复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（教学研究）负载动态法测均匀细杆杨氏模量的理论与方法

第34卷第7期 Vol 34 No. 7 015年7 COLLEGE PHYSICS july 2015 负载动态法测均匀细杆杨氏模量的理论与方法 徐珏,陈元杰2,马永利2 (1.复旦大学核科学与技术系,上海200433 2.复旦大学物理系,上海200433) 摘要:推导了细杆作横振动时其数理方程定解问题的一般形式,求出了加载均匀细杆横振动频率关于负载位置和负载质 量的严格解,并据此提出了一种动态测量均匀杆杨氏模量的方法.还用实验验证了该理论,由此测得的杨氏模量与传统弯曲 法测得的结果基本一致 关键词:共振频率;动态法;杨氏模量 中图分类号:04-33 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2015)070039-05 在现行的大学物理的振动与波的教学实践中, 例如音叉的振动问题,通常将实验原理的理论模型 1理论模型 简化为单个振子的受迫共振.实际上音叉的双臂是 设细杆的长度为l,平衡时处于x轴上设杆的 由弹性杆组成,需要研究其横振动现行的数学物理宽度y=(x)和厚度z=h(x),则杆的横截面面积 方法教课书中仅仅将弹性细杆的纵振动问题进行系S(x)=v(x)h(x).该横截面的回旋半径r(x)满足 统讲解而其横振动极少涉及.南京大学梁昆淼先生 的旧版数学物理方法①导出了弹性弯曲细杆的横 r2(x)= hG)/=() 振动方程,但是存在印刷错误.修订版虽然订正 均匀杆的横截面如图1所示.设杆的体密度为 了这个错误,但是略去了推导过程振动力学作 为力学专业的专业基础课,细杆的横振动的推导过p(x),则杆的质量为m=|p(x)s(x)dx 程过于简洁.在专题教课书中的,细杆的横振动的 定解问题已经系统地提出来了,但仅仅给出了几种 取体元dr=S(x)dx和体元质量dm=p(x)dr, 特殊情况下定解问题的解圆,例如,杆的一端由恒则其绕Oy中心轴的转动惯量为 定刚度的弹簧铰定,另一端是自由的的.因此,有必 h(x) d =r(x)dm=12 p(x)dr 要简明直接地提出细杆横振动普适的定解问题,并 导出本征频率与负载的位置和质量的一般关系 根据这个物理模型结合测量加载均匀杆的共振 频率,我们提出一种动态测量杆的杨氏模量的新方 法.我们通过在杆上不同位置加载砝码或同一位置 加载不同质量的砝码来改变杆的共振频率,并通过 光电门输出信号到示波器来测量共振频率,从而根 据我们的理论模型求出杆的杨氏模量.动态法弥补 图1均质杆的截面图 了静态弯曲法对脆性材料无法测量的缺点.由于传 统动态法仅是我们模型中的无负载特例,所以我们弹性杆在横向变形时,各个横截面上均存在切力,即 提出的方法更具有普适性,且在不易改变样品长度剪应力.设体元左端横截面上的剪应力为Q(x,t) 时具有优势 (方向向下),右端为Q=Q(x,t)+a,Q(x,t)dx(方 向向上).这两种剪力组成力偶,使杆发生弯曲.均 收稿日期:2014-12-22;修回日期:2015-02-04 基金项目:国家物理学基础科学研究人才培养基金项目(J03204)资助 作者简介:徐珏(1993—),男,上海人,复旦大学核科学与技术系2012级本科生 21994-2015ChinaAcademicJOurnalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net

第 34 卷第 7 期 大 学 物 理 Vol． 34 No． 7 2015 年 7 月 COLLEGE PHYSICS July 2015 收稿日期: 2014 － 12 － 22;修回日期: 2015 － 02 － 04 基金项目: 国家物理学基础科学研究人才培养基金项目(J1103204)资助 作者简介: 徐珏(1993—)，男，上海人，复旦大学核科学与技术系 2012 级本科生． 负载动态法测均匀细杆杨氏模量的理论与方法 徐 珏1 ，陈元杰2 ，马永利2 (1． 复旦大学 核科学与技术系，上海 200433; 2． 复旦大学 物理系，上海 200433) 摘要: 推导了细杆作横振动时其数理方程定解问题的一般形式，求出了加载均匀细杆横振动频率关于负载位置和负载质 量的严格解，并据此提出了一种动态测量均匀杆杨氏模量的方法． 还用实验验证了该理论，由此测得的杨氏模量与传统弯曲 法测得的结果基本一致． 