例3:人活到不同年龄段的死亡率(%)如下: 年龄段|~10~20~30~40-5060~7080 80 死亡率3.230651.211.844319.69182127,283358 试求一个60岁的人在70岁前死亡的概率。 解:这个问题不能简单地以第七个年龄段的死亡率作为答案。 因为那是从出生起能活到该年龄段的概率。这里的基本前提是 60岁以后死亡,所以一个活到60岁的人在70岁前死亡的概率 就是在60岁以后死亡的前提条件下,70岁前死亡的概率。 设B=(60岁以后死亡},A={70岁前死亡}。则 P(B)=01821+0.2728+0.3358=0.7907, 而在60岁至70岁之间死亡(AB)的概率为P(AB)=01821。所以 P(AB) P(AB)0.1821 =0.2303 P(B)0.7907 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3 : 人活到不同年龄段的死亡率(%)如下: 试求一个60岁的人在70岁前死亡的概率。 解: 这个问题不能简单地以第七个年龄段的死亡率作为答案。 因为那是从出生起能活到该年龄段的概率。这里的基本前提是 60岁以后死亡，所以一个活到60岁的人在70岁前死亡的概率 就是在60岁以后死亡的前提条件下，70岁前死亡的概率。 设B={60岁以后死亡}，A={70岁前死亡}。则 P(B)=0.1821+0.2728+0.3358=0.7907, 而在60岁至70岁之间死亡(AB)的概率为P(AB)=0.1821。所以 ( ) ( ) ( ) P B P AB P A B = 0.2303 0.7907 0.1821 = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 年龄段 ~10 ~20 ~30 ~40 ~50 ~60 ~70 ~80 >80 死亡率 3.23 0.65 1.21 1.84 4.31 9.69 18.21 27.28 33.58
二、乘法公式 由条件概率的定义,立即可以得到乘法公式: P(AB)=P(A)P(BA)(P(4)>0) P(AB)=P(B)P(AB)(P(B)>0) 乘法公式可以推广: 设A1,A2,…,A1,为n个事件,n≥2 且P(442…41)>0,则有 P(42…A)=P(4)P(AA) P(A1AA2…A HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、 乘法公式 由条件概率的定义，立即可以得到乘法公式： P(AB) = P(A)P(B A) P(AB) = P(B)P(AB) ( P(B) 0） 乘法公式可以推广： 设 A A An , , , 1 2 为 n 个事件， 且 ( ) 0 , P A1 A2 An 则有 ( ) P A1 A2 An ( ) 2 1 P A A n 2, ( ) P An A1 A2 An−1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4:设袋中装有r只红球t只白球每次自袋中任取 一只球,观察其颜色后放回并再放入a只与所取出的 那只球同色的球。若在袋中连续取球四次试求第 次第二次取到红球且第三次第四次取到白球的概率。 解:以A(i=12,3,4)表示事件“第次取到红球 则A3,A4 分别表示事件第三、四次取到白球。所求概率为 P(AA2AA)=P(4)P(1|4)P(442)P(4444 r+a t+a r+t r+tta r+t+2a r+t+3a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4 :设袋中装有r只红球,t只白球,每次自袋中任取 一只球，观察其颜色后放回,并再放入a只与所取出的 解：以Ai (i = 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球” 则 A3 , A4 分别表示事件第三﹑四次取到白球。所求概率为 + = r t r + + + r t a r a r t a t a r t a t 2 + + 3 + + + ( ) ( 3 ) 1 2 4 2 1 P A3 A A P A A A A 那只球同色的球。若在袋中连续取球四次,试求第一 机动 目录 上页 下页 返回 结束 次,第二次取到红球且第三次,第四次取到白球的概率
例5:设甲盒中装有m只黑球乙盒中装有m只白球, 从乙中随机地取出一球放入甲中,再从甲中随机地 地取出一球放入乙中,此过程称为一次交换 求m次交换后,甲中有m只白球的概率 解:令A={经过m次交换后甲中有m个白球 Ak={在第k次交换中从乙中取出一个白球放入甲中 然后从甲中取出一个黑球放入乙中},k=1,2 ●●●号 则 P(A)=P(A42…An)=P(4)P(41A1)P(4144)…P(Am|A1,42…4m1 mm(m-1)(m-1)(m-2)(m-2)11 m(m+ m(+1 m(m+1)m(m+1) m1"(m+1) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5: 设甲盒中装有m只黑球,乙盒中装有m只白球, 地取出一球放入乙中,此过程称为一次交换. 解: 令 A={经过m 次交换后,甲中有m 个白球} , {在第k 次交换中,从乙中取出一个白球放入甲中, 然后从甲中取出一个黑球放入乙中}, k =1,2, …,m , 则 ( +1) = m m mm ( ) ( ) P A = P A1 A2 Am 从乙中随机地取出一球放入甲中,再从甲中随机地 求 m 次交换后,甲中有m只白球的概率. ( 1) 1 1 ( 1) ( 2)( 2) + + − − m m m m m m m m m m m ( 1) ! 2 + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束