式中,等号左边的物理量体现了粒性,等号右边的物理量体现了波性,而联系波性和粒性的纽 带是 Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式: n7℃ 知①、②、④和⑤四步都是正确的。 微粒波的波长λ服从下式: 式中,是微粒的传播速度,它不等于微粒的运动速度v,但的中用∫λ=e/,显然是错的。 在④中,E=h无疑是止确的,这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能,则⑤也不 正确。 【1,7】子弹(质量为0.01kg,速度1000m·s1)尘埃(质盘109kg,速度10m·s-1)、作布 朗运动的花粉(质量1013kg,速度1m·s-)、原子中电子(速度1000m·s-1)等,速度的不确 定度均为速度的10%,判断在确定这些质点位駑时,不确定度关系是否有实际意义? 解:按不确定度关系,诸粒子坐标的不确定度分别为: 子弹:△E=h 6.626×10-J·s m·v0.01kg×1000×10%m·s-1 =6.63×1034m 尘埃:△x 5.626×10~J m·△u10-kg×10×10%m·s 6.63×1025m 花粉:△x h6.626×103J △v103kg×1×10%m 6.63×1020m 6.626×10.J·s 电子:a=m·△9.109×103kg×103×10%m,s 7.27×10-●m 由计算结果可见,前三者的坐标不确定度与它们各自的大小相比可以忽略。换言之,由不 确定度关系所决定的坐标不确定度远远小子实际测嵫的精确度〔宏观物体准确到10-8m就再 好不过了)。即使质量最小、运动最慢的花粉,由不确定度关系所决定的△x也是微不足道的。 此即意味着,子弹、尘埃和花粉运动中的波性可完全忽略,其坐标和动量能同时确定,不确定度 关系对所讨论的问题实际上不起作用。 而原子中的电子的情况截然不同。由不确定度关系所决定的坐标不确定度远远大于原子 本身的大小(原子大小数量级一般为几十到几百个pm),显然是不能忽略的,即电子在运动中 的波动效应不能忽略,其运动规律服从量子力学,不确定度关系对讨论的问题有实际意义。 由此可见,不确定度关系为检验和判断经典力学适用的场合和限度提供了客观标准。凡是 可以把 Planck常数看作零的场合都是经典场合,粒子的运动规律可以用经典力学处理;凡是 不能把 Planck常数看作零的场合都是量子场合,微粒的运动规律必须用壎子力学处理。 1.8】电视机显像管中运动的电子,假定加速电压为1000V,电子运动速度的不确定度△v 为速度的10%判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响? 解:在给定加速电压下,由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为 h m7√2elm×10% 2mpv×10%
6.626×10-J…s×10 √2×9.109×10-kg×1.602×10C×1oV 3.88×10-10m 这坐标不确定度对于电视机(即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机荧光屏的大小来说,完 全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此,电子的波性对电视机荧光屏上成像 无影响 【1.9】试用不确定度关系说明光学光栅(周期约10-6m)观察不到电子衍射(若用10000V电 压加速电子)。 解:根据不确定度关系,电子位置的不确定度为 △x h h=1.226×109 1.226×10- √10000 1.226×1 这不确定度约为光学光栅周期的10-5倍,即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅 周朔的10倍,显然,用光学光栅观察不到电f衍射。 亦可作如下理解:若电子位置的不确定度为10-6m,则由不确定度关系决定的动量不确 定度为 h6.626 =6.626X10-28J·s·m1 在104V加速电压下,电子的动量为: Pr= mu=12meV =√2X9.109×10-kg×1.602×10-1C×10V 5.402×10-2J·s·m-1 由△p和p估算出现第一衍射极小值的偏离角为 A- arcsine= arcsin apr pr s arcsin 6.626×10-28 5.402×10-23J·s·m-1 亠 arcsin10-5 这说明电子通过光栅狭缝后“沿直线前进,落到同一个点上”。因此,用光学光栅观察不到电子 衍射。 【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符。 d 2'dr'dx210B,Sn,v . 解:由线性算符和线性自轭算符的定义知 dd dr'dz 为线性算符,而in为线性自轭算符
11y=xe-是算符(2-42x2}的本征函数,求本征值 解:应用量子力学基本假设I(算符)和1(本征函数、本征值和本征方程),得: d 2 dx2 d e )-4a2rde 6d 因此,本征值为一6a。 1.12】下列函数哪几个是算符的本征函数?若是,求出本征值。 e, sinx, 2cosr',I', sint +cosx 解 l×e',e是,的本征函数,本征值为1 dx2inx=-1xsnx,sinx是d2的本征函数,本征值为-1 2cosx=-2cosx,2cosx是A2的本征函数,本征值为1; x2=6x≠x2,2不是的本征函数 dx2 (sinx+cosx)=-(sinr+cosx),sinx+cosx是↓的本征函数,本征值为1 【:13c“和0对算符1d是否为本征函数?若是求出其本征值 解 所以e"“是算符i4的本征函数,本征值为-m。 而 1 coSm单=i(一sinm中)*m=- -lysin≠cosm中 所以cosm不是算符i的本征函数。 【1.14】试证明在一维势箱中运动的各粒子的波函数互相正交。 证:在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为: y(x)= visin ATx 0<x<!n=1,2,3 令n和n表示不同的量子数,积分 fn(x)n (r)dr stn
sIn dx sIn (n±n)丌 n)丌 SIn n (n+ n')ac (n-n)丌 (n+n) n和n皆为正整数,因而(n-n)和(n+n)皆为整数,所以积分; Sn (x) n(rdr=0 根据定义,(x)和yn(x)互相正交。 1.15】已知一维势箱中粒子的归一化波函数为: 式中l是势箱的长度,x是粒子的坐标(0<x<l)。计算: (a)粒子的能量; b)粒子坐标的平均值 (c)粒子动量的平均值。 解 (a)由于已经有了箱中粒子的归一化波函数,可采用下列两种方法计算粒子的能量: ①将能量算符直接作用于波函数,所得常数即为粒子的能量: y(x)= h2 d2 8n'm dr2 87m dx nTt. ntT 82 sin n式 n 即 E ②将动量平方的算符作用于波函数,所得常数即为p2 y2(x) h2 d2 4 dx SIn 2 fn (x)
'h p 4Z2 将此式代入粒子的能量表达式,得: E-Tv 72 若不知道粒子的波函数,则可采用下列两种方法求算能量: ①解箱中粒子的 Schrodinger方程,在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表 达式。若只求粒子最低能量(零点能)的近似值,则亦可根据变分法的思想选=xl-x2为变 分函数,用式 y Hadr 进行计算,所得结果是用上述能级表达式计算所得结果的1.0132倍 ②根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件[y(0) yn()=0],箱长应该等于半波长的整数倍即 7 将此式代入 de broglie关系式,得: 将此式代入粒子能量的一般表达式,得 E=t+v= t nh 读者可根据一维箱中粒子的能级表达式,分析En及△En随n,m及l等的变化关系,从而 加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。 (b)由于全中(x)≠cyn(x),全无本征值,只能求粒子坐标的平均值: (x)=y(x)虫(x)dx nIt.r sIn S】n n丌zd n27. .sin 1…cos(2nxx/l)1