第12章静电场 60°,一半均匀带正电,另一半均匀带负电, 其电线密度分别为+和-,求圆心处的场 强 [解答]在带正电 12.3如图所示, 的圆弧上取一弧元 在直角三角形ABCD的q ds Rde A点处,有点电荷 18×10°C,B点处有点C人E2 电荷元为dq=ids Ey 在O点产生的场强大 电荷q2=-4.8×10C,ACE 小为 3cm,BC=4cm,试求 图13.1 dq 1 ids C点的场强 de= R24nE。R2 d6, [解答]根据点电荷的场强大小的公式 E=k- I 场强的分量为dEx= decos9,dE,= desin0. q 对于带负电的圆 弧,同样可得在O点的/Eabx 其中1/(4xEo)=k=9.0×10Nm2C2. 场强的两个分量.由于VE 点电荷q1在C点产生的场强大小为 弧形是对称的,x方向 的合场强为零,总场强 E1 沿着y轴正方向,大小为 E=2E desin e =9×10× 18×10=18×10+(NC), sin ed8 - coS0) 方向向下 点电荷q在C点产生的场强大小为 E 2丌E0R =9×10948×109 12.5均匀带电细棒,棒长a=20cm, 27×10(NC),电荷线密度为=3×103Cm2,求 (4×10-2)2 (1)棒的延长线上与棒的近端dh=8cm 方向向右 处的场强 C处的总场强大小为 (2)棒的垂直平分线上与棒的中点相 距d2=8cm处的场强 [解答](1)建立坐标系,其中L=a/2 √13×104=3.245×10(NC) 0.1(m),x=L+dh=0.18(m) 在 总场强与分场强E2的夹角为 细棒上 E 取一线 b= arctan=33.69° 元dl,所 带的电 量为dq=dl, 12.4半径为R的一段圆弧,圆心角为根据点电荷的场强公式,电荷元在P1点产
1 第 12 章 静电场 P35． 12．3 如图所示， 在直角三角形 ABCD 的 A 点处，有点电荷 q1 = 1.8×10-9C，B 点处有点 电荷q2 = -4.8×10-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求 C 点的场强． [解答]根据点电荷的场强大小的公式 2 2 0 1 4 q q E k r r = = ， 其中 1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2． 点电荷 q1 在 C 点产生的场强大小为 1 1 2 0 1 4 q E AC = 9 9 4 -1 2 2 1.8 10 9 10 1.8 10 (N C ) (3 10 ) − − = = ， 方向向下． 点电荷 q2 在 C 点产生的场强大小为 2 2 2 0 1 | | 4 q E BC = 9 9 4 -1 2 2 4.8 10 9 10 2.7 10 (N C ) (4 10 ) − − = = ， 方向向右． C 处的总场强大小为 2 2 E E E = +1 2 4 4 -1 = = 0.9 13 10 3.245 10 (N C )， 总场强与分场强 E2 的夹角为 1 2 arctan 33.69 E E = = ． 12．4 半径为 R 的一段圆弧，圆心角为 60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电， 其电线密度分别为+λ 和-λ，求圆心处的场 强． [解答] 在带正电 的圆弧上取一弧元 ds = Rdθ， 电荷元为 dq = λds， 在 O 点产生的场强大 小为 2 2 0 0 0 1 d 1 d d d 4 4 4 q s E R R R = = = ， 场强的分量为 dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ． 对于带负电的圆 弧，同样可得在 O 点的 场强的两个分量．由于 弧形是对称的，x 方向 的合场强为零，总场强 沿着 y 轴正方向，大小为 2 d sin y L E E E = = / 6 / 6 0 0 0 0 sin d ( cos ) 2 2 R R = = − 0 3 (1 ) 2 2 R = − ． 12．5 均匀带电细棒，棒长 a = 20cm， 电荷线密度为 λ = 3×10-8C·m-1，求： （1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm 处的场强； （2）棒的垂直平分线上与棒的中点相 距 d2 = 8cm 处的场强． [解答]（1）建立坐标系，其中 L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)． 在 细棒上 取一线 元 dl，所 带的电 量为 dq = λdl， 根据点电荷的场强公式，电荷元在 P1 点产 E2 E1 E q2 A C q1 B θ 图 13.1 Ex x E θ R ds Ey O y ds Ex x E θ R Ey O y o l x x dl y P1 r -L L d1
