第六章弹性杆件位移分析 材料力学教案 学4学时 变形与位移的相依关系 奇异函数及其在确定梁位移中的应用 叠加法 1掌握弹性杆的变形位移的概念和基本公式 2.了解奇异函数及其在确定梁位移中的应用。 3.掌握工程计算中的叠加法 重重点:1)弹性杆件变形与位移和计算 2)工程计算中的叠加法 和 难难点:间断性分布荷载和组合受力时的叠加法。 教「1.叠加法应用于弹性支撑的情形一一逐段刚化法 方法2.讲授过程中在适当地方安排课堂讨论
1 第六章 弹性杆件位移分析 ————材料力学教案 学 时 4 学时 基 本 内 容 变形与位移的相依关系 奇异函数及其在确定梁位移中的应用 叠加法 教 学 目 的 1.掌握弹性杆的变形,位移的概念和基本公式。 2.了解奇异函数及其在确定梁位移中的应用。 3.掌握工程计算中的叠加法。 重 点 和 难 点 重点：1）弹性杆件变形与位移和计算。 2）工程计算中的叠加法。 难点：间断性分布荷载和组合受力时的叠加法。 教 学 方法 1．叠加法应用于弹性支撑的情形——逐段刚化法。 2．讲授过程中在适当地方安排课堂讨论。 作业
第六章弹性杆件位移分析 §6-1变形与位移的相依关系 1.微段变形——应力分析中得到的结论 根据第3章和第4章的分析。得到与Fx、Mx、M,和M对应的杆件微段的变形分 别由图6-1a、b、c中的表达式确定 EA F F dx dr+duN M M d M 同理 M 1 图6-1 2
2 第六章 弹性杆件位移分析 §6-1 变形与位移的相依关系 1. 微段变形——应力分析中得到的结论 根据第 3 章和第 4 章的分析。得到与 FNx 、 M x 、 M y 和 M z 对应的杆件微段的变形分 别由图 6-1a、b、c 中的表达式确定。 dx+duN x u EA F d d N N N N = , = x EA F du d N N = (a) d P d GI M x x = y y y EI M = 1 z z z EI M = 1 (b) (c) 同理： dx GI M d P x = 图 6-1
F 式6-1分别为微段的各种基本变形与对应的内力之间的关系 2.总体变形与横截面位移 在小变形情形下,与F、M,、M,和M对应的变形和位移都是相互独立的,因而 可以单独加以分析和计算。 1)拉压杆的轴向变形与轴向位移 图6-2所示承受轴向荷载作用但无约束的杆件,采用积分和叠加方法,由式(61)得到对 应于图6-2a、b、c所示的三种情形下杆件两端截面的相对位移,亦即杆件的总轴向变形的 计算示为 (a) 图6-2 du=FN dx△l=loy=dr (6-2) EA 上述无约束杆件,在空间的位置不确定,因而无法确定杆件横截面的位移。只有确定了 杆件在空间的位置,才能确定杆件横截面的位移。 2)梁的弹性曲线与梁的挠度和转角
3 x GI M x d d P = x EI M y d y d y = （6-1） x EI M z d z d z = 式 6-1 分别为微段的各种基本变形与对应的内力之间的关系。 2. 总体变形与横截面位移 在小变形情形下，与 FNx 、M x 、M y 和 M z 对应的变形和位移都是相互独立的，因而 可以单独加以分析和计算。 1）拉压杆的轴向变形与轴向位移 图 6-2 所示承受轴向荷载作用但无约束的杆件，采用积分和叠加方法，由式(6-1)得到对 应于图 6-2a、b、c 所示的三种情形下杆件两端截面的相对位移，亦即杆件的总轴向变形的 计算示为 x EA F du d N N = = → = l l x EA F l u 0 N Δ 0 d （6-2） 上述无约束杆件，在空间的位置不确定，因而无法确定杆件横截面的位移。只有确定了 杆件在空间的位置，才能确定杆件横截面的位移。 2）梁的弹性曲线与梁的挠度和转角 x EA F du d N N = 图 6-2 (a) (b)
