维普资讯htp:/www.cqvip.com 2004年第6期 山东教育学院学报 总第106期 利用几何画板研究黑体辐射能量密度分布曲线 吴兰芳,牟其善,官文栎 (山东教育学院数理系,山东济南250013) 摘要:利用几何画板软件,对黑体辐射能量密度分布曲线进行模拟研究:设计了一种“参数替换法",根据普朗克公式,給 出了各种温度下分别以频率和波长为横坐标的黑体輻射能量密度分布曲线:通过对各个参数的连续调节,可以动态地深入研 究黑体辐射的能量密度分布曲线与各个参数的关系,并且对维恩位移定律和斯忒藩一玻耳兹曼定律也給岀了直观的定量验证 关键词:几何画板;黑体辐射能量密度分布曲线;“参数替換法 中图分类号:0571文献标识码:A文章编号:10082816(2004)06097-02 1问题的提出 如果将以上三个常数代入公式(1)中,只的值非常小 黑体辐射问题研究的是当黑体在不同的温度下所辐射计算机不予响应,作图遇到很大困难。为解决此问题,我们 的能量密度按频率(或波长)的分布。在近代物理中,黑体设计了一种“参量替换法”,将(1)式改写为 辐射问题一直备受人们的关注。经典物理对黑体辐射问题 =DE·101·3 的计算,导致著名的“紫外灾难”。普朗克正是在对该问题 的研究中,迈出了创建量子理论的第一步。1964年5月 美国贝尔试验室的威尔逊和彭齐亚斯在无意中接收到来历即将常量替换为DE10,将k替换为DF10°。其中将 不明的无线电噪声信号,后来被认证是宇宙的背景辅射最DB、DF、A、B四个参数设置为四条线段的长度值。用鼠标 近美国宇航局发射的COBE卫星对“宇宙微波背景辐射”的拖动方法连续地调节四条线段的长度,可以动态地大幅度 精密测量,发现大爆炸的余烬、宇宙背景光子的分布,准确改变式(1)参数的值,从而有效地将图象设置在可视界面 地符合27K的黑体辐射分布曲线。利用维恩位移定律和内,在坐标图中得到最满意的函数图形。另外,我们取了四 斯忒藩一玻耳兹曼定律来测量高温物体的温度,迄今在高个不同的温度值T、T2T3、T(T1>T>T>T),得到四条不 科技领域中也占有一席之地2。 同的能量密度分布曲线,如图1所示,也可将温度值设置为 由于黑体辐射公式比较复杂,式中常数比较繁琐,采用可变量,调节温度的大小,能量密度分布曲线便会动态地连 编程的方法演示黑体辐射能量密度分布曲线是一件很麻烦续变化。这样便于我们定量研究能量密度分布曲线与温度 的事情,即使用 Flash、 Authorware等专用软件,也是相当费T的关系。 时费力的。我们利用几何画板软件强大的动态数学模拟运2.2辐射能量密度分布曲线按波长的分布 算能力,特别是设计了一种“参数替换法”给出了各种温度 黑体辐射能量密度按波长的分布公式为 下分别以频率和波长为横坐标的黑体辐射能量密度分布曲 线及其相对于各个参数的变化规律,并且定量地研究了维 e点 恩位移定律和斯忒藩一玻耳兹曼定律 若想利用普通方法得到该公式直观满意的分布曲线更加困 2黑体辐射能量密度分布曲线的模拟与研究 难。还是利用图1中使用的”参数替换法”将公式(2)改写为 2.1黑体辐射能量密度分布曲线按频率的分布 104 普朗克在引进能量子假说后,用内差法得到了与实验 结果符合得很好的黑体辐射能量密度按频率的分布公式 即用DG104替换8mh,用DH·10替换x,其中DG、DH A、B也为四个可以调节大小的数值。同样取了四个可以 式中普朗克常数h=6.626×10-焦耳·秒,光速c=2.998调节大小的温度值TT2、T3、T,使T1>T2>T3>T,绘出四 105米/秒,玻尔兹曼常数k=1.381×10-23焦耳/度。 条能量密度按波长的分布曲线,如图2所示。 收稿日期:200409-10 作者简介:吴兰芳(1978—),女,山东临沂人,中学二级教师