生的场强的大小为 in ede 2 d de =k 4zE0(x-) 场强的方向沿x轴正向.因此P1点的总场 cos 强大小通过积分得 4E0d2 E=∫ d2√d2 1 2LA 4IEo d2 vd 将数值代入公式得P2点的场强为 4E。x-Lx+L E,=9×1092×0.1×3×108 008(0.082+0.12)2 12L 527×103(NC-) 方向沿着y轴正向 将数值代入公式得P1点的场强为 [讨论](1)由于L=a2,x=L+d,代 入①式,化简得 2×0.1×3×10 =9×10× 0.182-0.12 Er 241×10(Nc) 4TEod, d,+a 4reod, d /a+1 方向沿着x轴正向 保持d不变,当a→∞时,可得 (2)建立 坐标系,y=a 4ed 在细棒上 取一线元d,所 这就是半无限长带电直线在相距为dh的延 带的电量为 长线上产生的场强大小 (2)由②式得 在棒的垂直平 分线上的P2点产生的场强的大小为 Ey 442a2+(a/2) dq a d 由于棒是对称的,x方向的合场强为零,y 4zs42y√ld2a)2+(1/2) 分量为 当a→∞时,得 由图可知:r=d2/sinb,l=dot0 所以 E 因此dE,= sin ede y 4rEd 这就是无限长带电直线在线外产生的场强 公式 总场强大小为 如果d=d,则有大小关系Ey=2E1 2
2 生的场强的大小为 1 2 2 0 d d d 4 ( ) q l E k r x l = = − 场强的方向沿 x 轴正向．因此 P1 点的总场 强大小通过积分得 1 2 0 d 4 ( ) L L l E x l − = − 0 1 4 L L x l − = − 0 1 1 ( ) 4 x L x L = − − + 2 2 0 1 2 4 L x L = − ． ① 将数值代入公式得 P1 点的场强为 8 9 1 2 2 2 0.1 3 10 9 10 0.18 0.1 E − = − = 2.41×103 (N·C-1 )， 方向沿着 x 轴正向． （2）建立 坐标系，y = d2． 在 细 棒 上 取一线元 dl，所 带的电量为 dq = λdl， 在棒的垂直平 分线上的 P2 点产生的场强的大小为 2 2 2 0 d d d 4 q l E k r r = = ， 由于棒是对称的，x 方向的合场强为零，y 分量为 dEy = dE2sinθ． 由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ， 所以 dl = -d2dθ/sin2θ， 因此 0 2 d sin d 4 E y d − = ， 总场强大小为 0 2 sin d 4 L y l L E d =− − = 0 2 cos 4 L l L d =− = 2 2 0 2 2 4 L l L l d d l =− = + 2 2 0 2 2 1 2 4 L d d L = + ． ② 将数值代入公式得 P2 点的场强为 8 9 2 2 1/ 2 2 0.1 3 10 9 10 0.08(0.08 0.1 ) E y − = + = 5.27×103 (N·C-1 )． 方向沿着 y 轴正向． [讨论]（1）由于 L = a/2，x = L+d1，代 入①式，化简得 1 0 1 1 0 1 1 1 4 4 / 1 a E d d a d d a = = + + ， 保持 d1 不变，当 a→∞时，可得 1 0 1 4 E d → ， ③ 这就是半无限长带电直线在相距为 d1 的延 长线上产生的场强大小． （2）由②式得 2 2 0 2 2 4 ( / 2) y a E d d a = + 2 2 0 2 2 1 4 d ( / ) (1/ 2) d a = + ， 当 a→∞时，得 0 2 2 E y d → ， ④ 这就是无限长带电直线在线外产生的场强 公式． 如果 d1=d2，则有大小关系 Ey = 2E1． o l x x dl r -L L y P2 dEy dE2 dEx d2 θ θ
12.6一均匀带电 方向沿着x轴负向 无限长细棒被弯成如 图所示的对称形状,试 当O点合场强为零时,必有E2=E 问θ为何值时,圆心O 可得 点处的场强为零 因此 [解答]设电荷线密 图13.4 所以 0=x/2 度为λ,先计算圆弧的电荷在圆心产生的场 强 12.7一宽为b的无限长均匀带电平面 在圆弧上取 薄板,其电荷密度为σ, 弧元ds=Rdo 如图所示.试求: 所带的电量为 (1)平板所在平 dq 面内,距薄板边缘为a 在圆心处产生的场强的大小为 处的场强 (2)通过薄板几 dE=k当 R tEO R 何中心的垂直线上与 薄板距离为d处的场图135 由于弧是对称的,场强只剩x分量,取x轴强 方向为正,场强为 [解答](1)建 dEx =-dE 立坐标系.在平面薄 总场强为 板上取一宽度为dx 的带电直线,电荷的「O E os do 4丌E.R 线密度为 d=odx 2丌-b/2 根据直线带电线的 SIn gp 场强公式 E= 2丌E0r 2TER 2 得带电直线在P点产生的场强为 方向沿着x轴正向 再计算两根半无限长带电直线在圆心 de= 产生的场强 TEor 2TEo(b/2+a-x) 根据上一题的 其方向沿x轴正向 公式③可得半无限 由于每条无限长直线在P点的产生的 长带电直线在延长E 场强方向相同,所以总场强为 上O点产生的场强 大小为 6/2+a-x 48 R In(b/2 2 由于两根半无限长带电直线对称放置,它们 在O点产生的合场强为 2 2 2TEO R