关键词: 共振频率;动态法;杨氏模量 中图分类号: O 4 － 33 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2015)07-0039-05 在现行的大学物理的振动与波的教学实践中， 例如音叉的振动问题，通常将实验原理的理论模型 简化为单个振子的受迫共振． 实际上音叉的双臂是 由弹性杆组成，需要研究其横振动． 现行的数学物理 方法教课书中仅仅将弹性细杆的纵振动问题进行系 统讲解而其横振动极少涉及． 南京大学梁昆淼先生 的旧版数学物理方法［1］导出了弹性弯曲细杆的横 振动方程，但是存在印刷错误． 修订版［2］虽然订正 了这个错误，但是略去了推导过程． 振动力学［3，4］作 为力学专业的专业基础课，细杆的横振动的推导过 程过于简洁． 在专题教课书中［5］，细杆的横振动的 定解问题已经系统地提出来了，但仅仅给出了几种 特殊情况下定解问题的解［6］． 例如，杆的一端由恒 定刚度的弹簧铰定，另一端是自由的［7］． 因此，有必 要简明直接地提出细杆横振动普适的定解问题，并 导出本征频率与负载的位置和质量的一般关系． 根据这个物理模型结合测量加载均匀杆的共振 频率，我们提出一种动态测量杆的杨氏模量的新方 法． 我们通过在杆上不同位置加载砝码或同一位置 加载不同质量的砝码来改变杆的共振频率，并通过 光电门输出信号到示波器来测量共振频率，从而根 据我们的理论模型求出杆的杨氏模量． 动态法弥补 了静态弯曲法对脆性材料无法测量的缺点． 由于传 统动态法仅是我们模型中的无负载特例，所以我们 提出的方法更具有普适性，且在不易改变样品长度 时具有优势． 1 理论模型 设细杆的长度为 l，平衡时处于 x 轴上． 设杆的 宽度 y = w(x)和厚度 z = h(x)，则杆的横截面面积 S(x) = w(x)h(x)． 该横截面的回旋半径 r(x)满足 r 2 (x) = 2 h(x) ∫ 1 2 h(x) 0 z 2 dz = h2 (x) 12 均匀杆的横截面如图 1 所 示． 设 杆 的 体 密 度 为 ρ(x)，则杆的质量为 m = ∫ l 0 ρ(x)S(x)dx． 取体元 dτ = S(x)dx 和体元质量 dm = ρ(x) dτ， 则其绕 Oy 中心轴的转动惯量为 dIyy = r 2 (x)dm = h(x) 12 ρ(x)dτ 图 1 均质杆的截面图 弹性杆在横向变形时，各个横截面上均存在切力，即 剪应力． 设体元左端横截面上的剪应力为Q(x，t) (方向向下)，右端为 Q' = Q(x，t) + xQ(x，t) dx(方 向向上)． 这两种剪力组成力偶，使杆发生弯曲． 均

大学物理 第34卷 匀杆的形变截面如图2所示.设弹性杆离开平衡位 置的位移量(在z方向)为a(x,t),则此弯曲的曲率 (M+M)-M=Qdx-Qdxc +m(x,t)dx +p(x)dwudx adx 半径为R=[+(a,u)23/a2a.杆弯曲时,它的中 (1) 线长度dx不变.但中线以上被拉长,受到了邻段的略去二阶小量,曲率半径的倒数简化为R 张力;中线以下被压缩,受到了邻段的压力于是在0(x,1),方程(1)简化为 杆的每一截面上呈现出张力和压力组成的力偶,其 a, M(x,t)=Q(x,t)+m(x, t) (2) 力矩叫做弯矩.设体元左端的弯矩为M(x,)(顺时横振动方向的力平衡方程为(不计重力) 针方向);右端为M=M(x,t)+a,M(x,t)dx(逆时 (x)a2u(x, t) 针方向).这种弯矩抵抗着弯曲,使体系处于动力学 S(1)0Q(x,)+f(x,t)(3) 平衡状态.均匀杆的受力如图3所示 将式(2)和式(3)联立成一般的运动方程 (x)2(x,D)+3(x2.s(x)F(x)2a(,0]= f(x,)-a,m(, (4) s(x) 对于在x处有负载质量为m的质点之均匀杆,方程 (4)化简为 au(xi*2+s8(x-x)] u(x,t)=0, (0≤x≤l,0<x<l,0≤t<∞) (5) 由于是简正振动,所以设u(x,t)=X(x)em.取 无量纲自变量x=x/(0≤x≤1)和无量纲负载质点 图2均质杆形变的截面图图 位置x=x〃,则位移函数X(x)满足 X"(x)=41+"8(x-x)x(x)(6) (x ndr 其中k是无量纲动量参数,它满足k=2a2,简正 振动圆频率 (7) 边界条件和连接条件具体如下 x=0端固定,X(0)=X(0)=0 图3均质杆受力图 x=l端自由,x(1)=x"(1)=0,(x<1)(9) "(x)有一个跳变 在体元内距长为dx的中线z处取薄层,其厚度 (0<x<1) 为dz,宽度为v(x),则薄层长度为(R+z)d=dx+ zdx/R.