2004年第6期 山 东 教 育 学 院 学 报 总第 106期 利用几何 画板研究黑体辐射能量密度分布 曲线 吴兰芳， 牟其善 ， 官文栎 (山东教育学院数理 系， 山东 济南 250013) 摘要 ：利用几何画板软件，对黑体辐射能量密度分布曲线进行模拟研究。设计了一种“参数替换法”，根据普朗克公式。给 出了各种温度下分别以频率和波长为横坐标的黑体辐射能量密度分布曲线。通过对各个参数 的连续调节，可以动态地深入研 究黑体辐射的能量密度分布曲线与各个参数的关 系，并且对维恩位移定律和斯忒藩一玻耳兹 曼定律也给 出了直观的定量验证： 关键词 ：几何画板；黑体辐射能量密度分布曲线；“参数替换法” 中图分类号 ：O571 文献标识码：A 文章编号：l008—28l6(2oo4)o6—oo97—02 1 问题的提 出 黑体辐射问题研究的是当黑体在不同的温度下所辐射 的能量密度按频率 (或波长)的分布。在近代物理中，黑体 辐射问题一直备受人们的关注。经典物理对黑体辐射问题 的计算 ，导致著名的“紫外灾难”。普 朗克正是在对该 问题 的研究中，迈 出了创建量子理论的第一步 j。1964年 5月， 美国贝尔试验室的威尔逊和彭齐亚斯在无意中接收到来历 不明的无线电噪声信号 ，后来被认证是宇宙的背景辅射 ，最 近美 国宇航局发射 的 COBE卫星对“宇宙微波背景辐射”的 精密测量 ，发现大爆炸 的余烬 、宇宙背景光子的分布 ，准确 地符合 2．7K的黑体辐射分布曲线。利用维恩位移定律和 斯忒藩一玻耳兹曼定律来测量高温物体的温度，迄今在高 科技领域中也占有一席之地E2J。 由于黑体辐射公式比较复杂 ，式 中常数比较繁琐 ，采用 编程的方法演示黑体辐射能量密度分布曲线是一件很麻烦 的事情 ，即使 用 Flash、Authorware等专用 软件 ，也是相 当费 时费力的。我们利用几何画板软件强大的动态数学模拟运 算能力 ，特别是设计了一种“参数替换法”，给出了各种温度 下分别以频率和波长为横坐标的黑体辐射能量密度分布曲 线及其相对于各个参数的变化规律 ，并且定量地研究了维 恩位移定律和斯忒藩一玻耳兹曼定律。 2 黑体辐射能量密度分布曲线的模拟与研究 2．1 黑体辐射能量密度分布曲线按频率的分布 普朗克在引进能量子假说后 ，用 内差法得到 了与实验 结果符合得很好的黑体辐射能量密度按频率的分布公式 ： = ‘ ㈩ 式中普朗克常数 h=6．626×10一 焦耳 ·秒，光速 c=2．998 ×lo8米／秒 ，玻尔兹曼常数 k=1．381×10一∞焦耳／度。 收稿 日期 ：2Oo4—O l0 作 者简 介 ：吴 兰芳 (1978一 )，女 ，山东 临沂 人 ，中学 二级 教师 。 如果将 以上三个常数代入公式 (1)中，p的值非 常小 ， 计算机不予响应 ，作图遇到很大困难。为解决此问题 ，我们 设计 了一种“参量替换法”，将(1)式改写为 ： = DE·10 _ e—1 一 一 l 即将常量 替换为DE·10，将睾替换为DF·l0：其中将 DB、DF、A、B四个参数设置为四条线段的长度值。用鼠标 拖动方法连续地调节四条线段的长度，可 以动态地大幅度 改变式(1)参数 的值，从而有效地将 图象设置在 可视界面 内，在坐标图中得到最满意的函数图形。