新的位置,占据截面1′-1和2-2之间的空间。在稳定流动中,在截面11和2-2之 间的空气状态保持不变。这时所划出的气体质量的动量矩差(即截面1′-1及2′-2内的 气体动量矩和截面1-1及2-2内的气体动量矩之差),等于截面2-2及2′-2′和截面1-1及 1′-1′内气体质量的动量矩差。而柱在稳定流动时,截面2-2及2′-2之间的空气质量和截 面]-1及1-1′之间的空气质量是相等的,并等于流过压气机的每秒气体质量流量G/9 1-7对离心式压气机导出动量矩方程式泪图 和时间△t的乘积。那么,流出的空气质量相对于工作轮转轴的动量矩为 式中c工作轮出口处气体绝对速度的周向分速; 工作轮的外径 流入的气体质量对工作轮转轴的动量矩为 式中r1m-工作轮进的平均半径 C1-—平均半径处气流绝对速度的周向分速。 根据前述的动量矩定理,可以写出 (Gx,-CIMm)At-=Mout 9"(C2vr2-CInrm)=Mouf 式中Mm-—作用于截1-1及2-2之间气体上的全部外力相对于工作轮转轴的力矩 之和。 应指出,实际上加给工作轮轴上的力矩应比M大些,因为气体和工作轮轮盘产生 摩擦力矩 §1-9音速和马赫数 人说话或弹根琴弦,都可听到声音。因为声带或琴弦的振动,使空气质点产生微小
的扰动,从而引起空气的压力和密度发生微小的变化。这种变化会一层一层地传播开来,传 到人的耳朵,引起耳膜的共振就听到了声音。因此,就其物理本质来讲,音速乃是微小扰 动压力波的传播速度。 为了确定音速的计算公式,可通过在一根充 满可压缩气体的直管中安装的一个活塞,取其微 动吋所引起微小扰动的传播情形作为例子,如图 p+dpl Ip -8所示。 因为管中充满着可压缩气体,当活塞微动 时,首先压缩与活塞表面接触的那一层气体, 图18推导音速公式用图 然后一层一层地传下去,出现了一个以某个速度a向前推进的徽压缩波前,这个波前是被 扰动过的区域和未被扰动的区域之分界面。波前未到之处气体是静止的,而波前已过之处 气体具有微小的运动速度dc。若在某一瞬时1,波前到达截面1-1处,经过很短的时间d 后,即在瞬时,波前移到截面2-2处。以dS表示截面1-1和2-2间的距离。显然微小扰 动波的传播速度是 若直管中未被扰动的气体之压力为p,密度为卩,则被扰动过的气体之压力和密度均 要大些,分别汜为P十dp和卩+dP。在直管的dS段内,由于有速度为d的某些气体质量 流进,因而气体质量增加 dm=(p+dp)Fdct 式中F-直管的横截面积 同时,dS段管内气体质量的增加,亦可用密度的变化来表示,即 dn=(p +dp-p)fdS= FdpdS 以上两式右边相等,并注意到a=d,则得 P +dp a 根据动量定理,有 pF(dc-0 ds=(p+dp-p)Fdt d 将(a)式中的dc值代入(b)式,得 因为讨论的是微小扰动, 和1相比是高阶微量,可以略去。最后得 d (1-39)
上式中a是微小扰动压力波的传播速度,也就是音逮。少表示气体的压力对密度的 变化率、它与气体状态变化过程有关。通常音速较大,气体状态变化过程进行得很快,可以 看成是绝热的;因气体状态的变化是微小的,故可以看成是可逆的。因此,在微小扰动的 传播中,气体状态的变化过程可以看成是等熵的。于是利用 得到 p kgRT 故音速表达式可写为 式中T—气体的绝对温度‘K, 由此可知,音速取决于介质的物理性质和温度。对于空气,在温度不太高时,k=1.4 R=29.27公斤·米/公斤·度,音逛即可按下式计算 (1-39b) 当空气温度?288′K,即15℃时,a=340米/秒。 因为气体的温度T是表示气体分子运动动能的大小,所以音速也是气体分子运动动能 大小的标志 二、马瓣数(M数 弓赫数是当地气体的流动速度c与声音在该气流中的传播速度a的比值,以符号M表 M 当M>1时,c>a.称为超音速流动; 当M<1时,c<a、称为亚音速流动; 当M≈1时,C≈a,称为跨音速流动。 音速和马赫数是说明流体压缩性的重标志。通过音速a和M数可以帮助我们区别流 体的流动特性。 液体(如水)的特性是:当它受压缩时,比容D(或比重Y)的变化是极为微小的,因 而压力波在其中的传播速度是非常快的,即在瞬间扰动波可传遍液体所占的整个空间。因 为对不可压缩流体dP*0,则dp/dp-∞,a→∞及M→0。人们称这种液体为不可压缩 流体。 气休(如空气)的特性是:当它受压绪时,就会引起比容(或比重)发生一定程度的 变化,因而扰动产生的压力波在其中只能以一定速度传播。这种气体被称为可压縮流体。 从公式(1-39)中可以看出,变化字越小的气体,比容的变化就越大,声音在其