该薄层相对伸长为z/R,张应力为P=-Y/R (10 (Y为杨氏模量).由于元横截面积为vdz,所以元张 负载于端点x=L,式(9)和式(10)分别变为 力为dG=Pd.元弯矩为dM=zdG=-Y2d/R, x"(1)=0;-X"(1)=k4x(1)(11) 弯矩为M=-YJ/R,其中J=/=2nd=s(x)2(x)(与方程(1)相比,文献]中方程(1b)少了一个 为截面S(x)对中心轴(Oy)的单位质量的惯性矩.负号) 体元dr的惯性力为-p(x)audr,所受外力 当0<x<1时,跳变两边还有连接条件 为f(x,t)dr,外加弯矩为m(x,t)dx,则对于左中心 X(x2)=X(x);X(x2)=X(x;) C之力矩平衡的方程有 X"(x2)=X"(x:) (12) 在有限区间0≤x≤1,方程(6)由4个独立的 cos kx, 线性组合而成避开δ(x-x) 21994-2015ChinaAcademicJOurnalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net

40 大 学 物 理 第 34 卷 匀杆的形变截面如图 2 所示． 设弹性杆离开平衡位 置的位移量(在 z 方向)为 u(x，t)，则此弯曲的曲率 半径为 R =［1 + (xu)2 ］3 /2 / 2 xx u． 杆弯曲时，它的中 线长度 dx 不变． 但中线以上被拉长，受到了邻段的 张力;中线以下被压缩，受到了邻段的压力． 于是在 杆的每一截面上呈现出张力和压力组成的力偶，其 力矩叫做弯矩． 设体元左端的弯矩为 M(x，t) (顺时 针方向);右端为 M' = M(x，t) + xM(x，t) dx(逆时 针方向)． 这种弯矩抵抗着弯曲，使体系处于动力学 平衡状态． 均匀杆的受力如图 3 所示． 图 2 均质杆形变的截面图图 图 3 均质杆受力图 在体元内距长为 dx 的中线 z 处取薄层，其厚度 为 dz，宽度为 w(x)，则薄层长度为(R + z)dθ = dx + zdx /R． 该薄层相对伸长为 z/R，张应力为 P = － Yz/R (Y 为杨氏模量)． 由于元横截面积为 wdz，所以元张 力为 dG = Pwdz． 元弯矩为 dM = zdG = － Yz 2 wdz/R， 弯矩为 M = － YJ /R，其中 J = ∫ z 2 wdz = S( x) r 2 ( x) 为截面 S(x)对中心轴(Oy)的单位质量的惯性矩． 设体元 dτ 的惯性力为 － ρ(x)  2 tt udτ，所受外力 为 f(x，t)dτ，外加弯矩为 m( x，t) dx，则对于左中心 C 之力矩平衡的方程有: (M + M') － M =Q'dx －QdxC + m(x，t)dx + ρ(x) 2 ttudx 1 2 dx (1) 略去二 阶 小 量，曲率半径的倒数简化为 R － 1 ≈  2 xxu(x，t)，方程(1)简化为 xM(x，t) = Q(x，t) + m(x，t) (2) 横振动方向的力平衡方程为(不计重力) ρ(x) 2 ttu(x，t) = 1 S(x)xQ(x，t) + f(x，t) (3) 将式(2)和式(3)联立成一般的运动方程: ρ(x) 2 ttu(x，t) + Y S(x) 2 xx ［S(x)r 2 (x) 2 xxu(x，t)］= f(x，t) － x m(x，t) S(x) (4) 对于在 x'处有负载质量为 m'的质点之均匀杆，方程 (4)化简为  4 xxxxu(x，t) + 1 Yr 2 ［ρ + m' S δ(x － x')］ 2 ttu(x，t) = 0， (0≤x≤l，0 ＜ x' ＜ l，0≤t ＜ ∞ ) (5) 由于是简正振动，所以设 u(x，t) = X(x) eiwt ． 取 无量纲自变量x — = x /l(0≤x —≤1)和无量纲负载质点 位置x —' = x' /l，则位移函数 X( x —)满足 X'( x —) = k 4 1 + m' m δ( x — － x —' [ ] ) X( x —) (6) 其中 k 是无量纲动量参数，它满足 k 4 = ρl 4 Yr 2 ω2 ，简正 振动圆频率 ω = r l 2 Y 槡ρ k 2 (7) 边界条件和连接条件具体如下: x = 0 端固定， X(0) = X'(0) = 0 (8) x = l 端自由， X″(1) = X(1) =0， ( x —' ＜1) (9) X( x —')有一个跳变: X( x —' + ) － X( x —' － ) = m' m k 4 X( x —')， (0 ＜ x —' ＜ 1) (10) 负载于端点 x' = l，式(9)和式(10)分别变为: X″(1) = 0; － X(1) = m' m k 4 X(1) (11) (与方程(11)相比，文献［8］中方程(1b)少了一个 负号)． 