第三章弹性杆横截面上的正应力分析 材料力学教案 学6学时 基|应力、应变及其相互关系;杆件横截面上的正应力分析,正应力公式的应用(拉压杆横截面上的正 本应力,平面弯曲正应力,斜弯曲正应力) 内 教|1.深入理解应力、应变的概念:熟练掌握虎克定律 理解从变形协调、物性与静力学三方面分析由内力求应力的材料力学基本方法 目|3.掌握横截面上正应力的一般表达式。 的4.熟练掌握拉压杆横截面上正应力、平面弯曲正应力、斜弯曲正应力的计算与分布规律。 5.深入理解中性层和中性轴的概念。 重|重点:1)应力与应变的概念:虎克定律。 2)正应力的一般表达式。 点和难点 3)Ox、可xM的分布规律与计算 4)中性层与中性轴的概念 难点:1)平面假设与变形协调方程。 2)正应力一般表达式的应用 教1.利用简单模型教具演示平面假设以建立变形协调方程。 方|2.讲清正应力一般表达式中各代数量符号按坐标系确定,或根据由、M、My的实际方向 在应力点所产生的O的拉压性质确定 3.应安排习题讨论课。 作1,7,9,11,15,16 第三章 弹性杆樻微面上的正庇力分析 应用平衡原理可以确定静定问题中杆件横截面上的内力分量,但内力分量只是杆件横截面上连续分 布内力的简化结果。仅仅确定了内力分量并不能确定横截面上各点内力的大小。这是因为,在一般情形下 分布内力在各点的数值是不相等的,因此,只有当内力在横截面上的分布规律确定之后,才能由内力分 量确定横截面上内力在各点的数值
1 第三章 弹性杆横截面上的正应力分析 ——材料力学教案 学 时 6 学时 基 本 内 容 应力、应变及其相互关系；杆件横截面上的正应力分析，正应力公式的应用（拉压杆横截面上的正 应力，平面弯曲正应力，斜弯曲正应力）。 教 学 目 的 1． 深入理解应力、应变的概念；熟练掌握虎克定律。 2． 理解从变形协调、物性与静力学三方面分析由内力求应力的材料力学基本方法。 3． 掌握横截面上正应力的一般表达式。 4． 熟练掌握拉压杆横截面上正应力、平面弯曲正应力、斜弯曲正应力的计算与分布规律。 5． 深入理解中性层和中性轴的概念。 重 点 和 难 点 重点：1）应力与应变的概念；虎克定律。 2）正应力的一般表达式。 3） xN 、 xM 的分布规律与计算。 4）中性层与中性轴的概念。 难点：1）平面假设与变形协调方程。 2）正应力一般表达式的应用。 教 学 方 法 1． 利用简单模型教具演示平面假设以建立变形协调方程。 2． 讲清正应力一般表达式中各代数量符号按坐标系确定，或根据由 FNx 、 M x 、 M y 的实际方向 在应力点所产生的 的拉压性质确定。 3． 应安排习题讨论课。 作 业 1，7，9，11，15，16 第三章 弹性杆横截面上的正应力分析 应用平衡原理可以确定静定问题中杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是杆件横截面上连续分 布内力的简化结果。仅仅确定了内力分量并不能确定横截面上各点内力的大小。这是因为,在一般情形下 分布内力在各点的数值是不相等的，因此，只有当内力在横截面上的分布规律确定之后，才能由内力分 量确定横截面上内力在各点的数值
内力是不可见的,但变形却是可见的,而且二者之间通过材料的物性关系相联系。因此,为了确定 内力的分布规律,必须分析和研究杆件的变形,必须研究材料受力与变形之间的关系,即必须涉及变形 协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法 §3-1应力、应变及其关系 考察图3-1中杆件横截面上的微小面积△A。假设分布内力在这一面积上的合力为△FR则称△FR/△A 为这一微小面积上的平均应力 当所取的面积趋于无穷小时,上述平均应力趋于一极限值。这一极限值称为横截面上一点处的应力)。 这表明:应力实际上是分布内力在截面上某一点处的强弱程度,简称集度。 工程构件,大多数情形下,内力并非均匀分布,集度的定义不仅准确而且重要,因为“破坏”或“失 效”往往从内力集度最大处开始 △FQ 1.正应力与切应力 若将△FR分解为x、y、z三个方向上的分量△FR、△Foy和△Fo,则根据应力定义,有 σ=lm△A (3-1) △A→0 △ Fo dFo △F (3-2) △A→0 △A z:=im△A 式中,正应力σ垂直于横截面,称为正应力;τ位于横截面内,称为切应力 应力单位为Pa,工程上常用Mpad 2.正应变与切应变 若围绕受力弹性体中的任意点截取一微元体(通常为六面体),一般情形下微元体的各个面上均有应 力作用。下面考察两种最简单的情形,分别如图3-2a、b所示 不难发现,在正应力作用下,微元沿着正应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短,这种变 形称为线变形。描写弹性体在各点处线变形程度的量,称为正应变或线应变,用E,表示 du (3-3)
