薛定谔方程及其 简单应用
1 薛定谔方程及其 简单应用
经典力学中,已知力F及x、10,可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。 在量子力学中,微观粒子的运动状态由波函数来 描写;状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年,薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上,提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律。 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时,以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 薛定谔方程 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程, 它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方 程
2 经典力学中，已知力 F 及 x0、v0，可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 一、薛定谔方程 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程， 它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方 程。 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律
这个方程还应满足以下两个条件:(1)方程是 线性的,即如果v1和v2都是这方程的解,那么v1和v2 的线性迭加(av1+bv2)也应是方程的解。这是由态 迭加原理决定的;(2)这个方程的系数不应包含状 态的参量,如动量、能量等。否则方程只能被粒子的 部分状态所满足,不能被各种可能的状态所满足 1自由粒子的薛定谔方程 动量为P、质量为m、能量为E的自由粒子,沿 x轴运动的波函数为: (Et-px) y(x, t)=voe 对时间求微商,得到: ap(x,t) i A:-niF(x,)① ee h at
3 ( ) 0 ( , ) Et px i x t e − − = 动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴运动的波函数为： 1.自由粒子的薛定谔方程 这个方程还应满足以下两个条件：（1）方程是 线性的，即如果1和2都是这方程的解，那么1和2 的线性迭加（a1 +b2）也应是方程的解。这是由态 迭加原理决定的；（2）这个方程的系数不应包含状 态的参量，如动量、能量等。否则方程只能被粒子的 部分状态所满足，不能被各种可能的状态所满足。 对时间求微商，得到： ( , ) ( , ) ( ) 0 E x t i E e i t x t E t p x i = − = − − − ①
aY(x, t)_-L Ee h (Et-px) Ep(x, t) at 对x求二阶偏导 (Et-px) y(x, t=yoe h op(x, t)i (Et-px) 方 ax 方 a-p(,t 2 0已点 (Et-px) 平(x,1)② 当粒子速度远小于光速c时(v<<c)自由粒子的动量 和能量满足以下关系:np2 E 2m 比较以上三式,可得:;3HY(x,1)h202平(x,) at 2 ax
4 对 x 求二阶偏导 ① ② ( , ) ( , ) ( ) 0 E x t i E e i t x t E t p x i = − = − − − ( , ) ( , ) ( ) 0 p x t i p e i x x t E t p x i = = − − ( ) ( , ) ( , ) 2 ( ) 0 2 2 2 x t p e ip x x t E t p x i = = − − − 当粒子速度远小于光速c时（v<<c）自由粒子的动量 和能量满足以下关系： m p E 2 2 = ③ ( ) 0 ( , ) Et px i x t e − − = 比较以上三式，可得： 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) x x t t m x t i = − ④
i ap(, t) h ap(, t) at 2m ax2 这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。 2薛定谔方程的一般形式 若粒子不是自由的,而是在某力场中运动,其 势能函数为Ep=U(x,t),则粒子的总能量应为 E D +U/(x,t) 2m 此时的薛定谔方程为: ap(x, *) h a-p(x, t) +U(x,t)H(x,t)⑤ at 2m a
5 这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。 此时的薛定谔方程为： 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) x x t t m x t i = − 若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其 势能函数为EP＝Ｕ(x,t)，则粒子的总能量应为： ( , ) 2 2 U x t m p E = + ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2 2 2 U x t x t x x t t m x t i + = − ④ ⑤ 2.薛定谔方程的一般形式