当 0 ＜ x —' ＜ 1 时，跳变两边还有连接条件: X( x —' － ) = X( x —' + ); X'( x —' － ) = X'( x —' + ); X″( x —' － ) = X″( x —' + ) (12) 在有限区间0≤x —≤1，方程(6)由4 个独立的cos kx —， sin kx —，coshkx —，sinhkx —线性组合而成． 避开 δ( x — － x —')

第 徐珏,等:负载动态法测均匀细杆杨氏模量的理论与方法 函数发散点x=x,方程(6)的分段解为 即为传统动态法测杨氏模量的公式圆 X(x)=A(cosh kx-cos kx)+ B(sinh kx-sin kx),(0 )(13) 2实验方法及数据处理 X(x)=C cosh kx +D cos kx+ 2.1实验仪器及方法 I sinh kx+ I sin kx,(x≤x≤1)(14) 实验装置由以下元件组成:示波器、铁架台、光 从边界条件式(9)得 电门一对、铁和铜均匀杆各一根、磁铁砝码若干、底 k2x,(1)= C cosh k- D cos k+ I sinh k- J sin k=0座连接方式如图4. (15) k-X(1)=C sinh k+D sin k+I cosh k-J cos k=0 (16) 令k=kx,从连接条件式(12)得 A(cosh k"-cos k )+B(sinh k'-sin k)= C cosh k"+D cos k+I sinh k +J sin k(17) A(sinh k +sin k)+B(cosh k'-cos k)= C sinh k-D sin k+I cosh k +J cos k(18) A(cosh k +cos k)+B(sinh k "+sin k)= C cosh k"-D cos k +I sinh k-J sin k(19) 1.示波器;2.铁架台;3.光电门;4.均匀杆:5.磁铁;6.底座 从在x<1的跳变,即式(10)得到 图4实验装置简图 Csinh k+Dsin k Cosh k'-Jcos k'= 底座用来固定均匀杆.当杆振动时,光电门用来 kma( (cosh k2-csk)+B(sihk-sink2](20)记录杆挡光的时间间隔,并输出电压信号到示波器 光电门的工作原理是光照度改变使光敏电阻阻值发 上述6个方程,即式(15)一式(20)组成了由6个系生改变,从而引起光敏电阻两端电压的改变.光电门 数作为变量的线性齐次代数方程组,其物理变量为端有个线性光源,另一端有个光敏电阻门中无物 m/m和x/,待求参量为k.此方程组存在非零解的体阻挡时光照射到光敏电阻上,使得阻值减小,光敏 条件是其行列式为零,k满足 电阻两端为低电压.当门中有物体阻挡时,光敏电阻 2 (1+cos cosh k)=sin k' cosh k'-cos k 'sinh k 受到的光照度减小,使得电阻增大,光敏电阻两端为 高电压.然后在示波器上观察电压信号的周期变化, sinh(k-k)cos(k-k)-sin (k-k)cosh (k-k)+ 就可读出杆的振动周期和频率 sin kosh k cosh (k-k)-sinh kcos kcos (k-k?) 首先在杆x处的y方向两侧对称地加载两个小 (21) 磁铁块,然后轻轻敲击杆使其作横振动.当杆开始振 当取无限大刚度的弹簧铰定杆的端点时,方程(20)动时,既有基频又有高次谐波频率但是频率越高的 就是文献中的方程(6)(C=∞).由此解得本征振动衰减越快,只需等待片刻后,杆便以基频振动 值k=kn(x/,m/m),(n=0,1,2,…).则 这时观察示波器上的波形,找到振动的基频并且记 k2(x/,m/m)(22)录下来在相同位置两侧再各加一个小磁铁块,测量 其基频,以次类推,得到不同负载质量对应的振动基 特殊情况下,当负载于x′=l端点,方程(21)简化为 频对于确定的x,由方程(21)数值解出不同负载 1+ cos cosh k=km( (sin kosh k- cos sinh)(23)质量对应的本征值k.根据式(2)可知基频与k2成 方程(23)就是文献⑧]中方程(7),但是m1前多了正比,用最小二乘法拟合振动周期和本征值2的线 一个负号这使得本征频率随着m的增加而减少的性关系,从而得到杨氏模量Y 物理行为变成相反(见文献⑧]中表1).在没有负 同理,保持磁铁块个数不变,改变磁铁块的位 载情况下(m=0),方程(23)进一步简化为1+置,一方面每隔2m测量一个数据.另一方面由方 cos cosh h=0.数值解出k值得y=38.322h2,程(21)计算出负载在不同位置的本征值k,从而线 性拟合以得到杨氏模量Y 21994-2015ChinaAcademicJOurnalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net