3 12．6 一均匀带电 无限长细棒被弯成如 图所示的对称形状，试 问 θ 为何值时，圆心 O 点处的场强为零． [解答]设电荷线密 度为 λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场 强． 在圆弧上取一 弧元 ds =R dφ， 所带的电量为 dq = λds， 在圆心处产生的场强的大小为 2 2 0 0 d d d d 4 4 q s E k r R R = = = ， 由于弧是对称的，场强只剩 x 分量，取 x 轴 方向为正，场强为 dEx = -dEcosφ． 总场强为 2 / 2 0 / 2 cos d 4 E x R − − = 2 / 2 0 / 2 sin 4 R − − = 0 sin 2 2 R = ， 方向沿着 x 轴正向． 再计算两根半无限长带电直线在圆心 产生的场强． 根据上一题的 公式③可得半无限 长带电直线在延长 上 O 点产生的场强 大小为 ` 0 4 E R = ， 由于两根半无限长带电直线对称放置，它们 在 O 点产生的合场强为 ` ` 0 2 cos cos 2 2 2 E E x R = = ， 方向沿着 x 轴负向． 当 O 点合场强为零时，必有 ` E E x x = ， 可得 tanθ/2 = 1， 因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2． 12．7 一宽为 b 的无限长均匀带电平面 薄板，其电荷密度为 σ， 如图所示．试求： （1）平板所在平 面内，距薄板边缘为 a 处的场强． （2）通过薄板几 何中心的垂直线上与 薄板距离为 d 处的场 强． [解答]（1）建 立坐标系．在平面薄 板上取一宽度为 dx 的带电直线，电荷的 线密度为 dλ = σd x， 根据直线带电线的 场强公式 0 2 E r = ， 得带电直线在 P 点产生的场强为 0 0 d d d 2 2 ( / 2 ) x E r b a x = = + − ， 其方向沿 x 轴正向． 由于每条无限长直线在 P 点的产生的 场强方向相同，所以总场强为 / 2 0 / 2 1 d 2 / 2 b b E x b a x − = + − / 2 0 / 2 ln( / 2 ) 2 b b b a x − − = + − 0 ln(1 ) 2 b a = + ． ① θ R O 图 13.4 θ R O x dφ dE φ O θ E` E`` x R P b a Q d 图 13.5 P b a O x dx y
场强方向沿x轴正向 arctan(b/2d) (2)为了便于观察,将薄板旋转建 2ze.d b/2d 立坐标 系.仍然在 当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗 平面薄板上 必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为 取一宽度为 dx的带电直 2Te d 线,电荷的 线密度仍然 这也是带电直线的场强公式 为 当b→∞时,可得 带电直线在Q点产生的场强为 E de 2TEor 2TEo(6-+x) 这是无限大带电平面所产生的场强公式 沿z轴方向的分量为 12.8(1)点电荷q位于一个边长为a a cos edx 的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过 de = de cos 0= (b2+x2) 立方体一面的电通量是多少? (2)如果将该场源点电荷移到立方体 设x=dtan0,则dx= dacos20,因此 的的一个角上,这时通过立方体各面的电通 量是多少? de =de 0= [解答]点电荷产生的电通量为 积分得 (1)当点电荷放在中心时,电通量要 arctan(b/2d 穿过6个面,通过每一面的电通量为 中1=中2/6=q/6 -arctan(b/2d) (2)当点电荷放在一个顶角时,电通 量要穿过8个卦限,立方体的3个面在一个 arctan ( 卦限中,通过每个面的电通量为 E 中1=中24=q/240 场强方向沿z轴正向. 立方体的另外3个面的法向与电力线垂直 讨论](1)薄板单位长度上电荷为 通过每个面的电通量为零 ①式的场强可化为 12.9面电荷密度为a的均匀无限大带 a In(1+b/a) 电平板,以平板上的一点O为中心,R为半 E b/a 径作一半球面, 如图所示.求通 当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗过此半球面的 必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为 电通量 [解答]设想 图13.7 2Te a 在平板下面补一个半球面,与上面的半球面 合成一个球面.球面内包含的电荷为 这正是带电直线的场强公式 (2)②也可以化为 通过球面的电通量为
