y(n)=x(n+m)() 即:将x(n)以N为周期进行周期延拓得到(n)=x(n),再将(n)左移m位得到 X(n+m),最后取x(n+m)的主值序列就得到有限长序列x(n)的循环移位序列 y(n)。即:循环移位的实质是x(m)左移皿位,而移出去着区(0≤n≤N-1)丝 序列值又依次从右侧进入主区凤。 2、时域循环移位定理 设x(m)是长度为N的有限长序列,y(n)为x(m)的循环移位,即 y(m)=x(n+m)、R(n) 则 Y(k)=DFTLy(n)]=Wxo x(k) (2.3) 其中X(k)=DFT[x(n)]0≤k≤N-1 3、频域循环移位定理证明 X(k)=DFT[x(n)0≤k≤N-1 (k)=X(k+D)、R3(k) 则 y(n)=IDFTLY(K)]=W'x(n) 3.23循环卷积性质 1、循环卷积 有限长序列x(n)和x2(n),长度分别为N1和N2,N=max[N,N2]。x1(m)和 x2(m)的N点DF分别为:
( ) (( )) ( ) N N y n x n m R n = + (2.2) 即：将 x n( ) 以 N 为周期进行周期延拓得到 ( ) (( ))N x n x n = ，再将 x n( ) 左移 m 位得到 x n m ( + ) ，最后取 x n m ( + ) 的主值序列就得到有限长序列 x n( ) 的循环移位序列 y n( ) 。即：循环移位的实质是将 x n( ) 左移 m 位，而移出主治区间 (0 1 − n N ) 的 序列值又依次从右侧进入主治区间。 2、时域循环移位定理 设 x n( ) 是长度为 N 的有限长序列， y n( ) 为 x n( ) 的循环移位，即 ( ) (( )) N ( ) N y n x n m R n = + 则 ( ) ( ) ( ) kn Y k DFT y n W X k N − = = (2.3) 其中 X k DFT x n k N ( ) = − ( ) ,0 1 。 3、频域循环移位定理证明 若 X k DFT x n k N ( ) = − ( ) ,0 1 ( ) (( )) N ( ) N Y k X k l R k = + 则 ( ) ( ) ( ) nl N y n IDFT Y k W x n = = (2.4) 3.2.3 循环卷积性质 1、循环卷积 有限长序列 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( )，长度分别为 N1 和 N2 ， N N N = max , 1 2 。 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的 N 点 DFT 分别为：
X,(k)=DFT[=,(n)] X2(k)=DFT[x2(n)] 如果 X(k)=X1(k)k2(k) 则 x(n)=IDFTLX()]=2x,(m)*(n-m), RN(n) (2.5) 或 x(n)=DFTLX(k)]=2*2(m)x,(n-m))R(n 般称(2.5)式为所表示的运算为x(m)和x2(n)的循环卷积 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行DFT,则有 X(k)=DFT[x(n)] *(m)x2(n-m)RN(n)W 令n-m=n,则有 x(k)=∑x(m)∑x1(n)W*m x(m)如 x2(7) 因为上式中x1(n)形是以N为周期的,所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此
X k DFT x n 1 1 ( ) = ( ) X k DFT x n 2 2 ( ) = ( ) 如果 X k X k X k ( ) = 1 2 ( ) ( ) 则 ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 1 2 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n − = = = − (2.5) 或 ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 2 1 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n − = = = − 一般称(2.5)式为所表示的运算为 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的循环卷积。 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行 DFT，则有 ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) (( )) 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 N N kn N N N n m N N kn N N m n X k DFT x n x m x n m R n W x m x n m W − − = = − − = = = = − = − 令 n m n − = ，则有 ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) (( )) 1 1 1 2 0 1 1 1 2 0 N N m k n m N m n m N N N m kn kn N N m n m N X k x m x n W x m W x n W − − − + = =− − − − = =− = = 因为上式中 2 (( )) kn N N x n W 是以 N 为周期的，所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此
x(k)=∑x(m)W·∑x(n)W=X1(k)2(k),0≤k≤N-1 3、循环卷积的实现 step1:先将x(m)周期化,形成x1(m),再反转形成x1(-m),并取主 值序列x(-m)R( step2:对x(m)的循环反转序列循环移位n,形成x2(n-m)R、(m),当 n=0,1,…N-1时,分别将x(m)与x1(m-m)R(m)相乘,并对m在0-(N-1) 区间商求和,便得 4、循环卷积的表 x(n)=2x(m)x2(n-m), R(n)=x(n)@x2( 5、循环卷积定理 有限长序列x(m)和x(n)的长度分别为N和N,N=max[M,N2],x(m)和 x2(m)的N点循环卷积为 x(n)=x(n)x2(n)=2x(m)x2(n-m)),RN(n) 则x(m)的N点DF为 X(k)=DFT[x(n)I=X,(k)X2(k) (2.7) X,(k)=DFTLx,(n)I X2(k)=DFT=2(n)] 6、时域循环卷积定理
