考研数学学习手记系列 asing+bcoso=va2+basin(0+p) (其中φ角所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tanρ=一确定 7、三角函数的性质 函数式 y=sina y=cosa y=tan a y=cota 定义域 R R ∈Rxk+4下∈Rx≠kk∈引 值域 最大值为1 最大值为1 函数无最大值函数无最大值 最小值为-1 最小值为-1 函数无最小值函数无最小值 周期性 周期为2丌 周期为2丌 周期为丌 周期为丌 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 在 在 32在 在 上都是增函数;上都是增函数 +2kT-+2kz 单调性 在 在 x+2kx,)+2kz[2kx、(2k+1)z]内都是增函数;内都是增函数; 上都是减函数; (k∈Z) 上都是减函数 ∈ (k∈2) 8、反三角函数的性质 函数式 y=arcsin a y= arccosa y=arctan y= arc cota 定义域 l.1 (-∞,+∞ 00.+0 值域 [0,z] (0,x) 在区间 在区间 单调性 在区间[-1]上在区间[-1 是增函数 是减函数 上是增函数 上是减函数 奇偶性 奇函数 非奇非偶 奇函数 非奇非偶 三、排列、组合、二项式定理 1、排列数公式 =n(n-1)( 2、组合数公式 n(n-1)(n-2)(n-m+ m!(n-m 3、组合数的性质 4、排列数和组合数的关系 第6页 考研数学学习班组织委员会
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列 第 6 页 考研数学学习班组织委员会 ( ) 2 2 a b ab sin cos sin θ ϕ θϕ + =+ + 其中ϕ 角所在象限由a b, 的符号确定 ϕ 角的值由tan b a ϕ = 确定 7 三角函数的性质 函数式 y = sinα y = cosα y = tanα y = cotα 定义域 R R , , 2 xx R x k k Z π π ∈ ≠+ ∈ { } xx R x k k Z ∈≠ ∈ , , π 值 域 [ ] −1,1 最大值为 1 最小值为-1 [ ] −1,1 最大值为 1 最小值为-1 R 函数无最大值 函数无最小值 R 函数无最大值 函数无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 单调性 在 2, 2 2 2 k k π π π π −+ + 上都是增函数 在 3 2, 2 2 2 k k π π π π + + 上都是减函数 ( ) k Z ∈ 在 ( ) 2 1 ,2 k k − π π 上都是增函数 在 2 ,2 1 k k π π ( ) + 上都是减函数 ( ) k Z ∈ 在 2, 2 2 2 k k π π π π −+ + 内都是增函数 ( ) k Z ∈ 在 ( ) k k π π , 1 ( ) + 内都是增函数 ( ) k Z ∈ 8 反三角函数的性质 函数式 y = arcsinα y = arccosα y = arctanα y = arccotα 定义域 [ ] −1,1 [ ] −1,1 ( ) −∞ +∞ , ( ) −∞ +∞ , 值 域 , 2 2 π π − [ ] 0,π , 2 2 π π − ( ) 0,π 单调性 在区间[ ] −1,1 上 是增函数 在区间[ ] −1,1 上 是减函数 在区间 ( ) −∞ +∞ , 上是增函数 在区间 ( ) −∞ +∞ , 上是减函数 奇偶性 奇函数 非奇非偶 奇函数 非奇非偶 三 排列 组合 二项式定理 1 排列数公式 ( )( ) ( ) 12 1 m P nn n n m n = − − −+ " 2 组合数公式 ( )( ) ( ) ( ) 12 1 ! ! !! m m n n m m P nn n n m n C P m mnm − − −+ == = − " 3 组合数的性质 m nm C C n n − = 1 1 m mm C CC n nn − + = + 4 排列数和组合数的关系 ! m m P Cm n n = ⋅