2 内力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定 内力的分布规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与变形之间的关系，即必须涉及变形 协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。 §3-1 应力、应变及其关系 考察图 3-1 中杆件横截面上的微小面积ΔA。假设分布内力在这一面积上的合力为ΔFR则称ΔFR/ΔA 为这一微小面积上的平均应力。 当所取的面积趋于无穷小时，上述平均应力趋于一极限值。这一极限值称为横截面上一点处的应力)。 这表明：应力实际上是分布内力在截面上某一点处的强弱程度，简称集度。 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失 效”往往从内力集度最大处开始。 1．正应力与切应力 若将ΔFR分解为 x、y、z 三个方向上的分量ΔFRx、ΔFQy 和ΔFQz，则根据应力定义，有 A F A F A d d Δ Δ Nx Nx Δ 0 = lim = → （3-1） A F A F A y d d Δ Δ Qy Qy Δ 0 = lim = → ， A F A F A z d d Δ Δ Qz Qz Δ 0 = lim = → （3-2） 式中，正应力σ垂直于横截面，称为正应力；τ位于横截面内，称为切应力。 应力单位为 Pa，工程上常用 Mpa。 2．正应变与切应变 若围绕受力弹性体中的任意点截取一微元体(通常为六面体)，一般情形下微元体的各个面上均有应 力作用。下面考察两种最简单的情形，分别如图 3-2a、b 所示。 不难发现，在正应力作用下，微元沿着正应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变 形称为线变形。描写弹性体在各点处线变形程度的量，称为正应变或线应变，用 x 表示： dx du x = （3-3） ΔFQz y x z ΔFQy ΔFN FP1 FP2 FR ΔFQz ΔA 图 3-1
式中,u为微元受力后相距dx的两截面沿正应力方向的相对位移。E的下标表示应变方向。约定:拉应 变为正;压应变为负。 图3-2正应变与切应变 在切应力作用下,微元将发生剪切变形,剪切变形程度用微元直角的改变量度量。微元直角改变量 称为切应变,用y表示。在图3-2b中,y=a+B y的单位为rad 3线弹性材料的物性关系 对于工程中常用材料制成的杆件,实验结果表明:若在弹性范围内加载(应力小于某一极限值),对 于只承受单方向正应力或承受切应力的微元,正应力与正应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系: (3-4) E和G与材料有关的常数:分别为弹性模量,和切变模量。式(34)和(3-5)即为描述线弹性材料物性关 系的方程,均可称为胡克定律。所谓线弹性材料是指弹性范围内加载时应力应变满足线性关系的材料。 §3-2杆件横截面上的正应力分析 考察杆件横截面上只有轴力FN、弯矩M和M作用的情形(为导出横截面上的正应力一般表达 式,FN、M和M的指向与相应坐标轴正向相同),如图3-3a所示。对应于这些内力分量,杆件横截 面上将有什么应力?这种应力在截面上又是怎样分布的? 不难看出,只有垂直于横截面的分布内力,经过简化才能得到上述内力分量。这表明此时横截面上 只有正应力而没有切应力,并且正应力不会是均匀分布的
3 式中，u 为微元受力后相距 dx 的两截面沿正应力方向的相对位移。 x 的下标表示应变方向。约定：拉应 变为正；压应变为负。 在切应力作用下，微元将发生剪切变形，剪切变形程度用微元直角的改变量度量。微元直角改变量 称为切应变，用 表示。在图 3-2b 中, = + 。 的单位为 rad。 3.线弹性材料的物性关系 对于工程中常用材料制成的杆件，实验结果表明：若在弹性范围内加载(应力小于某一极限值)，对 于只承受单方向正应力或承受切应力的微元，正应力与正应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系： x E x = （3-4） = G （3-5） E 和 G 与材料有关的常数：分别为弹性模量，和切变模量。式（3-4）和(3-5)即为描述线弹性材料物性关 系的方程，均可称为胡克定律。所谓线弹性材料是指弹性范围内加载时应力-应变满足线性关系的材料。 §3-2 杆件横截面上的正应力分析 考察杆件横截面上只有轴力 FN、弯矩 My 和 Mz作用的情形（为导出横截面上的正应力一般表达 式，FN、My和 Mz的指向与相应坐标轴正向相同），如图 3-3a 所示。对应于这些内力分量，杆件横截 面上将有什么应力？这种应力在截面上又是怎样分布的？ 不难看出，只有垂直于横截面的分布内力，经过简化才能得到上述内力分量。这表明此时横截面上 只有正应力而没有切应力，并且正应力不会是均匀分布的