中的传播速度就越小。这种容易被压缩的气体特性,称为压缩性强。因此,在温度相同 时,音速a的大小,可以作为衡量各种气体压缩性强或弱的尺度。 由于气流的滞止温度为 *=T+十A c 20c 故 =1+8-1,c kgrT =1+A (1-41) 相应地气流的滞止压力p*可以表示为 p 一1 1 (1-12) 从滞让温度和滞止压力的表达式可以看出,当气流速度较小时,滞止温度的变化(T T)和滞止压力的变化(p一p)是不大的。对于没有热量和功量交换的过程来说,气流 速度和压力相互转化时,气体的比容是儿乎不变的。因此可以认为,低速流动的气体具有 不可压縮流体的特性。但是,当气流速度很大时,滞止温度和滞止压力的变化却是很大的。 在这种情况下,当气流速度与压力相互转化时,就不能把比容看作是常数。因此,高速流 动的气体具有可压缩流体的特性。从公式(1-41)及(1-42)可看出,当M数较小时。滞 止温度和滞止压力的变化不会太大。由此可见,把气体划分为可压缩流体和不可压缩流体 的标准,不应该是速度c,而应该是速度c和音速a的比值M数。计算表明,当M<0.5时, 气体的流动特性可以按不可压缩流体来处理;当M>0.3时,则必须按可压缩流体来处理。 三、微扰动在气流中的传播 上面的例子是活塞引起的微扰动波沿管轴方向的传播情形。但所得的音速公式适用于 任河微扰动在空间的传播。在运动的气流中连续地发出微扰动的点叫扰动源。为了讨论方 使,假定扰动源0固定不动,气体以速度c运动。下面郎以此假定为前提进行讨论三种不 同气流速度下,微扰动的传播特点 1.当M<1时,c<a,气流运动的速度是亚音速 微扰动在亚音速气流中的传播如图1-9所示。受扰动的气流质点以亚音速c运动,而 微扰动波以音速a向四周传播,同时扰动波的中心也随气流一齐运动。当经过1秒钟后,扰 动波中心移到O1点,线段OO1=C,而扰动波则传播至 以o点为中心、音速a为半径的球面上。图中还画出了 经过2秒、3秒、4秒钟后扰动波的情况。由于扰动波 的传播速度比气流速度快,所以扰动波在亚音速气流中 可以逆气流方向传播至全部空间。 2.当M=1时,c=a,气流运动速度等于音速 微扰动在音速气流中的传播情形如图1-10所示。图 中画出了经过1秒、2秒、3秒、4秒钟后扰动波的情 况。因为扰动波中心随气流运动的速度正好等于音速 所以各扰动波球面均通过扰动源点o,且在O点与垂直图1-9微动在亚音气魂中的传拆
于速度c的平面相切,所以扰动波不能逆气流方向通过此平面,只能在此平面朝气流运动 方向的一边传播。这样,当气流速度等于音速时,扰动波连续地传遍以通过扰动源垂直于 速度c的平面为界的半个空间。 3.当M>1时,c>a,气流运动速度为超音速 微扰动在超音速气流中的传播如图1-11所示。图中画出了经过1秒至秒后的流动图 形。由于扰动波的中心随气流运动的速度大于音速,所以各扰动波的球面与一个圆锥面相 切。这圆锥面的顶点就是扰动源点0。这样,当气流速度为超音速时,微扰动波只能连续 地传遍圆锥形的空间。 图1-10微扰动在音速气流中的传播 图1-11徵扰动在超音速气减中的传播 圆锥的半顶角,即圆锥的母线与其轴线的夹角0叫微扰动角,又称为马赫角。从图1-11 中可看出 sin 0=- (1-43) 锥的母线OA是扰动空间与未被扰动空间的分界面,叫微扰动波,又称为马赫波。由 (1-43)式得 c sin 0=c 这说明,气流速度在马赫波的法线方向上的投影等于音速 §1-10冲波 亚音速与超音速气流的流动特点 亚音速和超音速气流的流动特点是很不相同的图1-2绘出了亚音速气流和超音速气 流流过叶型时的流型示意图。 当超音速气流流过叶型时,在叶型前方就会产生一个冲波(又叫冲激波或激波)。气流 经过冲波后,压力、温度和比容都会发生突跃变化,有时丕会使气流由超音速流变为亚音 速流。可以从简单的实验中观察到冲波。用光源照射超音速气流流过叶型时,在银幕上可 看到一条相应于冲波形的暗线。这是因为冲波处气体参数突跃变化,气体的密度显著增加, 所以透过的光线少些而显现出暗线。超音速气流通过冲波时,使气流的滞止压力下降,由 此引起一种所谓波阻损失