《概率论数理统计》课程PPT教学课件：§5 总体参数的估计

例5设X1,X2”,Xn是来自概率函数为 a P(x,) (x=0,12…) 的 Poisson分布总体的样本,其观察值为x1,x2,xn。试求 参数λ的最大似然估计值 解由题设可得,似然函数为 x ∑x L()=IP(x,4)=∏ e=nem/ll 而hL ∑xhA-n-h∏x! d In L 令 ∑ n=0 解得的最大似然估计值Sx=x与矩估计量相同

例5 设X1 ,X2 ,┅,Xn 是来自概率函数为 的Poisson分布总体的样本，其观察值为x1 ,x2 ,┅,xn。试求 参数λ 的最大似然估计值。 解 由题设可得，似然函数为 而 令 解得λ 的最大似然估计值 与矩估计量相同。 ( 0,1, ) ! ( , ) = e − x =  x P x x      = − − = =  = = = = n i i n n x i n i i x i e e x x L P x n i i i 1 1 1 / ! ! ( ) ( , )  1      ln ln ln ! 1 1   = = = − − n i i n i i L x  n x 0 ln 1 = − = = n x d d L n i i   x n x n i i = = =1 

若总体X属连续型,其概率密度函数f(x,0,0∈的形式已知, 0为待估参数,是0可能取值范围。设X1X2,Xn是来自X的样本, x1,x2-,x1是相应于样本X1,X2,Xn的一个样本值。则似然函数为 L()=L(x1,x2…xn:0)=f(x1,0) 解方程dL 或 dIn L 0 0 de de 即可得最大似然估计值 6=6 d.x 52 最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数0102…,01 的情况。这时,似然函数L(01,02,01)是这些未知参数的多元函 数。分别令 L=0,i=1,2,…,k 06 或令O hnL=0.t=1.2.….k 解上述个方程组成的方程组,即可得到各未知参数0(=12.,1的 最大似然估计值

若总体X属连续型，其概率密度函数f(x,θ),θ∈Θ 的形式已知， θ为待估参数， Θ是θ可能取值范围。设X1 ,X2 ,┅,Xn 是来自X的样本， x1 ,x2 ,┅,xn是相应于样本X1 ,X2 ,┅,Xn的一个样本值。则似然函数为 解方程 或 即可得最大似然估计值 。 最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数θ1 ,θ2 ,…,θk 的情况。这时，似然函数L（θ1 ,θ2 ,…,θk）是这些未知参数的多元函 数 。分别令 或令 解上述k个方程组成的方程组，即可得到各未知参数θi (i=1,2,…,k) 的 最大似然估计值 。 = = = n i n i L L x x x f x 1 1 2 ( ) ( , ,, ; ) ( , ) = 0 d dL 0 ln = d d L ( , , , ) ˆ ˆ 1 2 n  = x x  x  i ˆ L i k i = 0, =1,2,,    L i k i ln = 0, =1,2,,   

例6设总体X的概率密度函数为 e x>0 f(x,) (>0) x<0 x1x2-,xn是x的一组样本观察值,求参数的最大似然 估计值 解似然函数为L(A)=x,_2n4m hL()=mh2-2∑x dIn l(n) n d ∑x=0 得的最大似然估计值1=、11

例6 设总体X的概率密度函数为 x1 ,x2 ,┅,xn是X的一组样本观察值，求参数λ 的最大似然 估计值。 解 似然函数为 令 得λ 的最大似然估计值 ( 0) 0 0 0 ( , )       = −     x e x f x x 0 ln ( ) ln ( ) ln ( ) 1 1 1 1 = − = = −  = =    = = − = − = n i i n i i x n n i x x n d d L L n x L e e n i i i            x X n n i i 1 ˆ 1 = = = 

例7已知X服从正态分布N(1,02),x1x2,xn是X的一组样 本观察值,用最大似然估计法估计u,2的值。 解X的概率密度函数为f(x,,a2) exp 20 似然函数为L(A,02)= p20 e 1√2zo (2x)2(a2)2exl 20 ∑( 而hnL (2x)--ha2 2∑(x1-4) 2 O In L ]=0 令 In l ∑(x1-)2=0 2 由前一式解得 ∑ x/n=x 代入后一式得 2=∑( x-x)/n

例7 已知X服从正态分布N(μ,σ2), x1 ,x2 ,┅,xn是X的一组样 本观察值,用最大似然估计法估计μ,σ2的值。 解 X的概率密度函数为 似然函数为 而 令 由前一式解得 代入后一式得       = − − 2 2 2 ( ) 2 1 exp 2 1 ( ; , )    f x   x       = − −       = − −   = − − = n i i n n i n i x L x 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 2 1 (2 ) ( ) exp ( ) 2 1 exp 2 1 ( , )          = = − − − − n i i x n n L 1 2 2 2 ( ) 2 1 ln 2 ln( 2 ) 2 ln            = − + − =   = − =     = = n i i n i i x n L L x n 1 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 0 2( ) 1 2 ln [ ] 0 1 ln        x n x n i = i = = ˆ / 1  x x n n i i ˆ ( ) / 1 2 2 =  = −