a,和a:通带最大衰减和阻带最小衰减 Ωn和Ω:通带边界频率和阻带截止频率 H LS 101g Ha(2, g2:3dB截止频率,即 lg{H2(92) δ和a2:通带和阻带波纹幅度,有 20lg(-a) 201go (2)逼近方法 根据给定后的滤波器技术指标,设计一个传输函数H2(),使其幅度平 方函数满足给定指标a和a.。具体地讲,设滤波器的单位冲击响应为实 数,则 H(n)=H2(S)H1(-s)l-a=H()() 如果能由an、92、a,和旦求出H(A),那么就可求出所需要的 Hn(3) 稳定性问题 巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数H2(92)为
p 和 s ：通带最大衰减和阻带最小衰减 p 和 s ：通带边界频率和阻带截止频率 ( ) 2 10lg p a p = − H j (2) ( ) 2 10lg s a s = − H j (3) c ：3dB 截止频率，即 − = 20lg 3 H j dB a c ( ) 1 和 2 ：通带和阻带波纹幅度，有 p = − − 20lg 1( 1 ) (4) 2 20lg s = − (5) （2）逼近方法 ⚫ 根据给定后的滤波器技术指标，设计一个传输函数 H s a ( ) ，使其幅度平 方函数满足给定指标 p 和 s 。具体地讲，设滤波器的单位冲击响应为实 数，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * H j H s H s H j H j a a a s j a a = − = = 如果能由 p 、 p 、 s 和 s 求出 ( ) 2 H j a ，那么就可求出所需要的 H s a ( ) 。 ⚫ 稳定性问题 2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法 ⚫ 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 ( ) 2 H j a 为
Q 其中,N称为滤波器的阶数。如图所示: 图623巴特沃斯幅度特性和N的关系 讨论: (1)9=0和9=旦时,|H2()的值 (2)|H2(9)与滤波阶数的关系。 HfΩ N=2 N=4 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与Ω和N的关系 将()改写成s的函数: H2(s)H2(-s)= 此时表明幅度平方函数有2N个极点,极点s可表示为 (2) k=0,12,…,(2N-1) 2N个极点等间隔分布在半径为9的圆上,间隔为rad
( ) 2 2 1 1 a N c H j = + 其中，N 称为滤波器的阶数。如图所示： 图 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N 的关系 讨论： （1） = 0 和 = c 时， H j a ( ) 的值。 （2） H j a ( ) 与滤波阶数的关系。 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与和 N 的关系 将 ( ) 2 H j a 改写成 s 的函数： ( ) ( ) 2 1 1 a a N c H s H s s j − = + 此时表明幅度平方函数有 2N 个极点，极点 k s 可表示为： ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 , 0,1,2, , 2 1 2 k j N N k c c s j e k N + + = − = = − 2N 个极点等间隔分布在半径为 c 的圆上，间隔为 rad N
5z 图624三阶巴特沃斯滤波器极点分布(N=3) (2)确定巴特沃斯滤波器的传输函数H(s) 为形成稳定的滤波器,只取s平面左半面的N个极点构成H(s),右半面的 N个极点构成H4(-s)。H(s)的表示式为 (S-Sk) 为使设计统一,将所有的频率对3dB截止频率g归一化,得 H2(s) SS 式中,S_Ω 令A=旦,称为归一化频率:令p=几,称为归一化复变量,这样归一化巴 特沃斯的传输函数为 H(P)=N p-p 式中,P4为归一化极点
图 6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布（N=3） （2）确定巴特沃斯滤波器的传输函数 H s a ( ) 为形成稳定的滤波器，只取 s 平面左半面的 N 个极点构成 H s a ( ) ，右半面的 N 个极点构成 H s a (− ) 。 H s a ( ) 的表示式为 ( ) ( ) 1 0 N c a N k k H s s s − = = − 为使设计统一，将所有的频率对 3dB 截止频率 c 归一化，得 ( ) 1 0 1 a N k k c H s s s − = = − 式中， c c s j = 。 令 c = ，称为归一化频率；令 p j = ，称为归一化复变量，这样归一化巴 特沃斯的传输函数为 ( ) ( ) 1 0 1 a N k k H p p p − = = − (1.6) 式中， k p 为归一化极点
