第二章杆件内力分析 材料力学教案 教学学时|8 基本内容内力与内力分量,外力与内力的相依关系。 内力图的绘制 教学目的∏、深入理解横截面上内力的概念,内力分量对应的基本变形掌握根 据变形规定的内力正负号规则 2、熟练掌握由截面法导出的由截面一一侧外力求指定截面上的FN Mx、FQ、M的方法(截面一侧外力法)以及由M(x)、Fo(x)、q(x) 的积分关系,求指定截面上FQ、M的面积法。 3、了解控制面的概念,熟练掌握基于平衡微分方程非无限接近两相 邻控制面间内力图变化规律以及无限接近两控制面间内力图突变 的规律。 4、能熟练运用内力图变化的“两个规律”和求指定截面上内力的“两 个方法”正确绘制内力图 重点、难重点:1、求指定截面上内力的两个方法:侧面一侧外力法和面积法 2、内力图变化的两个规律:非无限接近两相邻控制面间内力图变化 规律和无限接近的两控制面间内力图的突变规律。 3、内力图的正确绘制 难点:1、内力符号规则。 2、两无限接近控制面间内力图的突变规律。 教学思路理论讲授与习题讨论相结合。 课外作
第二章 杆件内力分析 ——材料力学教案 教学学时 8 基本内容 内力与内力分量，外力与内力的相依关系。 内力图的绘制 教学目的 1、深入理解横截面上内力的概念，内力分量对应的基本变形,掌握根 据变形规定的内力正负号规则。 2、熟练掌握由截面法导出的由截面——侧外力求指定截面上的 FN、 Mx 、FQ、、M 的方法（截面—侧外力法）以及由 M(x)、FQ(x)、q(x) 的积分关系，求指定截面上 FQ、、M 的面积法。 3、了解控制面的概念，熟练掌握基于平衡微分方程非无限接近两相 邻控制面间内力图变化规律以及无限接近两控制面间内力图突变 的规律。 4、能熟练运用内力图变化的“两个规律”和求指定截面上内力的“两 个方法”正确绘制内力图。 重点、难 点 重点：1、求指定截面上内力的两个方法：侧面—侧外力法和面积法。 2、内力图变化的两个规律：非无限接近两相邻控制面间内力图变化 规律和无限接近的两控制面间内力图的突变规律。 3、内力图的正确绘制。 难点：1、内力符号规则。 2、两无限接近控制面间内力图的突变规律。 教学思路 理论讲授与习题讨论相结合。 课外作业
第二章杆件内力分析 §2-1内力与内力分量 1.内力主矢与主矩 无论杆件横截面上的内力分布如何复杂,总可以将其向该截面某一简化中心简化,得到 主矢和一主矩,二者分别称为内力主矢和内力主矩。 2.内力分量 图2-1a中所示以截面形心为简化中心的主矢F和主矩M。 图2-1a分布内力向截面形心简化的主矢与主矩 与几种基本变形对应的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量。图2-1b中所示的 FN,Fo,f和Mx,M,M2分别为主:和主矩在x、y、z轴三个方向上的分量。其中 FN或F称为轴力,它与杆产生的轴向变形(伸长或缩短)相对应。 y、Fo=称为剪力,二者均与杆件产生的剪切变形相对应 Mx称为扭矩,它与杆件产生的绕杆轴转动的扭转变形相对应。 M,、M.称为弯矩,二者与杆件产生的弯曲变形相对应 FR 图2-1b内力与内力分量
第二章 杆件内力分析 §2-1 内力与内力分量 1. 内力主矢与主矩 无论杆件横截面上的内力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得到 一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。 2. 内力分量 图 2-1a 中所示以截面形心为简化中心的主矢 FR 和主矩 M 。 与几种基本变形对应的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量。图 2-1b 中所示的 FNx FQy FQz , , 和 M x M y M z , , 分别为主矢和主矩在 x、y、z 轴三个方向上的分量。其中： FNx 或 FN 称为轴力，它与杆产生的轴向变形（伸长或缩短）相对应。 FQy、 FQz 称为剪力，二者均与杆件产生的剪切变形相对应。 M x 称为扭矩,它与杆件产生的绕杆轴转动的扭转变形相对应。 M y 、 M z 称为弯矩,二者与杆件产生的弯曲变形相对应。 M MB Mx FR 图 2-1a 分布内力向截面形心简化的主矢与主矩 FR FN FQ 图 2-1b 内力与内力分量
3.内力分量的正负好视定 为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号,不仅要考虑内力分量的 方向,而且要看它作用在哪一侧截面上。于是,上述内力分量的正负号规则约定如下 轴力FN或FN 无论作用在哪一侧截面上,使杆件受拉者为正;受压者为 负 剪力Fo或Fa 使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正:逆时针方向 转动者为负。 弯矩M或M——作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动;或者作用在 右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正;反之为负。 扭矩Mx-—扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正;反之为负。 图2-2为轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定的方向。 FR(+) F(+)FQ(-) M(+) M(+)M) Mr 图2-2轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定
3. 内力分量的正负好规定 为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号，不仅要考虑内力分量的 方向，而且要看它作用在哪一侧截面上。于是，上述内力分量的正负号规则约定如下： 轴力 FNx 或 FN ————无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为 负。 剪力 FQy 或 FQz ————使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向 转动者为负。 弯矩 M y 或 M z ————作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在 右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。 扭矩 MX ————扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。 图 2-2 为轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定的方向。 (+) FN FN FN (−) FN N FN F FQ(+) FQ(+) FQ(–) FQ(–) M(+) M(+) M(–) M(–) 图 2-2 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定
