第九章压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计 材料力学教案 学|6学时 弹性体平衡构形稳定性的基本概念 本 确定分叉荷载的平衡方法:欧拉压杆、其他刚性支承压杆 内 柔度、大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆 临界压力总图;压杆失效的不同类型与稳定性设计准则 掌握稳定性的基本概念与用平衡方法确定的压杆分叉荷载 掌握柔度的概念与大、中、小柔度杆的区分、临界应力的计算。 了解压杆失效和稳定性设计准则 目的重点和难点 重重点:1)稳定性的基本概念 2)欧拉杆与其他刚性支承压杆的临界应力计算式。 3)柔度λ的概念以及常用结构钢的λ。,λ,的计算。 难点:1)不同形状截面压杆的的确定。 2)常用结构钢的,的计算。 教可用简单模型教具表演在临界压力下的压杆的平衡构形和提高承载能力 学的措施。 方 法 「作
1 第九章 压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计 ————材料力学教案 学 时 6 学时 基 本 内 容 弹性体平衡构形稳定性的基本概念 确定分叉荷载的平衡方法：欧拉压杆、其他刚性支承压杆 柔度、大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆 临界压力总图；压杆失效的不同类型与稳定性设计准则 教 学 目 的 1．掌握稳定性的基本概念与用平衡方法确定的压杆分叉荷载。 2．掌握柔度的概念与大、中、小柔度杆的区分、临界应力的计算。 3．了解压杆失效和稳定性设计准则。 重 点 和 难 点 重点：1）稳定性的基本概念。 2）欧拉杆与其他刚性支承压杆的临界应力计算式。 3）柔度 的概念以及常用结构钢的 p s , 的计算。 难点：1）不同形状截面压杆的 min 的确定。 2）常用结构钢的 p s , 的计算。 教 学 方 法 可用简单模型教具表演在临界压力下的压杆的平衡构形和提高承载能力 的措施。 作 业
第九章压杆的弹性稳定分析与稳定性设计 刚体的平衡位形和弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定问题。本章首先介绍关于弹性 体平衡构形稳定性的基本概念 然后根据微弯的屈曲平衡构形,由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件,确定 不同刚性支承条件下弹性压杆的临界荷载。 最后介绍两种工程中常用的压杆稳定设计方法。 §9-1弹性体平衡构形稳定性的基本概念 1.弹性稳定性的静力学判别准则 结构构件或者机器零件在荷载作用下,在某一位置保持平衡,这一平衡位置称为平衠构 形。例如弹性压杆具有直线平衡构形和弯曲平衡构形两种形式。 直线平衡构 弯曲平衡构 II 图9-1a 图9-1b 当载荷小于一定的数值时,微小外界扰动使其偏离初始平衡构形:外界扰动除去后,构 件仍能回复到初始平衡构形,则称初始平衡构形是稳定的:当载荷大于一定的数值时,微小 外界扰动使其偏离初始平衡构形;外界扰动除去后,构件不能回复到初始平衡构形,则称初 始平衡构形是不稳定的。此即判别弹性稳定性的静力学准则 不稳定的平衡构形在任意微小的外界挠动下,都要转变为其它平衡构形或失稳,这种过 程称为屈曲或失稳。通常,屈曲将导致构件失效一—称屈曲失效。由于这种失效具有突发性 常给工程带来灾难性后果 2.弹性压杆的平衡构形及分叉屈曲 轴向受压的理想细长直杆,当轴向压力小于一定数值时,压杆只有一种稳定的直线平衡 构形;当轴向压力大于一定数值时,压杆存在直线或者屈曲的两种可能的平衡构形,而且直 线平衡构形在微小侧向干扰力作用下立即会转变成不稳定的屈曲平衡构形,这种现象称为平 衠构形分叉。稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点,从临界点开始 会出现平衡构形分叉现象,所以又称为分叉点。临界点对应的荷载称为临界荷或者分叉荷 载,用FF