4 场强方向沿 x 轴正向． （2）为了便于观察，将薄板旋转建 立坐标 系．仍然在 平面薄板上 取一宽度为 dx 的带电直 线，电荷的 线密度仍然 为 dλ = σd x， 带电直线在 Q 点产生的场强为 2 2 1/ 2 0 0 d d d 2 2 ( ) x E r b x = = + ， 沿 z 轴方向的分量为 2 2 1/ 2 0 cos d d d cos 2 ( ) z x E E b x = = + ， 设 x = dtanθ，则 dx = ddθ/cos2θ，因此 0 d d cos d 2 E E z = = 积分得 arctan( / 2 ) arctan( / 2 ) 0 d 2 b d z b d E − = 0 arctan( ) 2 b d = ． ② 场强方向沿 z 轴正向． [讨论]（1）薄板单位长度上电荷为 λ = σb， ①式的场强可化为 0 ln(1 / ) 2 / b a E a b a + = ， 当 b→0 时，薄板就变成一根直线，应用罗 必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 2 0 E a → ， ③ 这正是带电直线的场强公式． （2）②也可以化为 0 arctan( / 2 ) 2 / 2 z b d E d b d = ， 当 b→0 时，薄板就变成一根直线，应用罗 必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 2 0 E z d → ， 这也是带电直线的场强公式． 当 b→∞时，可得 0 2 E z → ， ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式． 12．8 （1）点电荷 q 位于一个边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过 立方体一面的电通量是多少？ （2）如果将该场源点电荷移到立方体 的的一个角上，这时通过立方体各面的电通 量是多少？ [解答]点电荷产生的电通量为 Φe = q/ε0． （1）当点电荷放在中心时，电通量要 穿过 6 个面，通过每一面的电通量为 Φ1 = Φe/6 = q/6ε0． （2）当点电荷放在一个顶角时，电通 量要穿过 8 个卦限，立方体的 3 个面在一个 卦限中，通过每个面的电通量为 Φ1 = Φe/24 = q/24ε0； 立方体的另外 3 个面的法向与电力线垂直， 通过每个面的电通量为零． 12．9 面电荷密度为 σ 的均匀无限大带 电平板，以平板上的一点 O 为中心，R 为半 径作一半球面， 如图所示．求通 过 此 半球 面 的 电通量． [解答]设想 在平板下面补一个半球面，与上面的半球面 合成一个球面．球面内包含的电荷为 q = πR2σ， 通过球面的电通量为 Q b O d z dx x y r dE θ R O 图13.7
Φ=E·dS 通过半球面的电通量为 φ=￠2/2=xR2a/2c0. ds+[EdS+E·ds 12.10两无限长同轴圆柱面,半径分 ES+Es+0=2ES 别为R1和R(R1>R2),带有等量异号电荷,高斯面内的体积为=2/S, 单位长度的电量为λ和-九,求(1)r<R1:(2)包含的电量为 q =pl=iprS R1<r<R2;(3)r>R2处各点的场强 根据高斯定理 解答]由于电荷分布具有 可得场强为E=pr,(0至rd2).① 轴对称性,所以电场分布也具 (2)穿过平板作一底面积为S,高为 有轴对称性 2r的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍 (1)在内圆柱面内做 为 中=2ES 同轴圆柱形高斯面,由于高斯 高斯面在板内的体积为V=Sd, 内没有电荷,所以 包含的电量为 gpv=pse E=0,(r<R1) 根据高斯定理 (2)在两个圆柱之间做一长度为l,半可得场强为E=pd2ao,(r≥d2).② 径为r的同轴圆柱形高斯面,高斯面内包含 方法二:场强叠加法 的电荷为q=Ml 穿过高斯面的电通量为 由于平板的 N Eds=EdS= E2rrl, 可视很多薄 板叠而成 根据高斯定理φ=qCo,所以 的,以r为 E2 界,下面平 E 2 y)<0 <r<R2) 板产生的场强方向向上,上面平板产生的场 强方向向下.