例1已知X~N(0,1),Y=X2,求Dxy 例2随机变量(X,Y)服从区域 D={(x,y)0<x<1,0<y<x 上的均匀分布,试求相关系数py
例1 已知X~N(0,1), Y=X2 ，求ρXY 。 例2 随机变量（X，Y）服从区域 上的均匀分布，试求相关系数ρXY 。 D ={(x, y)0 x 1, 0 y x}
样本相关系数 1、样本相关系数 在实际问题中,总体相关系数p一般是未知的。因此, 通常采用随机抽样的方法,从总体(即二维随机变量(X, Y))中独立地随机抽取n个个体,对每一个体同时观察 X和Y的取值,获得m对独立的观测数据(x2 i=1,2,,n,然后借助矩法估计去估计总体相关系数p, 即分别以 ∑(X1-X)2,-,∑(-Y)2 ∑(X1-Xy-Y) 和n 去估计VX,V(Y)和Cov(X,Y)。由此得出p的估计为 ∑(X1-XXy-Y) 称为样本 XY 相关系数 2(X,-x)212(x-y) YY
二、样本相关系数 1 、 样本相关系数 在实际问题中，总体相关系数ρ 一般是未知的。 因此， 通常采用随机抽样的方法，从总体（即二维随机变量（X， Y））中独立地随机抽取n个个体，对每一个体同时观察 X和Y的取值，获得n对独立的观测数据（xi ,yi） i=1,2,…,n ，然后借助矩法估计去估计总体相关系数ρ， 即分别以 和 去 估计V(X),V(Y) 和Cov(X,Y)。由此得出ρ的估计为 r称为样本 相关系数。 2 1 1 2 ( ) 1 1 ( ) , 1 1 = = − − − − n i i n i i Y Y n X X n = − − − n i Xi X Yi Y n 1 ( )( ) 1 1 X X YY X Y n i i n i i n i i i L L L X X Y Y X X Y Y r = − − − − = = = = 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )( )
2、相关系数的大小和方向 设有二维随机变量(X,Y)。为了考察X与Y的关系,人们常 从总体中独立地随机抽取n个个体,对每一个体同时观察X和Y的取 值,获得n对独立的观测数据(x2y2)i=1,2,…,n并将这m对数据标绘 在平面直角坐标系中,对应的n个点构成一幅散点图。 下面给出6种常见的相关散点图。 (1)r=1 (2)r=-1 (3)0<r<1 (4)-1<r<0 (5)r=0 (6)r=0
2、相关系数的大小和方向 设有二维随机变量（X，Y）。为了考察X与Y的关系，人们常 从总体中独立地随机抽取n个个体，对每一个体同时观察X和Y的取 值，获得n对独立的观测数据（xi ,yi）i=1,2,…,n并将这n对数据标绘 在平面直角坐标系中，对应的n个点构成一幅散点图。 下面给出6种常见的相关散点图。 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (1) r =1 (2) r = −1 (3) 0 r 1 (4) −1 r 0 (5) r = 0 (6) r = 0
从图中得知,散点的位置和向直线的集中的程度,正 好反映了相关系数的正负符号和大小。散点由左下向右 上的为正相关,此时,r0,它表示随X增大,Y未必增大, 但总体看确有X增大而Y呈直线上升的趋势。散点由左上 向右下分布为负相关,此时,r<0,它表明从总体看随X 的增大Y呈直线下降趋势。散点分布不表现为这两种趋势 则为零相关,它包含Y与X毫无联系和Y与X之间是乎存 在某种对称曲线联系,这时随X的增大Y的上升趋势与下 降趋势相抵。散点分布集中在一条直线上时,r=±1。散 点越靠近一条直线,越接近1,散点越远离一条直线, 越接近0。相关系数的取值介于-1与1之间 3、样本相关系数的计算 =2(x-x)2=>x2-nxLn=∑(y1-y)2=∑y2-ny2 i=1 ∑(x-x(y,-y)=∑xy1-nxy
从图中得知，散点的位置和向直线的集中的程度，正 好反映了相关系数的正负符号和大小。散点由左下向右 上的为正相关，此时，r>0,它表示随X增大，Y未必增大， 但总体看确有X增大而Y呈直线上升的趋势。散点由左上 向右下分布为负相关，此时，r<0，它表明从总体看随X 的增大Y呈直线下降趋势。散点分布不表现为这两种趋势 则为零相关，它包含Y与X毫无联系和Y与X之间是乎存 在某种对称曲线联系，这时随X的增大Y的上升趋势与下 降趋势相抵。散点分布集中在一条直线上时，r=±1。散 点越靠近一条直线， 越接近1，散点越远离一条直线， 越接近0。 相关系数的取值介于-1与1之间。 3、样本相关系数的计算 r r = = = − = − n i i n i xx i L x x x nx 1 2 2 1 2 ( ) = = = − = − n i n i yy i i L y y y ny 1 1 2 2 2 ( ) = = = − − = − n i n i xy i i i i L x x y y x y nx y 1 1 ( )( ) xx yy xy L L L r =
例2某试验室用大白鼠做实验,研究一种代乳粉的 营养价值。将10只体重不尽相同的大白鼠分笼饲 养提供充足的代乳粉和必要的饮用水。经一段时 间喂养后,记录进食量和体重增加量,获得原始数 据如下: 动物编号12345678 进食量820780720867690787934679639820 体重增量165158130180134167186145120158 求进食量x与体重增量y的相关系数r
例2 某试验室用大白鼠做实验,研究一种代乳粉的 营养价值。 将10只体重不尽相同的大白鼠分笼饲 养提供充足的代乳粉和必要的饮用水。经一段时 间喂养后,记录进食量和体重增加量,获得原始数 据如下: 动物编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 进食量 820 780 720 867 690 787 934 679 639 820 体重增量 165 158 130 180 134 167 186 145 120 158 求进食量x与体重增量y的相关系数r