第 7 期 徐 珏，等:负载动态法测均匀细杆杨氏模量的理论与方法 41 函数发散点x — = x —'，方程(6)的分段解为: X ＜ ( x —) = A(cosh kx — － cos kx —) + B(sinh kx — － sin kx —)， (0≤x —≤x —' － ) (13) X ＞ ( x —) = C cosh kx — + D cos kx — + I sinh kx — + J sin kx —， ( x —' + ≤x —≤1) (14) 从边界条件式(9)得 k － 2 X″＞ (1) = C cosh k － D cos k + I sinh k － J sin k = 0 (15) k － 3 X＞ (1) = C sinh k + D sin k + I cosh k － J cos k = 0 (16) 令 k' = kx —'，从连接条件式(12)得: A(cosh k' － cos k') + B(sinh k' － sin k') = C cosh k' + D cos k' + I sinh k' + J sin k' (17) A(sinh k' + sin k') + B(cosh k' － cos k') = C sinh k' － D sin k' + I cosh k' + J cos k' (18) A(cosh k' + cos k') + B(sinh k' + sin k') = C cosh k' － D cos k' + I sinh k' － J sin k' (19) 从 X在x —' ＜ 1 的跳变，即式(10)得到 － A(sinh k' － sin k') － B(cosh k' + cos k') + Csinh k' + Dsin k' + Icosh k' － Jcos k' = k m' m［A(cosh k' － cos k') + B(sinh k' － sin k')］(20) 上述 6 个方程，即式(15)—式(20)组成了由 6 个系 数作为变量的线性齐次代数方程组，其物理变量为 m' /m 和 x' /l，待求参量为 k． 此方程组存在非零解的 条件是其行列式为零，k 满足 2m m'k (1 + cos kcosh k) = sin k'cosh k' － cos k'sinh k' + sinh (k － k')cos (k － k') － sin (k － k')cosh (k － k') + sin kcosh k'cosh (k － k') － sinh kcos k'cos (k － k') (21) 当取无限大刚度的弹簧铰定杆的端点时，方程(20) 就是文献［7］中的方程(6) (C = ∞ )． 由此解得本征 值 k = kn (x' /l，m' /m) ，(n = 0，1，2，…)． 则 ωn = r l 2 Y 槡ρ k 2 n (x' /l，m' /m) (22) 特殊情况下，当负载于 x' = l 端点，方程(21)简化为 1 + cos kcosh k = k m' m (sin kcosh k － cos ksinh k) (23) 方程(23)就是文献［8］中方程(7)，但是 m'前多了 一个负号． 这使得本征频率随着 m'的增加而减少的 物理行为变成相反(见文献［8］中表 1)． 在没有负 载情况下( m' = 0)，方程(23) 进一步简化为 1 + cos kcosh k = 0． 数值解出 k 值得 Y = 38． 32l 4 ρf 2 /h2 ， 即为传统动态法测杨氏模量的公式［9］． 2 实验方法及数据处理 2． 1 实验仪器及方法 实验装置由以下元件组成:示波器、铁架台、光 电门一对、铁和铜均匀杆各一根、磁铁砝码若干、底 座． 连接方式如图 4． 1． 示波器;2． 铁架台;3． 光电门;4． 均匀杆;5． 磁铁;6． 底座 图 4 实验装置简图 底座用来固定均匀杆． 