§22外力与内力之间的相依关系 1.弹性体的平衡原理 弹性杆件在外力作用下若保持平衡,则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称 为整体平衡或总体平衡:后者称为局部平衡。这种整体平衡与局部平衡的关系,不仅适用于 弹性杆件而且适用于所有的弹性体,因而称为弹性体平衡原理。 2.截面法 确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。图2-3(a)所示为任意受平衡力系作 用的构件.为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用一假想截面将构件一分为 并弃去其中一部分.将弃去部分对保留部分的作用以力的形式表示,此即该截面上的内力。 根据变形固体均匀、连续的基本假设,截面上的内力是连续分布的。通常将截面上的分布内 力用位于该截面形心处的主矢和主矩来代替。尽管内力的合力是未知的,但其六个内力分量 (空间任意力系)FMx、Fo、Fa2和M,、M、M来表示,如图2-3(b) M 图2-3 3.控制面 为了表明杆件内力的一般规律特引入,一段杆的两个端截面称为控制面。下列截面均可 为控制面:如图2-4所示。 集中力作用点两侧无限接近的截面。 集中力偶作用点两侧无限接近的截面。 分布荷载(集度相同)的起点和终点处截面 图2-4
§2-2 外力与内力之间的相依关系 1. 弹性体的平衡原理 弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称 为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于 弹性杆件而且适用于所有的弹性体，因而称为弹性体平衡原理。 2. 截面法 确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。图 2-3（a）所示为任意受平衡力系作 用的构件.为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用一假想截面将构件一分为二 并弃去其中一部分.将弃去部分对保留部分的作用以力的形式表示,此即该截面上的内力。 根据变形固体均匀、连续的基本假设，截面上的内力是连续分布的。通常将截面上的分布内 力用位于该截面形心处的主矢和主矩来代替。尽管内力的合力是未知的，但其六个内力分量 （空间任意力系） FNx 、 FQy、 FQz 和 M y 、 M z 、 M x 来表示，如图 2-3（b）。 3. 控制面 为了表明杆件内力的一般规律,特引入,一段杆的两个端截面称为控制面。下列截面均可 为控制面：如图 2-4 所示。 集中力作用点两侧无限接近的截面。 集中力偶作用点两侧无限接近的截面。 分布荷载（集度相同）的起点和终点处截面。 x FP1 FP2 FR M Mx My Mz y z FQ z FQ y FN 图 2-3 (b) 图 2-4
4.杆件内力变化的一般规律 应用截面法,不难证明,集中力作用点两侧两个无限接近的控制面剪力将发生突变, 集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩将发生突变。杆件两个相邻的非无限接近的控制面 间的内力将分别按不同的函数规律变化 5.杆件内力变化的一般规律 F(x)、M2(x)和(x)间的微分关系,将进一步揭示载荷、剪力图和弯矩图三者间存 在的某些规律,在不列内力方程的情况下,能够快速准确的画出内力图。 如图2-5(a)所示的梁上作用的分布载荷集度q(x)是x的连续函数。设分布载荷向上为正, 反之为负,并以A为原点,取x轴向右为正。用坐标分别为x和x+dx的两个横截面从梁上 截出长为dx的微段,其受力图如图2.5(b)所示 M(x)+d M(x) Fc Fo+d Fo 图2-5 由∑F=0F0(x)+小x)-|(x)+dF0(x)=0 解得 dFo(x) 由∑m2=0-M:(x)-F0(x)x-9(x))+[M2(x)+dM2(x)=0 略去二阶微量x)d解得F.(x-dM() 将式(2-2)代入式(2-1)得 q(x)=d-M (2-3) 式(7-1)、(7-2)和(7-3)就是荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系。由此可知q(x)和F( 分别是剪力图和弯矩图的斜率。 根据上述各关系式及其几何意义,可得出画内力图的一些规律如 (1)q=0:剪力图为一水平直线,弯矩图为一斜直线 (2)q=常数:剪力图为一斜直线,弯矩图为一抛物线
4. 杆件内力变化的一般规律 应用截面法，不难证明，集中力作用点两侧两个无限接近的控制面剪力将发生突变， 集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩将发生突变。杆件两个相邻的非无限接近的控制面 间的内力将分别按不同的函数规律变化。 5. 杆件内力变化的一般规律 F (x) Q 、 M (x) Z 和 q(x) 间的微分关系，将进一步揭示载荷、剪力图和弯矩图三者间存 在的某些规律，在不列内力方程的情况下，能够快速准确的画出内力图。 如图 2-5(a)所示的梁上作用的分布载荷集度 q(x) 是 x 的连续函数。设分布载荷向上为正， 反之为负，并以 A 为原点，取 x 轴向右为正。用坐标分别为 x 和 x + dx 的两个横截面从梁上 截出长为 dx 的微段，其受力图如图 2-5 (b)所示。 由 FY = 0 FQ (x)+ q(x)dx − FQ (x)+ dFQ (x) = 0 解得 ( ) ( ) dx dF x q x Q = (2-1) 由 mC = 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 2 1 2 − M z x − FQ x dx − q x dx + M Z x + dM Z x = 略去二阶微量 ( )( ) 2 2 1 q x dx 解得 ( ) ( ) dx dM x F x Z Q = (2-2) 将式(2-2)代入式(2-1) 得 ( ) ( ) 2 2 dx d M x q x z = (2-3) 式(7-1)、(7-2)和(7-3)就是荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系。由此可知 q(x) 和 F (x) Q 分别是剪力图和弯矩图的斜率。 根据上述各关系式及其几何意义，可得出画内力图的一些规律如下： （1） q=0 ： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 （2） q=常数：剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 图 2-5 FQ FQ +d FQ Mz(x) Mz(x)+d Mz(x) x y O dx q(x) (b) C