2 第九章 压杆的弹性稳定分析与稳定性设计 刚体的平衡位形和弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定问题。本章首先介绍关于弹性 体平衡构形稳定性的基本概念。 然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定 不同刚性支承条件下弹性压杆的临界荷载。 最后介绍两种工程中常用的压杆稳定设计方法。 §9-1 弹性体平衡构形稳定性的基本概念 1. 弹性稳定性的静力学判别准则 结构构件或者机器零件在荷载作用下，在某一位置保持平衡，这一平衡位置称为平衡构 形。例如弹性压杆具有直线平衡构形和弯曲平衡构形两种形式。 当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离初始平衡构形；外界扰动除去后，构 件仍能回复到初始平衡构形，则称初始平衡构形是稳定的；当载荷大于一定的数值时，微小 外界扰动使其偏离初始平衡构形；外界扰动除去后，构件不能回复到初始平衡构形，则称初 始平衡构形是不稳定的。此即判别弹性稳定性的静力学准则。 不稳定的平衡构形在任意微小的外界挠动下，都要转变为其它平衡构形或失稳，这种过 程称为屈曲或失稳。通常，屈曲将导致构件失效——称屈曲失效。由于这种失效具有突发性， 常给工程带来灾难性后果。 2. 弹性压杆的平衡构形及分叉屈曲 轴向受压的理想细长直杆，当轴向压力小于一定数值时，压杆只有一种稳定的直线平衡 构形；当轴向压力大于一定数值时，压杆存在直线或者屈曲的两种可能的平衡构形，而且直 线平衡构形在微小侧向干扰力作用下立即会转变成不稳定的屈曲平衡构形，这种现象称为平 衡构形分叉。稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点，从临界点开始 会出现平衡构形分叉现象，所以又称为分叉点。临界点对应的荷载称为临界载荷或者分叉荷 载，用 FPcr 表示。 直 线 平 衡 构 形 式 形 弯 曲 平 衡 构 形 图 9-1a 图 9-1b
89-2确定分叉载荷的平衡方法 1.两端铰支的压杆 考察如图9-2a所示受压的理想直杆,忽略剪切变形影响及杆的轴向变形。图92b直线 平衡构形无限接近的微弯曲构形的局部(图9-2c),得到任意截面x上的弯矩 M(x=Fpw(x) 图9-2 图92b 又由小挠度微分方程 M() d11 得到 (9-1) El 微分方程(9-1)示的解为 w=Asin ax+ Bcos kx 利用边界条件(O)=0、w(1)=O,解得 0·A+1·B=0 Sink·A+cosk·B=0 其中A4,B不全为0,则系数行列式等于零,即 sin kI cook 由此解得 kD=O 于是有
3 §9-2 确定分叉载荷的平衡方法 1. 两端铰支的压杆 考察如图 9-2a 所示受压的理想直杆，忽略剪切变形影响及杆的轴向变形。图 9-2b 直线 平衡构形无限接近的微弯曲构形的局部（图 9-2c），得到任意截面 x 上的弯矩。 M(x) F w(x) = P 又由小挠度微分方程 2 2 d d ( ) - x w M x = EI 得到 0 d d 2 2 2 + k w = x w (9-1) EI F k 2 P = (9-2) 微分方程（9-1）示的解为 w = Asin kx+ Bcoskx （9-3） 利用边界条件 w(0) = 0、w(1) = 0 ，解得 0 • A + 1 • B = 0 sinkl • A +coskl • B=0 其中 A,B 不全为 0，则系数行列式等于零，即 0 sin cos 0 1 = kl kl 由此解得 sin( kl) = 0 (9-4) 于是有 图 9-2a 图 9-2b 图 9-2c
kl=nz(n=1,2,………) 从中解出k后代入(9-2),便可以得到分叉荷载的表达式 nEl 当n=1时,得到有实际意义的分叉载荷最小值即最小临界荷载 丌EI (9-6) 当端部各个方向的约束相同时,上述二式中I为杆横截面的最小形心主惯性矩。 由(9-3)式得无限接近直线的屈曲位移函数为 Asin nir (9-7) 2.其他刚性支承条件下的压杆 不同刚性支承条件下,由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微分方程和边界条件都可能 各不相同,确定分叉载荷的表达式亦因此而异,但基本分析方法却是相同的。对于细长的杆 件,这些公式可以写成通用的形式 对于细长杆,这些公式可以写成通用形式 nel 这一表达式称为欧拉公式。其中山l称为有效长度;为反映不同支承影响的系数,称为长 度系数。 图9-3 一端自由,一端固定时=20 一端铰支,一端固定=0.7 两端固定 =0.5 两端铰支 =1.0