当杆振动时，光电门用来 记录杆挡光的时间间隔，并输出电压信号到示波器． 光电门的工作原理是光照度改变使光敏电阻阻值发 生改变，从而引起光敏电阻两端电压的改变． 光电门 一端有个线性光源，另一端有个光敏电阻． 门中无物 体阻挡时光照射到光敏电阻上，使得阻值减小，光敏 电阻两端为低电压． 当门中有物体阻挡时，光敏电阻 受到的光照度减小，使得电阻增大，光敏电阻两端为 高电压． 然后在示波器上观察电压信号的周期变化， 就可读出杆的振动周期和频率． 首先在杆 x'处的 y 方向两侧对称地加载两个小 磁铁块，然后轻轻敲击杆使其作横振动． 当杆开始振 动时，既有基频又有高次谐波频率． 但是频率越高的 振动衰减越快，只需等待片刻后，杆便以基频振动． 这时观察示波器上的波形，找到振动的基频并且记 录下来． 在相同位置两侧再各加一个小磁铁块，测量 其基频，以次类推，得到不同负载质量对应的振动基 频． 对于确定的 x'，由方程(21)数值解出不同负载 质量对应的本征值 k． 根据式(22)可知基频与 k 2 成 正比，用最小二乘法拟合振动周期和本征值 k 2 的线 性关系，从而得到杨氏模量 Y． 同理，保持磁铁块个数不变，改变磁铁块的位 置，一方面每隔 2 mm 测量一个数据． 另一方面由方 程(21)计算出负载在不同位置的本征值 k，从而线 性拟合以得到杨氏模量 Y．

大学物理 第34卷 2.2改变负载质量 表1均匀杆Fe的振动周期和本征值k2与 负载质量关系的测量数据和计算数值 62656 fH8.2647.3966.7386.2655.889 m/m0.7821.1721.563 542.3454 k2|2.63402.38292.19162.03971.9157 表2均匀杆Cu的振动周期和本征值k2与 负载质量关系的测量数据和计算数值 图6均匀杆Cu的振动周期与本征值2的关系 fH6.2155.5865.1384.7614.424 2.3改变负载位置 表3均匀杆Fe的振动周期和本征值k2与 m/m0.83151.2471.6632.079 2.494 负载位置关系的测量数据和计算数值 2.66952.42312.23332.08201.9576 f/H45.7936.2736.8397.6688.3899.1429.80310.41 x/|242622/2620/2618/2616/2614/2612/2610/26 k2l.83152.00562.19842.40932.63402.86363.08173.2664 由式(2)1=,其中斜率4=2m√图 5拟合得到的斜率=3.317±0.055,推出Y 表4均匀杆Cu的振动周期和本征值k2与 12(3.317P2m/h)2p根据实验数据l=0.26m,h= 负载位置关系的测量数据和计算数值 1.020x 10-3m,得到r=2.945×10-4m.测得铁的密 度p=7.90×10°kg/m3,得到杨氏模量I=(1.81mH4.3474745.2085.727624267657.363771 ±0.03)×10N/m x/24/26222620/2618/2616/2614/2612/2610/26 k21.87272.047223952.44832.665.893310832802 图7拟合得到的斜率《=3.266±0.040.根据 7. 测得的各参量,得到杨氏模量Y。=(1.75±0.02) 10N/m2 同理,图8拟合得到的斜率得到=2.420± 0.023,杨氏模量Ym=(1.00±0.01)×10N/m2 1.92.02.12.22.32.42.52.62.7 图5均匀杆Fe的振动周期与本征值k2的关系 同理,图6拟合得到的斜率=2.494±0.027 根据实验数据l=0.26m,h=1.027×10-m,得到r= 2.965×10-m.测得铜的密度p=8.34×103kg/m3 得到杨氏模量Y=(1.061±0.01)×10N/m2 图7均匀杆Fe的振动周期与本征值k2的关系 21994-2015ChinaAcademicJOurnalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net