另外，我们取 了四 个不同的温度值 TI、T1、T3、 (TI>T2>T3> )，得到四条不 同的能量密度分布曲线 ，如图 1所示 ，也可将温度值设置为 可变量，调节温度的大小 ，能量密度分布曲线便会动态地连 续变化。这样便于我们定量研究能量密度分布曲线与温度 T的关 系。 2．2 辐射能量密度分布曲线按波长的分布 黑体辐射能量密度按波长的分布公式为 = ‘ 若想利用普通方法得到该公式直观 、满意的分布曲线更加 困 难。还是利用图 1中使用的“参数替换法”，将公式(2)改写为： DG ·10 1 丁 ‘DH．IOB 即用 DG·10 替换 8~rhc，用 DH·10 替换竿 ，其中 DG、DH、 A、B也为四个可以调节大小的数值。同样取 了四个可 以 调节大小的温度值 TI、T2、T3、T4，使 Tl>T2>T3> ，绘出四 条能量密度按波长的分布曲线 ，如图 2所示： 维普资讯 http://www.cqvip.com
维普资讯htp:/www.cqvip.com 吴兰芳等:利用几何画板研究黑体辐射能量密度分布曲线 2004年第6期 EDt a称为斯忒藩一玻耳兹曼常数 表1各温度下曲线峰值点的实测数值 2.06 17.30 17 下面我们再利用几何画板软件直接验证此定律 几何画板软件中设有计算多边形面积的功能:我们在 黑体辐射能量曲线上取多个点,就可以用相应的多边形面 积来逼近黑体辐射曲线下所包围的面积,从而给出黑体辐 图1以频率为横坐标的黑体辐射能量密度分布曲线 射的总能量值。图3所示为变量T取8.09时,黑体辐射能 量密度按波长分布的模拟曲线。曲线下面灰色图形的面积 代表T取809时黑体辐射的总能量值E=67.31:此时 0.02。调节T的大小,模拟曲线连续地上下跳动,曲线下 面的面积也相应地连续增加或减少,但与T的比值始终为 0.02。也就是说,黑体辐射的总能量与温度T的4次方成 正比。 115A=189A1·Tl=1730 B32327.1.789)A3:233A3.T3=1730 630097)A4=263A4·T4=1730 E=67.31 图2以波长为横坐标的黑体辐射能量密度分布曲线 图 图中横坐标是辐射波长,纵坐标是用波长来表示的黑体辐 射能量密度p(λ,T) 2.3维恩位移定律和斯忒藩一玻耳兹曼定律的验证 从理论上可以知道,能量分布曲线下的面积代表黑体 图3斯忒藩一玻耳兹曼定律的验证 辐射总能量E:由图2可以看出,黑体辐射总能量E随温 在用频率表示的黑体辐射能量密度分布曲线图中,用 度T单调地增加,而能谱的峰值随T的增加向短波方向移同样的方法也可验证斯特藩一玻耳兹曼定律在此不再重 动:这两个性质,分别由两条著名的实验定律斯忒藩一玻复 耳兹曼定律和维恩位移定律来描述。下面我们利用几何画3总结 板工具对这两个定律分别加以研究 通过以上讨论看出,利用几何画板软件和我们创立的 )维恩位移定律 参数替换法”,可以精确方便地模拟黑体辐射能量密度分 维恩位移定律的表述为:能量密度极大值所对应的波布曲线,并且给出能量分布曲线随各个参数变化的动态关 长λ。与温度值T成反比。即 系。特别是由此成功地验证维恩位移定律和斯特藩一玻耳 λn·T=b 兹曼定律说明我们对黑体辐射能量密度分布曲线的模拟 式中b为普适常数 是一种很理想的定量模拟:利用几何画板软件作图只需单 利用几何画板软件我们可以对此定律给出直观的验证 独生成一个简单的几何画板文件(,p)即可,不必要像有 在黑体辐射能量密度按波长分布的图2中,各温度下些模拟方法一样要做成工程软件的形式,这对没有编程经 曲线峰值点的实测数值如表1所 验的人来说是很好的选择,这不但撇开了数值计算的繁琐 由表1可知能量密度极大值所对应的波长λ与温度而且又提供了形象的可动态变化的函数图形 值T的乘积确为常数,亦即二者成反比。 2)斯忒藩一玻耳兹曼定律 参考文献: 斯忒藩一玻耳兹曼定律表述为:黑体辐射的总能量与11周世勋,量子力学教程M,北京:高等教育出版社19两,5 绝对温度T的4次方成正比。即 2]王正行.近代物理学[M].北京大学出版社,1995.285