Pk k=0,1, (1.7) 这样,只要根据技术指标求出阶数N,按照(1.7)求出N个极点,再按照(1.6)得到 归一化的传输函数H(p),若确定,再去归一化,即将P==,代入 l(p)中,便得到实际的传输函数。 将极点表示式(7)代入(16可得 H,(p) (18) b+b 归一化的传输函数H2(P)的系数bk=0,1…,N-1,以及极点,可由表查得 (3)阶数N的确定方法 阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度,它应该由技术指标an、92、a,和 2确定 具体步骤如下: Step 1:将9=9代入幅度平方函数 H2(A)= 然后,代入a=-10g(),得 =10 step:将9=9代入(19),再将H2(A)代入,a=-10g(),得 (1.11) Step3:由(1.10)和(1.11)式可得
1 2 1 2 2 , 0,1, , 1 j N k p e k N + + = = − (1.7) 这样，只要根据技术指标求出阶数 N，按照(1.7)求出 N 个极点，再按照(1.6)得到 归一化的传输函数 H p a ( ) ，若确定 c ，再去归一化，即将 c s p j = = ，代入 H p a ( ) 中，便得到实际的传输函数。 将极点表示式(1.7)代入(1.6)可得 ( ) 1 0 1 1 1 a N N N H p b b p b p p − − = + + + + (1.8) 归一化的传输函数 H p a ( ) 的系数 , 0,1, , 1 k b k N = − ，以及极点，可由表查得。 （3）阶数 N 的确定方法 阶数 N 的大小主要影响幅度特性下降速度，它应该由技术指标 p 、 p 、 s 和 s 确定。 具体步骤如下： Step 1: 将 = p 代入幅度平方函数 ( ) 2 2 1 1 a N c H j = + (1.9) 然后，代入 ( ) 2 10lg p a p = − H j ，得 2 10 1 10 p N a p c + = (1.10) Step 2: 将 = s 代入(1.9)，再将 ( ) 2 H j a s 代入， ( ) 2 10lg s a s = − H j ，得 2 10 1 10 s N a s c + = (1.11) Step 3: 由(1.10)和(1.11)式可得
1010-1 令 则 Ig k (1.12) lgλ 取大于等于N的最小整数 Step4:若技术指标中未给出3dB截止频率Ω’可以按照(1.10)式或(1.1) 式求出。由(1.10)式可得 由(1.11)式可得 00 (1.14) 若采用(1.13)式确定Ω,则阻带指标有富裕量;若采用(1.14)式确定Ω,则通 带指标有富裕量。 (4)低通巴特沃思滤波器设计步骤 Step 1:根据技术指标an、92、a,和9,用(1.12)式求出滤波器的阶数N Step2:按照(1.7)式,求出归一化极点p,将p代入(1.6)式,得到归 化传输函数H(p)。也可以根据阶数N查表求极点P和归一化传输函数H2(p)。 step3:将H(p)去归一化。将p=/9代入H2(P),得到实际的滤波器传 输函数H(s)。9若未给出,可按(1.13)式或(1.14)式求出。 表6.2.1巴特沃思归一化低通滤波器参数
10 10 10 1 10 1 p s a N p a s − = − 令 s sp p = ， 10 10 10 1 10 1 p s a sp a k − = − ，则 lg lg sp sp k N = − (1.12) 取大于等于 N 的最小整数。 Step 4: 若技术指标中未给出 3dB 截止频率 c ，可以按照(1.10)式或(1.11) 式求出。 由(1.10)式可得 ( ) 1 0.1 2 10 1 p a N c p − = − (1.13) 由(1.11)式可得 ( ) 1 0.1 2 10 1 s a N c s − = − (1.14) 若采用(1.13)式确定 c ，则阻带指标有富裕量；若采用(1.14)式确定 c ，则通 带指标有富裕量。 （4）低通巴特沃思滤波器设计步骤 Step 1: 根据技术指标 p 、 p 、 s 和 s ，用(1.12)式求出滤波器的阶数 N； Step 2: 按照(1.7)式，求出归一化极点 k p ，将 k p 代入(1.6)式，得到归一 化传输函数 H p a ( ) 。也可以根据阶数 N 查表求极点 k p 和归一化传输函数 H p a ( ) 。 Step 3: 将 H p a ( ) 去归一化。将 / c p s = 代入 H p a ( ) ，得到实际的滤波器传 输函数 H s a ( ) 。 c 若未给出，可按(1.13)式或(1.14)式求出。 表 6.2.1 巴特沃思归一化低通滤波器参数