42 大 学 物 理 第 34 卷 2． 2 改变负载质量 表 1 均匀杆 Fe 的振动周期和本征值 k2 与 负载质量关系的测量数据和计算数值 f /Hz 8． 264 7． 396 6． 738 6． 265 5． 889 m' /m 0． 782 1． 172 1． 563 1． 954 2． 345 4 k 2 2． 634 0 2． 382 9 2． 191 6 2． 039 7 1． 915 7 表 2 均匀杆 Cu 的振动周期和本征值 k2 与 负载质量关系的测量数据和计算数值 f /Hz 6． 215 5． 586 5． 138 4． 761 4． 424 m' /m 0． 831 5 1． 247 1． 663 2． 079 2． 494 k 2 2． 669 5 2． 423 1 2． 233 3 2． 082 0 1． 957 6 由式(22)得 f = ζk 2 ，其中斜率 ζ = r 2πl 2 Y 槡ρ ． 图 5 拟合 得 到 的 斜 率 ζ = 3． 317 ± 0． 055，推 出 Y = 12 (3． 317l 2 2π/h)2 ρ． 根据实验数据 l = 0． 26 m，h = 1. 020 × 10 － 3 m，得到 r = 2． 945 × 10 － 4 m． 测得铁的密 度ρ = 7． 90 × 103 kg /m3 ，得到杨氏模量 YFe = (1． 81 ± 0. 03) × 1011 N/m2 ． 图 5 均匀杆 Fe 的振动周期与本征值 k 2 的关系 同理，图 6 拟合得到的斜率 ζ = 2． 494 ± 0． 027． 根据实验数据 l =0． 26 m，h =1． 027 ×10 － 3 m，得到 r = 2. 965 ×10 － 4 m． 测得铜的密度 ρ = 8． 34 × 103 kg /m3 ， 得到杨氏模量 YCu = (1． 061 ±0． 01) ×1011 N/m2 ． 图6 均匀杆 Cu 的振动周期与本征值 k 2 的关系 2． 3 改变负载位置 表 3 均匀杆 Fe 的振动周期和本征值 k2 与 负载位置关系的测量数据和计算数值 f /Hz 5． 793 6． 273 6． 839 7． 668 8． 389 9． 142 9． 803 10． 41 x /l 24 /26 22 /26 20 /26 18 /26 16 /26 14 /26 12 /26 10 /26 k 2 1． 83152． 00562． 19842． 40932． 63402． 86363． 08173． 2664 表 4 均匀杆 Cu 的振动周期和本征值 k2 与 负载位置关系的测量数据和计算数值 f /Hz 4． 347 4． 784 5． 208 5． 727 6． 242 6． 765 7． 363 7． 751 x /l 24 /26 22 /26 20 /26 18 /26 16 /26 14 /26 12 /26 10 /26 k 2 1． 87272． 04722． 23952． 44832． 66952． 89333． 10383． 2802 图 7 拟合得到的斜率 ζ = 3． 266 ± 0． 040． 根据 测得的各参量，得到杨氏模量 YFe = (1． 75 ± 0． 02) × 1011 N/m2 ． 同理，图 8 拟合得到的斜率得到 ζ = 2． 420 ± 0. 023，杨氏模量 YCu = (1． 00 ± 0． 01) × 1011 N/m2 ． 图 7 均匀杆 Fe 的振动周期与本征值 k 2 的关系

第7期 徐珏,等:负载动态法测均匀细杆杨氏模量的理论与方法 2.5两种方法的测算结果对比 877 表5两种方法测算的杨氏模量 不同方法 静态法 改变负 改变负 Y×10/(N·m2)载质量载位置 弯曲法 Fe 1.81±0.031.75±0.021.79±0.02 401.8202242.628303234 1.06±0.011.00±0.011.07±0.02 图8均匀杆Cu的振动周期与本征值k2的关系 通过上表可以看出动态法和弯曲法测得的杨氏 模量之间误差最大为5%,其余均在2%左右.所以 2.4弯曲法测杨氏模量 本文提出的方法可以作为测量杨氏模量的新方法 弯曲法测杨氏模量是实验室最常用的方法,其杆横截面的有效半径为√h/r=0.0027m<<l 原理不再赘述.加载质量和形变量的关系为A=0.26m,细杆模型成立由上表也可以看出,改变负 zmE,作线性拟合可以得到斜率k=4huy 载质量要比改变负载位置更接近静态弯曲法测得的 dg,其中 杨氏模量.原因有两个:1)细杆质量m=48.12 d=0.23m为两刀口的间距,=0.023m,g为重力10-3kg与负载质量m=(10~90)×10-3kg相当; 加速 2)在理论模型中将砝码看作一个质点,用狄拉克 由图9和图10拟合得到的斜率为91.76和6(x-x)函数表示但是实际的情况下,砝码具有 150.86,分别得到杨氏模量Y。=(1.79±0.02)×定宽度.