‘ 98‘ 吴兰芳等 ：利用几何画板研究黑体辐射能量密度分布曲线 2oo4年第 6期 图 1 以频率为横坐标的黑体辐射能量密度分布 曲线 图 2 以波长为横坐标的黑体辐射能量密度分布 曲线 图中横坐标是辐射波长，纵坐标是用波长来表示 的黑体辐 射能量密度 ( ，T)： 2．3 维恩位移定律和斯忒藩一玻耳兹曼定律的验证 从理论上可以知道 ，能量 分布 曲线下 的面积代表黑体 辐射总能量 E：由图 2可以看出 ，黑体辐射总能量 E随温 度 T单调地增加 ，而能谱的峰值随 T的增加向短波方 向移 动 这两个性质 ，分别 由两条著名 的实验定律斯忒藩一玻 耳兹曼定律和维恩位移定律来描述。下面我们利用几何画 板工具对这两个定律分别加以研究。 (1)维恩位移定律 维恩位移定律的表述为 ：能量密度极大值所对应 的波 长 与温度值 T成反比。即 · T = b 式 中 b为普适常数 利用几何画板软件我们可以对此定律给出直观的验证： 在黑体辐射能量密度按波长分布的图 2中 ，各温度下 曲线峰值点的实测数值如表 1所示： 由表 1可知 ，能量密度极大值所对应 的波长 与温度 值 T的乘积确 为常数 ，亦即二者成反 比。 (2)斯忒藩一玻耳兹曼定律 斯忒藩一玻耳兹曼定律表述为：黑体辐射的总能量与 绝对温度 T的 4次方成正比。即 E ： d a称为斯忒藩一玻耳兹曼常数 表 1 各温度下曲线峰值点的实测数值 下面我们再利用几何画板软件直接验证此定律 ： 几何画板软件中设有计算多边形面积的功能：我们在 黑体辐射能量曲线上取多个点 ，就可以用相应的多边形面 积来逼近黑体辐射 曲线下所包 围的面积，从而给出黑体辐 射的总能量值 。图 3所示为变量 T取 8．09时，黑体辐射能 量密度按波长分布的模拟曲线。曲线下面灰色图形的面积 代表 T取 8．09时黑体辐射的总能量值 E=67．31：此时．』 ’ = 0．02。调节 T的大小，模拟曲线连续地上下跳动 ，曲线下 面的面积也相应地连续增加或减少 ，但 与 rI4的比值始终 为 0．02。也就是说，黑体辐射的总能量与温度 T的 4次方成 正比 图 3 斯忒藩一玻耳兹曼定律的验证 在用频率表示的黑体辐射能量密度分布曲线 图中，用 同样的方法也可验证斯特藩一玻耳兹曼定律．在此不再重 复。 3 总结 通过以上讨论看出，利用几何画板软件 和我们创立的 “参数替换法”，可以精确方便地模拟黑体辐射能量密度分 布曲线 ，并且给出能量分布 曲线随各个参数变化的动态关 系。特别是由此成功地验证维恩位移定律和斯特藩一玻耳 兹曼定律 ，说明我们对黑体辐射能量密度分布曲线 的模拟 是一种很理想的定量模拟：利用几何画板软件作图只需单 独生成一个简单 的几何画板文件 (．gsp)即可 ，不必要像有 些模拟方法一样 ．要做成工程软件的形式 ，这对没有编程经 验的人来说是很好的选择 ，这不但撇开了数值计算 的繁琐 ， 而且又提供了形象的 、可动态变化的函数图形。 参考文献： [1] 周世勋 ．量子力学教程 M]．北京：高等教育出版社．1979，5 [2] 王正行 ．近代物理学 M ．北京大学出版社 ，1995，285． 维普资讯 http://www.cqvip.com