在下面板中取一薄层dy,面电 (3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高荷密度为 斯面,由于高斯内电荷的代数和为零,所以 E=0,(r>R2) 产生的场强为dE1=do/2e0, 积分得 12.11一厚度为d的均匀带电无限大平板 电荷体密度为p,求板内外各点的场强 E1= pdy p (r+-) 2 「解答]方法一:高斯定理法 (1)由于平板具有面对称性,因此产同理,上面板产生的场强为 生的场强的方向与平板垂直且对称于中心 面:E=E' E2=「 ody d 在板 内取一底 r处的总场强为E=E1-E2=po 面积为S, (2)在公式③和④中,令r=d/2,得 高为2r的 So E2=0、E=E1=pd2eo 圆柱面作 E就是平板表面的场强 为高斯面, 平板外的场强是无数个无限薄的带电 场强与上 平板产生的电场叠加的结果,是均强电场, 下两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通方向与平板垂直,大小等于平板表面的场 过高斯面的电通量为 强,也能得出②式
5 Φe = q/ε0， 通过半球面的电通量为 Φ`e = Φe/2 = πR2σ/2ε0． 12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分 别为 R1 和 R2(R1 > R2)，带有等量异号电荷， 单位长度的电量为 λ 和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2 处各点的场强． [解答]由于电荷分布具有 轴对称性，所以电场分布也具 有轴对称性． （1）在内圆柱面内做一 同轴圆柱形高斯面，由于高斯 内没有电荷，所以 E = 0，（r < R1）． （2）在两个圆柱之间做一长度为 l，半 径为 r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含 的电荷为 q = λl， 穿过高斯面的电通量为 e d d 2 S S = = = E S E rl Ñ E S ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，所以 2 0 E r = ， (R1 < r < R2)． （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高 斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以 E = 0，（r > R2）． 12．11 一厚度为 d 的均匀带电无限大平板， 电荷体密度为 ρ，求板内外各点的场强． [解答]方法一：高斯定理法． （1）由于平板具有面对称性，因此产 生的场强的方向与平板垂直且对称于中心 面：E = E`． 在 板 内取一底 面积为 S， 高为 2r 的 圆柱面作 为高斯面， 场强与上 下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通 过高斯面的电通量为 d e S = E S 2 0 d d d S S S = + + E S E S E S 1 = + + = ES E S ES ` 0 2 ， 高斯面内的体积为 V = 2rS， 包含的电量为 q =ρV = 2ρrS， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．① （2）穿过平板作一底面积为 S，高为 2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍 为 Φe = 2ES， 高斯面在板内的体积为 V = Sd， 包含的电量为 q =ρV = ρSd， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρd/2ε0，(r≧d/2)． ② 方法二：场强叠加法． （ 1 ） 由于平板的 可视很多薄 板叠而成 的，以 r 为 界，下面平 板产生的场强方向向上，上面平板产生的场 强方向向下．在下面板中取一薄层 dy，面电 荷密度为 dσ = ρdy， 产生的场强为 dE1 = dσ/2ε0， 积分得 1 / 2 0 0 d ( ) 2 2 2 r d y d E r − = = + ，③ 同理，上面板产生的场强为 / 2 2 0 0 d ( ) 2 2 2 d r y d E r = = − ，④ r 处的总场强为 E = E1-E2 = ρr/ε0． （2）在公式③和④中，令 r = d/2，得 E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0， E 就是平板表面的场强． 平板外的场强是无数个无限薄的带电 平板产生的电场叠加的结果，是均强电场， 方向与平板垂直，大小等于平板表面的场 强，也能得出②式． S2 S1 E` S1 S2 E E d 2r S0 E` S0 E2 r dy y o E1 d