M 图3-3杆件变形后横截面保持平面 平面假设与变形谐调方程 在F、M、M的共同作用下,杆件上d微段的两截面将发生相对运动,产生位移。假定杆横截 面位移后依然保持平面。这一假定称为平面假定。 设微段一侧截面不动,根据平面假定,另一侧截面将发生三种位移:在FN作用下沿ⅹ方向平行移动; 在M和M作用下分别绕y、z轴转动。如图3-3b所示。 种位移的结果,横截面上任意点(y、z)的位移可以表示为 du= dux -(dB)y+(de,) 3-6) 式中第1项由整个截面沿x方向的位移所引起;第2、3两项分别由绕z轴和y铀的转动所引起,如图3-4a 和b所示。其中,dO,和d为dz微段两截面分别绕y轴和z轴相对转过的角度 方程(3-6)表明在FNx、M、M作用下,各点的位移不能是任意的,只能从一个平面协调地移动到另一 平面,故上述方程又称为变形协调方程 2.应变分布与应力分布 对于直杆,微段上各处的纵向x长度在变形前均为dx,根据式(3-3)以及dx=pd02、dx=p,d 由方程(3-6)得到横截面上任意点(x,y,z)的正应变为 du (3-7) p. p de z(de) y(d6) 图3-4
4 1. 平面假设与变形谐调方程 在 FNx、My、Mz的共同作用下，杆件上 dx 微段的两截面将发生相对运动，产生位移。假定杆横截 面位移后依然保持平面。这一假定称为平面假定。 设微段一侧截面不动，根据平面假定，另一侧截面将发生三种位移：在 FNx 作用下沿 x 方向平行移动； 在 My 和 Mz作用下分别绕 y、z 轴转动。如图 3-3b 所示。 三种位移的结果，横截面上任意点(y、z)的位移可以表示为 du du d y d z N z y = − ( ) + ( ) （3-6） 式中第 1 项由整个截面沿 x 方向的位移所引起；第 2、3 两项分别由绕 z 轴和 y 铀的转动所引起，如图 3-4a 和 b 所示。其中， d y 和 d z 为 dz 微段两截面分别绕 y 轴和 z 轴相对转过的角度。 方程(3-6)表明:在 FNx、My、Mz作用下,各点的位移不能是任意的，只能从一个平面协调地移动到另一 平面，故上述方程又称为变形协调方程。 2. 应变分布与应力分布 对于直杆，微段上各处的纵向 x 长度在变形前均为 dx，根据式（3－3）以及 dx = zd z 、dx = yd z ， 由方程（3-6）得到横截面上任意点（x，y，z）的正应变为 z y x N y z dx du = = − + （3-7） (a) (b) 图 3-4
其中, d 一一轴向荷载引起的应 梁轴线在xz坐标平面内弯曲时的曲率半径 O、dx梁轴线在xy坐标平面内弯曲时的曲率半径; 对于确定的截面(x坐标确定,Ex、P,、P2均为待定常数 应用物理关系,根据弹性范围内的胡克定律,由式(3-4)、(3-7),得到横截面上任意点(y、z)处的 为 正应力 E Ea y+—二 (3-8) 上式表明:在轴力和弯矩作用下,杆件横截面上的正应力对于y、z都是线性分布,即在空间形成一 应力平面 3.静力学平衡方程的应用—待定常数的确定 作用在微元面积dA上的内力axdA(图3-5a)及其对y、z轴之矩(xdAz、(OxdA)分别在整个横 截面上积分,便组成三个内力分量FNx、M,、M:(图35b)。即 ∫a dA= F (3-9) (o, dai= i da)y=-M 3-11) 图3-5横截面上应力与内力分量之间的关系 将方程(3-8)代入上述各式,经整理后得到 EAe --+ES F (3-12)
5 其中， dx duN N = ——轴向荷载引起的应变； y y d dx = ——梁轴线在 xz 坐标平面内弯曲时的曲率半径； z z d dx = ——梁轴线在 xy 坐标平面内弯曲时的曲率半径； 对于确定的截面（x 坐标确定）， N 、 y 、 z 均为待定常数。 应用物理关系，根据弹性范围内的胡克定律，由式（3-4）、（3-7），得到横截面上任意点（y、z）处的 正应力为 z E y E E z y x N = − + （3-8） 上式表明：在轴力和弯矩作用下，杆件横截面上的正应力对于 y、z 都是线性分布，即在空间形成一 应力平面。 3. 静力学平衡方程的应用——待定常数的确定 作用在微元面积 dA 上的内力 x dA(图 3-5a)及其对 y、z 轴之矩( x dA)z、( x dA)y 分别在整个横 截面上积分，便组成三个内力分量 FNx 、 M y 、 M z （图 3-5b）。即 x A x dA = FN (3-9) ( ) y A xdA z = M (3-10) ( ) z A xdA y = −M (3-11) 将方程（3-8）代入上述各式，经整理后得到 x y y z EA N ESz ES FN 1 1 + = － （3-12）