, ftype,s') 计算N阶巴特沃斯模拟滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B 和A
（5）例题 例 6.2.1 已知通带截止频率 5 p f kHz = ，通带最大衰减 2 p a dB = ， 阻带截 止频率 12 s f kHz = ，阻带最小衰减 30 s a dB = ，按照以上技术指标设计巴特沃斯低 通滤波器。 解： Step 1: 确定阶数 N。 Step 2: 确定传输函数 H p a ( )。 Step 3: 将 H p a ( ) 去归一化。 ⚫ 用 MATLAB 工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 ➢ [Z,P,K]=buttap(N) ——计算 N 阶巴特沃斯归一化模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增 益因子。返回长度为 N 的列向量 Z 和 P，分别给出 N 个零点和极点的位置，K 表示滤波器增益。 ➢ [N, wc]=buttord(wp,ws,Rp,As) ——计算巴特沃斯数字滤波器的阶数 N 和 3dB 截止频率。 ➢ [N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,’s’) ——计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数 N 和 3dB 截止频率。 ➢ [B,A]=butter(N,wc,’ftype’) ——计算 N 阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量 B 和 A。 ➢ [B,A]=butter(N,wc,’ftype’,’s’) ——计算 N 阶巴特沃斯模拟滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量 B 和 A
切比雪夫滤波器的设计方法 切比雪夫滤波器设计原理 切比雪夫滤波器具有等波敛特性,有两种形式: ◇切比雪夫Ⅰ型:振幅特性在通带内是等效的、在阻带内是单调 ◇切比雪夫Ⅱ型:振幅特性在通带内是单调的、在阻带内是等波纹 我们这里只介绍切比雪夫I型滤波器的设计方法 (1)切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性 其幅度平方函数用A(92)表示 (115) Q 式中,ε为小于1的整数,表示通带内幅度波动的程度,ε愈大,波动幅度也愈 大。旦称为通带截止频率。令=2,称为对的归一化频率。C(x)称为N 阶切比雪夫多项式,定义为 cos(N arccos),x< C ch( VArchx),x≥ 当N=0,1,…时, C( CN-I()=2xC(x)-CN-I() 可得切比雪夫多项式曲线
3、切比雪夫滤波器的设计方法 ⚫ 切比雪夫滤波器设计原理 切比雪夫滤波器具有等波纹特性，有两种形式： 切比雪夫Ⅰ型：振幅特性在通带内是等效的、在阻带内是单调 切比雪夫Ⅱ型：振幅特性在通带内是单调的、在阻带内是等波纹 我们这里只介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。 （1） 切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性 其幅度平方函数用 ( ) 2 A 表示 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 p A H j a C N = = + (1.15) 式中， 为小于 1 的整数，表示通带内幅度波动的程度， 愈大，波动幅度也愈 大。 p 称为通带截止频率。令 p = ，称为对 p 的归一化频率。C x N ( ) 称为 N 阶切比雪夫多项式，定义为 ( ) ( ) ( ) cos arccos , 1 , 1 N N x x C x ch N Archx x = 当 N=0，1，…时， C x 0 ( ) =1 C x x 1 ( ) = C x xC x C x N N N + − 1 1 ( ) = − 2 ( ) ( ) (1.16) 可得切比雪夫多项式曲线
0204060.8 归一化频率 切比雪夫多项式曲线 特点是: (1)切比雪夫多项式的过零点在xs1的范围内; (2)当<1时,(x)≤1,在<1范围内具有等波纹性 (3)当x>1时,Cx(x)是双曲线函数,随x单调上升。 所以,当xs1时,ECR(x)在0至2之间波动,函数1+6C(x)的值在 与1+2之间波动。1+EC()c的倒数即是幅度平方函数那么A()在[0] 上有波动,最大值为1,最小值为 当>g2时,A(9)随增大,很快 接近于零
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 归一化频率 Cn 切比雪夫多项式曲线 特点是： （1） 切比雪夫多项式的过零点在 x 1 的范围内； （2） 当 x 1 时， ( ) 1 C x N ，在 x 1 范围内具有等波纹性； （3） 当 x 1 时， C x N ( ) 是双曲线函数，随 x 单调上升。 所以，当 x 1 时， ( ) 2 2 C x N 在 0 至 2 之间波动，函数 ( ) 2 2 1 C x N + 的值在 1 与 2 1+ 之间波动。 ( ) 2 2 1 C x N + c 的倒数即是幅度平方函数。那么 ( ) 2 A 在 0, p 上有波动，最大值为 1，最小值为 2 1 1+ 。当 p 时， ( ) 2 A 随 增大，很快 接近于零
0.6 切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函数曲线 ,(a) gs 为奇数 为偶数 2dB /i+e2 图625切比雪夫Ⅰ型滤波器幅度特性 2)切比雪夫滤波器幅度平方函数中各参数 根据(1.15)式,切比雪夫幅度平方函数与三个参数即E、9和N有关。其中E 与通带内允许的波动大小有关。若定义an为允许的通带波纹,则 101 A(92) 101g(1+ 其中, A(9lm=1.,A2(92)m1+6 则
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 归一化频率 幅度平方函数 切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函数曲线 图 6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅度特性 （2）切比雪夫滤波器幅度平方函数中各参数 根据(1.15)式，切比雪夫幅度平方函数与三个参数即 、 p 和 N 有关。其中 与通带内允许的波动大小有关。若定义 p 为允许的通带波纹，则 ( ) ( ) ( ) 2 max 2 2 min 10lg 10lg 1 p A A = = + (1.17) 其中， ( ) ( ) 2 2 max min 2 1 1, 1 A A = = + 则