高等数学学习手记 第一章:函数·极限·连续 考试内容 函数的概念及表示法;函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;复合函数、反函数、 分段函数和隐函数;基本初等函数的性质及其图形;初等函数;简单应用问题的函数关系的 建立;数列极限与函数极限的定义以及它们的性质;函数的左极限与右极限;无穷小和无穷 大的概念及其关系;无穷小的性质及无穷小的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则: 单调有界准则和夹逼准则;两个重要极限 Im+-=e x→∞ 函数连续的概念;函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质(有 界性、最大值和最小值定理、介值定理) 考试要求 1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式; 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性 3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念; 4、掌握基本初等函数的性质及其图形: 5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的 关系; 6、掌握极限的性质及四则运算法则; 7、掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法 8、理解无穷小、无穷大以及阶的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限; 9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最 大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质 三、典型例题分析(本小节由 Chenkebin编写) 本章主要题型有:①复合分段函数的求值;②直接计算给定的极限或根据给定的极限反 过来确定式子中的常数(这个里面包含了很多数列收敛的问题);③讨论函数的连续性,判 断间断点的类型;④无穷小阶的比较;③讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间 有无实根。 1、复合分段函数问题 x 例题1:设函数f(x)=10=1,g(x)=e,求0x)与gx x>1, 分析:这是函数记号的运算,基本思路是弄清定义域与函数值之间的关系 解:因为g(x)=,故 考研数学学习班组织委员会 第7页
高 等 数 学 学 习 手 记 考研数学学习班组织委员会 第 7 页 第一章 函数 极限 连续 一 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 复合函数 反函数 分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的 建立 数列极限与函数极限的定义以及它们的性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷 大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限: 0 sin lim 1 x x → x = 1 lim 1 x x e →∞ x + = 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 有 界性 最大值和最小值定理 介值定理 二 考试要求 1 理解函数的概念 掌握函数的表示方法 并会建立简单应用问题中的函数关系式 2 了解函数的奇偶性 单调性 周期性和有界性 3 理解复合函数及分段函数的概念 了解反函数及隐函数的概念 4 掌握基本初等函数的性质及其图形 5 理解极限的概念 理解函数左极限与右极限的概念 以及极限存在与左 右极限之间的 关系 6 掌握极限的性质及四则运算法则 7 掌握极限存在的两个准则 并会利用它们求极限 掌握利用两个重要极限求极限的方法 8 理解无穷小 无穷大以及阶的概念 掌握无穷小的比较方法 会用等价无穷小求极限 9 理解函数连续性的概念 含左连续与右连续 会判别函数间断点的类型 10 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 了解闭区间上连续函数的性质 有界性 最 大值和最小值定理 介值定理 并会应用这些性质 三 典型例题分析 本小节由 Chenkebin 编写 本章主要题型有 复合分段函数的求值 直接计算给定的极限或根据给定的极限反 过来确定式子中的常数 这个里面包含了很多数列收敛的问题 讨论函数的连续性 判 断间断点的类型 无穷小阶的比较 讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间 有无实根 1 复合分段函数问题 例题 1 设函数 ( ) 1, 1, 0, 1, 1, 1, x fx x x = = − ≺ ; ( ) x gx e = 求 f[g(x)]与 g[f(x)]. 分析 这是函数记号的运算 基本思路是弄清定义域与函数值之间的关系 解 因为 ( ) x gx e = 故