梁在弯矩(M或M)的作用下发生弯曲变形为叙述简便起见,以下讨论只有一个方向弯 矩作用的情形,并略去下标,只用M表示弯矩所得到的目结果适用于M或M2单独作用的情 形 图6-3a所示的梁的变形,若在弹性范围内加载,梁的曲线在梁弯曲后变成一连续光滑 曲线,如图6-3b所示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线,或挠度曲线,简称弹性线或挠曲 线 梁在弯曲变形后,其横截面的位移包括三部分 挠度w一一横截面形心处的铅垂位移; 转角0一一横截面相对于变形前的位置绕中性轴转过的角度 水平位移u一一横截面形心沿水平方向的位移。 0(x) (x) 图6-3 图6-3b 在小变形情形下,上述位移中u与w相比为高阶小量,故通常不予考虑。 图6-4a、b、c所示三种承受弯曲的梁,在这三种情形下,AB段各横截面都受有相同 的弯矩(M=Fpa)作用 (b) 图6-4 根据式(6-1),在上述三种情形下,AB段梁的挠曲线具有相同的形状,即曲率(l/p)处处 对应相等。但是,由于约束不同,梁的位移则不完全相同。对于图6-4a所示的无约束梁 因为其在空间的位置不确定,故无从确定其位移
4 梁在弯矩(My 或 Mz)的作用下发生弯曲变形,为叙述简便起见,以下讨论只有一个方向弯 矩作用的情形,并略去下标,只用 M 表示弯矩,所得到的目结果适用于 My 或 Mz单独作用的情 形。 图 6-3a 所示的梁的变形，若在弹性范围内加载，梁的曲线在梁弯曲后变成一连续光滑 曲线，如图 6-3b 所示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线，或挠度曲线，简称弹性线或挠曲 线。 梁在弯曲变形后,其横截面的位移包括三部分 挠度 w 一一横截面形心处的铅垂位移； 转角 θ 一一横截面相对于变形前的位置绕中性轴转过的角度； 水平位移 u 一一横截面形心沿水平方向的位移。 在小变形情形下，上述位移中 u 与 w 相比为高阶小量，故通常不予考虑。 图 6-4a、b、c 所示三种承受弯曲的梁，在这三种情形下，AB 段各横截面都受有相同 的弯矩(M= FP a)作用。 根据式(6-1)，在上述三种情形下,AB 段梁的挠曲线具有相同的形状，即曲率(1/ρ)处处 对应相等。但是，由于约束不同，梁的位移则不完全相同。对于图 6-4a 所示的无约束梁， 因为其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。 图 6-3a 图 6-3b 图 6-4
小挠度情形下=m0=0<≤0,(a/<0 dx 应用式曲线的曲率公式 以及 (6-4) 在小变形情况下,上示变为 d 即为确定梁的挠度和转角的微分方程称为小挠度微分方程。式中正负号与坐标取向有关 如图6-5所示,图6-5a取正号,图6-5b取负号。 M>0 M>0 图6-5 若采用图6-5b所示坐标系统,则上式为 d-w M (6-6) 需要指出的是剪力对梁的位移有影响,但对于细长梁,这种影响很小,可以忽略不计, 3)圆轴扭转变形与相对扭转角 对于传递功率的圆轴。大多数没有限制其绕轴线转动的固定约束,故均采用“相对位 移”概念,即一截面相对于另一截面绕轴线转过的角度,称为相对扭转角 应用(6-1)第二式,通过积分,可得图6-6a、b、c的圆轴相对扭转角表达式 (6-7) 91=9c+9+DB=∑
5 小挠度情形下 = tan = dx dw << 0 ， 2 d d x w << 0 应用式曲线的曲率公式： 2 3 2 2 2 d d 1 d d 1 + = x w x w （6-3） 以及 EI M = 1 （6-4） 在小变形情况下，上示变为 EI M x w = 2 2 d d （6-5） 即为确定梁的挠度和转角的微分方程,称为小挠度微分方程。式中正负号与坐标取向有关， 如图 6-5 所示，图 6-5a 取正号，图 6-5b 取负号。 若采用图 6-5b 所示坐标系统，则上式为 EI M x w = − 2 2 d d （6-6） 需要指出的是剪力对梁的位移有影响，但对于细长梁，这种影响很小，可以忽略不计。 3）圆轴扭转变形与相对扭转角 对于传递功率的圆轴。大多数没有限制其绕轴线转动的固定约束，故均采用“相对位 移”概念，即一截面相对于另一截面绕轴线转过的角度，称为相对扭转角。 应用（6-1）第二式，通过积分，可得图 6-6a、b、c 的圆轴相对扭转角表达式： GIP M l x AB = （6-7） = = + + = n i P xi i AB AC CD DB GI M l 1 （6-8） 图 6-5