当砝码接近固定端时,这种误差会比较明 10N/m2,Y=(1.07±0.02)×10N/m2 显.因此我们可以选取在靠近自由端加载砝码并改 变砝码的质量,这样可以减小由砝码宽度和砝码的 质量引起的误差 3总结 我们推导了杆作横振动时定解问题的一般形式 和求出了加载均匀杆横振动频率关于负载位置和负 载质量的严格解,并根据这个模型提出了一种动态 测量均匀杆杨氏模量的新方法.该方法避免了弯曲 (△Z03)m 法拉伸时载荷大、存在驰豫过程、对脆性材料无法测 量等缺点;相比传统动态法测量杨氏模量,本方法不 图9均匀杆Fe的形变量与负载质量的关系 需要改变样品长度,只需要改变负载的位置和质量 在测量大型杆或不易改变杆的长度时具有较大的优 势.我们用实验验证了该理论,由此测得的杨氏模量 与传统弯曲法测得的结果基本一致 参考文献 D]梁昆淼.数学物理方法DM].2版.北京:人民教育出 版社,1978:166-6 ]梁昆淼.数学物理方法咖M].4版刘法,繆国庆,修订 4,04.24,44,6 北京:高等教育出版社,2010 (△Z103)m B]倪振华.振动力学[M].陕西:西安交通大学出版社 1989:365370 图10均匀杆Cu的形变量与负载质量的关系 (下转60页 21994-2015ChinaAcademicJOurnalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net

第 7 期 徐 珏，等:负载动态法测均匀细杆杨氏模量的理论与方法 43 图8 均匀杆 Cu 的振动周期与本征值 k 2 的关系 2． 4 弯曲法测杨氏模量 弯曲法测杨氏模量是实验室最常用的方法，其 原理不再赘述． 加载质量和形变量的关系为 Δz = d3 m'g 4h3 wY ，作线性拟合可以得到斜率 k = 4h3 wY d3 g ，其中 d = 0． 23 m为两刀口的间距，w = 0． 023 m，g 为重力 加速度． 由图 9 和图 10 拟合得到的斜率为 91． 76 和 150． 86，分别得到杨氏模量 YFe = (1． 79 ± 0． 02) × 1011 N/m2 ，YCu = (1． 07 ± 0． 02) × 1011 N/m2 ． 图 9 均匀杆 Fe 的形变量与负载质量的关系 图 10 均匀杆 Cu 的形变量与负载质量的关系 2． 5 两种方法的测算结果对比 表 5 两种方法测算的杨氏模量 不同方法 Y × 1011 /(N·m － 2 ) 动态法 改变负 载质量 改变负 载位置 静态法 弯曲法 Fe 1． 81 ± 0． 03 1． 75 ± 0． 02 1． 79 ± 0． 02 Cu 1． 06 ± 0． 01 1． 00 ± 0． 01 1． 07 ± 0． 02 通过上表可以看出动态法和弯曲法测得的杨氏 模量之间误差最大为 5% ，其余均在 2% 左右． 所以 本文提出的方法可以作为测量杨氏模量的新方法． 杆横截面的有效半径为 槡wh /π = 0． 002 7 m ＜ ＜ l = 0． 26 m，细杆模型成立． 由上表也可以看出，改变负 载质量要比改变负载位置更接近静态弯曲法测得的 杨氏模量． 原因有两个:1) 细杆质量 m = 48． 12 × 10 － 3 kg与负载质量 m' = (10 ～ 90) × 10 － 3 kg 相当; 2) 在理论模型中将砝码看作一个质点，用狄拉克 δ(x － x')函数表示． 但是实际的情况下，砝码具有一 定宽度． 当砝码接近固定端时，这种误差会比较明 显． 因此我们可以选取在靠近自由端加载砝码并改 变砝码的质量，这样可以减小由砝码宽度和砝码的 质量引起的误差． 3 总结 我们推导了杆作横振动时定解问题的一般形式 和求出了加载均匀杆横振动频率关于负载位置和负 载质量的严格解，并根据这个模型提出了一种动态 测量均匀杆杨氏模量的新方法． 该方法避免了弯曲 法拉伸时载荷大、存在驰豫过程、对脆性材料无法测 量等缺点;相比传统动态法测量杨氏模量，本方法不 需要改变样品长度，只需要改变负载的位置和质量， 在测量大型杆或不易改变杆的长度时具有较大的优 势． 我们用实验验证了该理论，由此测得的杨氏模量 与传统弯曲法测得的结果基本一致． 参考文献: ［1］ 梁昆淼． 数学物理方法［M］． 2 版． 北京: 人民教育出 版社，1978: 166-168． ［2］ 梁昆淼． 数学物理方法［M］． 4 版． 刘法，繆国庆，修订． 北京: 高等教育出版社，2010:121． ［3］ 倪振华． 振动力学［M］． 陕西:西安交通大学出版社 ， 1989: 365-370． (下转 60 页)