考研数学学习手记系列 当x<0时,g(x)<1,f1g(x)】-1 当x=0时,g(x)=1,tg(x=0 当x>0时,g(x)>1,tgx)=-1 1|x<0 x 总之,有[8(对=10=0.而[(=c,所以(=1=1 1x>0, 2-x,x≤0 例题2:设g(x)= x+2,x>03f(x)=x,x<0,求g x,x≥0 分析:函数的复合本质上是对应关系的乘积,并非简单的“代入”。要注意fx)的值域与g(x) 的定义域之交非空集合以及g[(∞刈定义域的变化。 解:我们可以这样做 gf)]= 2-f(x)(x)≤0=2+xx20 (之间要注意定义域和值域相互之间的关系) f(x)+2,f(x)>02-x2,x<0 2、求极限的方法(重点内容,请注意第四部分的极限专项方法综述) 28/y 例题1:求lm SIn Z n 解:本题是典型的两边夹和定积分结合应用的题目。 sIn sin 由于 几,所以 n+1 n+1 n n 而且lmsn红-sx lim .2sin==lim(- +1n 所以利用夹逼定理,可以得到原式答案为 在极限中,还有一种题型就是已知极限,反过来求极限中的参数的题目。这类题一般是 求极限思路的逆分析,90%需要考虑等价无穷小和罗必塔法则 例题2:确定常数a、b、C的值,使lim-ax-x=c(c≠0) dt 分析:当x→0时ax-snx→0,且lm2x存在而且不为零,所以 n(1+13) 第8页 考研数学学习班组织委员会
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列 第 8 页 考研数学学习班组织委员会 当 x<0 时 g x() 1 < f[g(x)] 1 当 x=0 时 g x() 1 = f[g(x)] 0 当 x>0 时 g x() 1 > f[g(x)] 1 总之 有 ( ) 1, 0, 0, 0, 1, 0, x f gx x x = = − ≺ ; 而 ( ) f x( ) gfx e = 所以 ( ) 1 e, x 1 1, x 1 e, 1 gfx x < = = > 例题 2 设 ( ) 2, 0 2, 0 x x g x x x − ≤ = + > ( ) 2 , 0 , 0 x x f x x x < = − ≥ 求 g[f(x)] 分析 函数的复合本质上是对应关系的乘积 并非简单的 代入 要注意 f(x)的值域与 g(x) 的定义域之交非空集合以及 g[f(x)]定义域的变化 解 我们可以这样做 g[f(x)] 2 ( ), ( ) 0 ( ) 2, ( ) 0 fx fx fx fx − ≤ + > 2 2, 0 2 ,0 x x x x + ≥ − < 之间要注意定义域和值域相互之间的关系 2 求极限的方法 重点内容 请注意第四部分的极限专项方法综述 例题 1 求 2 sin sin sin lim 1 1 1 2 x n n n n n n π π π →∞ + +⋅⋅⋅+ + + + 解 本题是典型的两边夹和定积分结合应用的题目 由于 sin sin sin 1 iii nnn n n i n n πππ < < + + 所以 11 1 sin 1 1 sin sin 1 nn n ii i i i i n n n nn i n n π π π == = < < + + ∑∑ ∑ 而且 1 0 1 1 2 lim sin sin n n i i xdx n n π π →∞ = π ∑ = = ∫ 1 1 1 12 lim sin lim( sin ) 1 1 n n n n i i in i n n nn n π π →∞ →∞ = = π =× = + + ∑ ∑ 所以利用夹逼定理 可以得到原式答案为 2 π 在极限中 还有一种题型就是已知极限 反过来求极限中的参数的题目 这类题一般是 求极限思路的逆分析 90 需要考虑等价无穷小和罗必塔法则 例题 2 确定常数 a b c 的值 使 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ c c ≠ 0 分 析 当 x→0 时 ax sinx→0 且 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ 存在而且不为零 所 以