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 0 0 , 0 1 N N kn kn N N m n X k x m W x n W X k X k k N − − = = = = − 3、循环卷积的实现 Step 1: 先将 x m2 ( ) 周期化，形成 2 (( ))N x m ，再反转形成 2 (( ))N x m− ，并取主 值序列 2 (( )) N ( ) N x m R m − 。 Step 2: 对 x m2 ( ) 的循环反转序列循环移位 n，形成 2 (( )) N ( ) N x n m R m − ，当 n=0,1,…,N-1 时，分别将 x m1 ( ) 与 2 (( )) N ( ) N x n m R m − 相乘，并对 m 在 0 1 (N − ) 区间商求和，便得。 4、循环卷积的表示 ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 0 N N N m x n x m x n m R n x n x n − = = − = 5、循环卷积定理 有限长序列 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的长度分别为 N1和 N2， N N N = max , 1 2 ， x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的 N 点循环卷积为 ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 1 2 1 2 0 N N N m x n x n x n x m x n m R n − = = = − (2.6) 则 x n( ) 的 N 点 DFT 为 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) N X k DFT x n X k X k = = (2.7) 其中， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 N N X k DFT x n X k DFT x n = = 6、时域循环卷积定理 若
xi(n)x2 则 DFTLx(n)=+, (k)8 x2(k) (2.8) 1∑x()x:(k-D)R1(k) 或 X(k)=DF[x(m)]=1X2(k)8x1(k) X2()X(k-)、R(k) 其中 X,(k)=DFT[x, (n) x2()=DFT[x2(n)I0 0≤k≤N-1 3.2.4复共轭序列的DFT 设x(n)是x(n)的复共轭序列,长度为N Y(k=dFT x( 则 DFT[x(n)=X(N-k),ask<N-1 且 (N)=x(O) 3.2.5DFT的共轭对称性 1、有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 分别用x(m)和x(n)分别表示有限长热对称序列和送反对称序型,则有 如下定义
x n x n x n ( ) = 1 2 ( ) ( ) 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 2 1 1 2 0 1 1 N N N l X k DFT x n X k X k N X l X k l R k N − = = = = − (2.8) 或 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 2 1 1 2 1 0 1 1 N N N l X k DFT x n X k X k N X l X k l R k N − = = = = − 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 , 0 1 X k DFT x n k N X k DFT x n = − = 3.2.4 复共轭序列的 DFT 设 ( ) * x n 是 x n( ) 的复共轭序列，长度为 N， X k DFT x n ( ) = ( ) 则 ( ) ( ) * * DFT x n X N k = − , 0 k N-1 且 X N X ( ) = (0) 3.2.5 DFT 的共轭对称性 1、有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 分别用 x n ep ( ) 和 x n op ( ) 分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则有 如下定义式：
(n)=x(N-n),0≤n≤N1 x(n)=-x7(N-n),0≤n≤N-1 当N为偶数时,将上式中的n换成N/2-n,可得 N 0≤n≤-1 2 2 <n< 可以证明 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样,任何有限长序 列x(m)也都可以表示成其共轭对称序列和共轭反对称序列之和,即 (n)=x2(m)+x(m),0≤n≤N-1 将上式中的n换成N-n,并取复共轭,再将(2.9)和(2.10)式代入,得到 x( (2.12) 将(2.11)是减去(2.12),可得 xep(n)=5x(n)+x(N-n)I (2.13) (n)=x(n)-x(N 2、DFT的共轭对称性 (1)若x(n)=x(n)+r(m) 其中 (n)=Re[x()]=[x(n)+x(n) x(m)=/m[x(m)]=5[x(n)-x(m)] 两边同时取DFT,可得
( ) ( ) * ep ep x n x N n = − ， ０ n N-1 (2.9) ( ) ( ) * , 0 1 op op x n x N n n N = − − − (2.10) 当 N 为偶数时，将上式中的 n 换成 N/2-n，可得： * , 0 1 2 2 2 ep ep N N N x n x n n − = + − * , 0 1 2 2 2 op op N N N x n x n n − = − + − 可以证明： 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序 列 x n( ) 也都可以表示成其共轭对称序列和共轭反对称序列之和，即 ( ) ( ) ( ), 0 1 ep op x n x n x n n N = + − (2.11) 将上式中的 n 换成 N-n，并取复共轭，再将(2.9)和(2.10)式代入，得到： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * ep op ep op x N n x N n x N n x n x n − = − + − = − (2.12) 将(2.11)是减去(2.12)，可得： ( ) ( ) ( ) 1 * 2 ep x n x n x N n = + − (2.13) ( ) ( ) ( ) 1 * 2 op x n x n x N n = − − (2.14) 2、DFT 的共轭对称性 （1）若 x n x n jx n ( ) = + r i ( ) ( ) 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * Re 2 r x n x n x n x n = = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * Im 2 i jx n j x n x n x n = = − 两边同时取 DFT，可得