H 因此实序列的FT的实部是偶函数,虚部是奇函数,用公式表示为 H (e")=-H1(e-) 其模的平方 是偶函数,相位函数 H,et argI H arg tan 是奇函数。 偶函数h(m)、奇函数h(m)与h(m)之间的关系 实因果序列h(n)可表示为 h(n)=h(n)+ho(n) 其中 x()=2 x(n+x (n)=5[x()x(-m) 因为是因果序列,是实序列,所以 h(),n=0 h(n)={h(n),n>0 (2.2.27) h(),n=0 h(m)={h(m),n>0 (2.2.28) h(-n),n<0
( ) ( ) j j * H e H e e − = 因此实序列的 FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为： ( ) ( ) ( ) ( ) j j R R j j I I H e H e H e H e − − = = − 其模的平方 ( ) ( ) ( ) 2 j j j 2 2 H e H e H e R I = + 是偶函数，相位函数 ( ) ( ) ( ) arg arg tan j I j j R H e H e H e = 是奇函数。 ⚫ 偶函数 h n e ( ) 、奇函数 h n o ( ) 与 h n( ) 之间的关系 实因果序列 h n( ) 可表示为 h n h n h n ( ) = + e o ( ) ( ) 其中 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 e x n x n x n = + − ( ) ( ) ( ) 1 * 2 o x n x n x n = − − 因为是因果序列，是实序列，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 1 , 0 2 1 , 0 2 e h n h n h n n h n n = = − （2.2.27） ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 1 , 0 2 1 , 0 2 o h n h n h n n h n n = = − − （2.2.28）
即实因果序列可以分别用h(m)和h(n)表示为 h(n)=h(n)u(n) (2.2.29) h(n)=h(n)u,(n)+h(0)(n) (2.2.30) 2.n>0 (m)={1,n=0 0,n<0 即:实因果序列完全可以仅由其偶序列统复。 例22.3x(n)=a"u(m),0a<1。求其偶函数x(m)和奇函数x2(n)。 (5)时域卷积定理 设 (em)=x(e"),H( 22.32) 即:射于线性时不变系统,输出的HT等于勃入信号的FT乘以单位脉神响应的 (6)频域卷积定理 设 (n)=x(n) -x(n) 则 (e)=2x()H()=2x(e)H(e0).(2 即:在时域两序列相乘,转换到频域服从卷积关系。 (7) Paseval定理
即实因果序列可以分别用 h n e ( ) 和 h n o ( ) 表示为 h n h n u n ( ) = e ( ) + ( ) （2.2.29） h n h n u n h n ( ) = + o ( ) + ( ) (0) ( ) （2.2.30） 其中 ( ) 2, 0 1, 0 0, 0 n u n n n + = = （2.2.31） 即：实因果序列完全可以仅由其偶序列恢复。 例 2.2.3 ( ) ( ) n x n a u n = ，0<a<1。求其偶函数 x n e ( ) 和奇函数 x n o ( ) 。 （5）时域卷积定理 设 y n x n h n ( ) = ( )* ( ) ， 则 ( ) ( ) ( ) j j j Y e X e H e = （2.2.32） 即：对于线性时不变系统，输出的 FT 等于输入信号的 FT 乘以单位脉冲响应的 FT。 （6）频域卷积定理 设 y n x n x n ( ) = ( ) ( ) 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 * 2 2 j j j j j Y e X e H e X e H e d − − = = （2.2.33） 即：在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。 （7）Paseval 定理
x(n)=X(e)do =一⑦ 即:信号的时域总能量等于频域总能量
( ) ( ) 2 1 2 2 j n x n X e d − =− = （2.2.34） 即：信号的时域总能量等于频域总能量
2.3周期序列的离散 Fourier级数及 Fourier变换表示式 由(2.22)可知,FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件, 即满足 ∑x(m)<∞ 周期序列一般不满足该条件,因此它的FT是不存在的。 又,由于周期函数可以展开为离散 Fourier级数。只要引入奇异函数δ, 离散 Fourier级数可以表示为FT形式 2.3.1周期序列的离散 Fourier级数 周期序列的离散 Fourier级数 设X(n)是以N为周期的周期序列,则可以展开为 are (2.3.1) ∑(n)e 由于cN是周期函数,当k或者n变化时,其值作周期变化。即有 令X(k)=Na,则有 Xlk (2.3.4) 该式中的x(k)也是一个以N为周期的周期序列,称为x(m)的离散 trier级 WK(DFS, Discrete Fourier Series) 相应地 (n)=1∑X(k (2.3.5) 式(2.3.4)和(2.3.5)称为一对DFS
2.3 周期序列的离散 Fourier 级数及 Fourier 变换表示式 由（2.2.2）可知，FT 成立的充要条件是序列 x n( ) 满足绝对可和的条件， 即满足： ( ) n x n =− 周期序列一般不满足该条件，因此它的 FT 是不存在的。 又，由于周期函数可以展开为离散 Fourier 级数。只要引入奇异函数 ， 离散 Fourier 级数可以表示为 FT 形式。 2.3.1 周期序列的离散 Fourier 级数 1、周期序列的离散 Fourier 级数 设 x n( ) 是以 N 为周期的周期序列，则可以展开为 ( ) 2 j kn N k k x n a e =− = （2.3.1） ( ) 1 2 0 1 , N j kn N k n a x n e k N − − = = − （2.3.3） 由于 2 j kn N e − 是周期函数，当 k 或者 n 变化时，其值作周期变化。即有 k k lN a a = + 令 X k Na ( ) = k ，则有 ( ) ( ) 1 2 0 , N j kn N n X k x n e k − − = = − （2.3.4） 该式中的 X k( ) 也是一个以 N 为周期的周期序列，称为 x n( ) 的离散 Fourier 级 数（DFS,Discrete Fourier Series） 相应地 ( ) ( ) 1 2 0 1 N j kn N n x n X k e N − = = （2.3.5） 式（2.3.4）和（2.3.5）称为一对 DFS
(2.3.5)表明:周期序列的频谱是离散的,频率1=-,k,k=0L,2…,M1 幅度为X(k)。 2、例题 例23.1设x(m)=R(m),将x(n)以N8为周期进行周期延拓,求X()的 DFS。 0.5 2.3.2周期序列的 Fourier变换表示式 1、复指数序列的 Fourier变换 对于时域连续复指数函数x()=e,其 Fourier变换为 X(19)=FT[x()=ce=2m5(92-92)(2.8) 即其 Fourier变换是在g2=g处的单位冲激函数,强度是2r
（2.3.5）表明：周期序列的频谱是离散的，频率 2 k k N = ，k=0,1,2,…，N-1, 幅度为 ( ) 1 X k N 。 2、例题 例 2.3.1 设 x n R n ( ) = 4 ( ) ，将 x n( ) 以 N=8 为周期进行周期延拓，求 x n( ) 的 DFS。 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.5 1 n x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 n Abs(X) 2.3.2 周期序列的 Fourier 变换表示式 1、复指数序列的 Fourier 变换 对于时域连续复指数函数 ( ) 0 j t a x t e = ，其 Fourier 变换为 ( ) ( ) ( ) 0 0 2 j t j t X j FT x t e e dt a a − − = = = − （2.3.8） 即其 Fourier 变换是在 = 0 处的单位冲激函数，强度是 2