高等数学学习手记 1inrl+tD∥=0(*),因此b必定为零,因为若b>0,则在(0,b)内m1+)20; 若b<0,则在[b,0]内 >0,(*)均不成立,确定了b之后,可再由罗必塔法则确定 解:由于当X→0时ax-sinx→>0,且lim ax-sIn x C≠0,故b=0,再用罗必塔法则: x→0rxln(1+r2) ax-sinx lim a-cosx lim a-cosx 若a≠1,则上式为叨,与条件不复合,故 x In(1+t). x+o In(1+x) x-o a=1,从而再用罗必塔法则(或等价无穷小代换,得c 总结:我们认为求极限的主要方法是:罗必塔法则;两个重要极限;两边夹法则;单调 有界法则;等价无穷小替换;泰勒级欻展开〔上述方法请参见第四部分的极限专项方法综述) 综合历年的考试题目,使用的主要方法就是以上五种。求极限的方法是灵活的,有的题目要 几种方法一起用,所以本部分学好的关键还是在于自己要多多练习。只有自己有了很多的感 性认识,以上方法(理性认识)才能转化为自己的东西。否则光“知道”这些方法是解决不 了问题的。 3、讨论函数的连续性,判断间断点的类型 这部分内容(定义我们不重复了,大家自己看书),我感觉主要内容是两部分,一是函 数的连续问题,二是判断间断点类型。对于间断点类型,数学二可能要出大题,数学一基本 上只会以小题形式出现 连续问题综合历年考察的特点,主要是考察左、右连续的问题(左、右极限)。间断点的判 断时间上也是考察的左、右连续的问题。连续和间断的考察点我个人认为主要归结到左右极 限问题 例题1:设f(x)=m+2-,试讨论此函数的连续性。 n→∞x+x 解:fx)={0.x=1 显然,f(x)在(-∞,-1),(0,1)(-1,0)以及(1,+)内连 续,只要讨论在-1、0、1三个点的连续性,由limf(x)=1,lim∫(x)=1,lim∫(x)=1 x→1 lim∫(x)=-1,limf(x)=0,所以ⅹ=0,±1是f(x)的三个间断点,其中X=0和-1是可去间 断点,X=1是第一类间断点(跳跃间断点) 例题2:当x→>1时,求函数2x-1的极限 考研数学学习班组织委员会 第9页
高 等 数 学 学 习 手 记 考研数学学习班组织委员会 第 9 页 3 0 ln(1 ) lim x x b t dt → t + ∫ 0 * 因此 b 必定为零 因为若 b>0 则在 0 b 内 3 ln(1 ) 0 t t + > 若 b<0 则在[b 0]内 3 ln(1 ) 0 t t + > * 均不成立 确定了 b 之后 可再由罗必塔法则确定 a c 解 由于当 x→0 时 ax sinx→0 且 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ c ≠ 0 故 b 0 再用罗必塔法则 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ 3 0 cos lim ln(1 ) x a x x x → − + 2 0 cos limx a x → x − 若 a ≠ 1 则上式为∞ 与条件不复合 故 a 1 从而再用罗必塔法则 或等价无穷小代换 得 c 1 2 总结 我们认为求极限的主要方法是 罗必塔法则 两个重要极限 两边夹法则 单调 有界法则 等价无穷小替换 泰勒级数展开 上述方法请参见第四部分的极限专项方法综述 综合历年的考试题目 使用的主要方法就是以上五种 求极限的方法是灵活的 有的题目要 几种方法一起用 所以本部分学好的关键还是在于自己要多多练习 只有自己有了很多的感 性认识 以上方法 理性认识 才能转化为自己的东西 否则光 知道 这些方法是解决不 了问题的 3 讨论函数的连续性 判断间断点的类型 这部分内容 定义我们不重复了 大家自己看书 我感觉主要内容是两部分 一是函 数的连续问题 二是判断间断点类型 对于间断点类型 数学二可能要出大题 数学一基本 上只会以小题形式出现 连续问题综合历年考察的特点 主要是考察左 右连续的问题 左 右极限 间断点的判 断时间上也是考察的左 右连续的问题 连续和间断的考察点我个人认为主要归结到左右极 限问题 例题 1 设 f(x) 2 1 lim n n n n n x x x x + − →∞ − − − + 试讨论此函数的连续性 解 f(x) 2 ,0 1 0, 1 , 1 x x x x x − << = > 显然 f(x)在 ∞ -1 0 1 -1 0 以及 1 +∞ 内连 续 只要讨论在 1 0 1 三个点的连续性 由 1 1 lim ( ) 1, lim ( ) 1 x x fx fx →− →− + − = = 1 lim ( ) 1 x f x → + = 1 0 lim ( ) 1,lim ( ) 0 x x fx fx → − → =− = 所以 x 0 ± 1 是 f(x)的三个间断点 其中 x 0 和-1 是可去间 断点 x 1 是第一类间断点 跳跃间断点 例题 2 当 x→1 时 求函数 2 1 1 1 1 x x e x − − − 的极限