4 kl = n （n=1,2,……） 从中解出 k 后代入（9-2），便可以得到分叉荷载的表达式 2 2 2 Pcr π l n EI F = ； (9-5) 当 n=1 时，得到有实际意义的分叉载荷最小值即最小临界荷载： 2 2 Pcr π l EI F = ， (9-6) 当端部各个方向的约束相同时，上述二式中 I 为杆横截面的最小形心主惯性矩。 由（9-3）式得无限接近直线的屈曲位移函数为 ( ) l n x w x A π = sin （9-7） 2. 其他刚性支承条件下的压杆 不同刚性支承条件下，由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微分方程和边界条件都可能 各不相同，确定分叉载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法却是相同的。对于细长的杆 件，这些公式可以写成通用的形式 对于细长杆，这些公式可以写成通用形式： ( ) 2 2 2 Pcr π l n EI F = （9-8） 这一表达式称为欧拉公式。其中 l 称为有效长度； 为反映不同支承影响的系数，称为长 度系数。 一端自由，一端固定时 μ＝2..0 一端铰支，一端固定 μ＝0..7 两端固定 μ＝0..5 两端铰支 μ＝1..0 图 9-3 (a) (b) (c) (d)
§9-3柔度、临界应力及非弹性屈曲 1.细长压杆的临界应力 压杆处于临界平衡状态时,其横截面上的平均应力,用σ表示。将式(9-8)两端同除 压杆横截面积A,便得 丌2E =A(mn)°A 式中I/A仅与截面的形状及尺寸有关,若用表示12表示,则有 A i称为截面的惯性半径,单位常用mm。将式(9-9)代入上式,并令A=lli,则得细长 压杆的临界应力欧拉公式为 丌2E (9-10) 式中λ综合反映了压杆的长度、约束形式及截面几何性质对临界应力的影响,称为柔度 系数或长细比。 2.欧拉公式的适用范围 挠曲线近似微分方程仅适用于杆内应力不超过比例极限σp的情况,而欧拉公式是根据 其建立的,因此,欧拉公式适用范围为 E ≤ 由上式可得,A≥丌 若令 则有当≥的压杆,压杆将发生弹性屈曲。这时,杆在直线平衡构形下横截面上的 正应力不超过材料的比例极限,这类压杆称为大柔度杆或细长杆。 在工程实际中许多压杆的柔度<Ap,其临界应力σa>σp,柔度λ小于λP,但大于 或等于某一数值λs时,这类压杆称为中柔度杆或中长杆。这类压杆也会发生屈曲,但是横 截面上的应力已经超过比例极限,故称为非弹性屈曲。对于中长杆,目前在设计中多采用经 验公式计算其临界应力 对于A≤As的压杆称为小柔度杆(短杆),这类压杆称为小柔度杆或粗短杆。这类压
5 §9-3 柔度、临界应力及非弹性屈曲 1. 细长压杆的临界应力 压杆处于临界平衡状态时，其横截面上的平均应力，用 cr 表示。将式（9-8）两端同除 压杆横截面积 A ，便得 ( ) A I l E A FPcr cr = = • 2 2 式中 I / A 仅与截面的形状及尺寸有关，若用表示 2 i 表示，则有 A I i = （9-9） i 称为截面的惯性半径，单位常用 mm。将式（9-9）代入上式，并令 = l / i ，则得细长 压杆的临界应力欧拉公式为 2 2 E cr = （9-10） 式中 综合反映了压杆的长度、约束形式及截面几何性质对临界应力的影响，称为柔度 系数或长细比。 2. 欧拉公式的适用范围 挠曲线近似微分方程仅适用于杆内应力不超过比例极限 P 的情况，而欧拉公式是根据 其建立的，因此，欧拉公式适用范围为 cr P E = 2 2 由上式可得， P E ，若令 P P E = （9-11） 则有当 P 的压杆，压杆将发生弹性屈曲。这时，杆在直线平衡构形下横截面上的 正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为大柔度杆或细长杆。 在工程实际中许多压杆的柔度 P ，其临界应力 cr P .柔度λ小于λP，但大于 或等于某一数值λS时，这类压杆称为中柔度杆或中长杆。这类压杆也会发生屈曲，但是横 截面上的应力已经超过比例极限，故称为非弹性屈曲。对于中长杆，目前在设计中多采用经 验公式计算其临界应力。 对于 S 的压杆称为小柔度杆（短杆），这类压杆称为小柔度杆或粗短杆。这类压