方一陆固物习题参考答案 1、布格子:每个原胞内只有一个原子的晶格或组成晶体结构的基元之结点:如 以Cl原子为结点,取面心交方晶胞,就是NaCl的布氏格子,金刚石结构中位于正 四面体中心的原子和顶角上的原子化学组份虽相同,但电子云配置方位不同,所以 是复式格子。 2、如以a1,a2,a3为正格子基矢则满足 aa=o·2x或b1=2xa2xa3 =g=a1·(a2×a3) 的b,b2,b3确定的格子叫a1,a2,a3晶格之倒格子,含a1a2座 标面为正晶格内原胞基矢a1,a2所决定之晶石,则对应晶石的 面间距为d,在a1a2法线上确定一长度p 令以=2x,当H=10,则得b1=2ma3x3 =±1± 则得相应格点 同理得b2=93×a1,_n41xa当相应的 Q =±1+2,…时,即相当于以b1,b2,b3原胞在倒易空间中平移即得整 个倒格点集合 3、体本心立方格子和面心立方格子互为正倒格子,试证明之。 设体心立方格子的结晶学晶胞( Convention cell)的基矢是a1,bc,令λ,j,k为 直角坐标的三个互垂直的单位矢 a=la, b=ja,c=ka
方一陆固物习题参考答案 1、布格子：每个原胞内只有一个原子的晶格或组成晶体结构的基元之结点：如 以 Cl 原子为结点，取面心交方晶胞，就是 NaCl 的布氏格子，金刚石结构中位于正 四面体中心的原子和顶角上的原子化学组份虽相同，但电子云配置方位不同，所以 是复式格子。 2、如以 为正格子基矢则满足。 ,, 321 →→→ aaa 同理得 当相应的 则得相应格点 令 当 则得 面间距为 在 法线上确定一长度 标面为正晶格内原胞基矢 所决定之晶石 则对应晶石的 的 确定的格子叫 晶格之倒格子 座含 或 Ω × = Ω × = ±±= Ω × = = = ×⋅=Ω= Ω × = Ω × ⋅=⋅ = →→ → →→ → →→ → →→ →→→ →→→ → →→→ →→ → →→ →→ → 31 3 13 2 32 1 213 21 321 321 21 3 321 13 2 32 1 2;2 ,2,1 2,10,2 , , , ,, ,, , ,2 )( 2 ,2 aa b aa b aa d b aad aa bbb aaa aa aaab aa b aa aa b ij ji π π μ μπμρ π ρ π πδ π LL . ,,2,1 ,, 321 个倒格点集合 时 即相当于以 原胞在倒易空间中平移即得整 →→→ μ ±±= LL bbb 3、体本心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。 设体心立方格子的结晶学晶胞（Convention cell ）的基矢是 令 为 直角坐标的三个互垂直的单位矢 ,, 11 →→→ cba →→→ λ ,, kj akcajbaia →→→→ → ,, === 49
这个体心立方格子的固体物理学原胞( Primitive cel)的三个基矢,按规定 定义 b1 b 2 a2×a a,×a 它们是倒点阵的固体物理学原胞 ( Primitive cell三个基矢 这个倒点阵的结晶学胞原( Convention cell))应当是显示其立方晶系对称 性的最小重复单元。设它的三个基矢b,b,b4则b,b,b组成面心立方晶胞。设它 们的是b 则b1=(j+k)b2==(R+i) 得b=-2r 结论基矢是a=ia,b=ja,C=ka,的体心立方为胞对应的倒格子是结晶系晶胞 为面心原胞,它的倒格子基矢 b b k =k 同样方法可证 面心立方正格原胞基矢如 a=i a 对应倒格子的结晶学原胞是体心立方晶胞,它的基矢 b b b
这个体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell）的三个基矢，按规定 )( 2 ),( 2 ),( 2 1 2 3 → →→→→ →→→→ →→→ ++=−−=++−= kj a akj a akj a a λ λ λ 的三个基矢 它们是倒点阵的固体物理学原胞 定义 (Primitive cell) )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 2 1 ,2: 3 2 1 2 32 3 321 2 3 32 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ += += += +=× =×⋅=Ω = = Ω × = → →→ → →→ → →→ →→ →→ →→→ → → →→ → ji a b ik a b kj a b kj a aa aaaa b b aa b π π π π 这个倒点阵的结晶学胞原（Convention cell）应当是显示其立方晶系对称 性的最小重复单元。设它的三个基矢 则 组成面心立方晶胞。设它 们的 是 b →→→ kji ,, bbb →→→ kji ,, bbb π π 2 2 , 2 2 )( 2 )( 2 )( 2 1 2 3 ⋅== += += += → →→ → →→ → →→ a b b a ji b biR b bkj b b 即 得 则 结论基矢是 的体心立方为胞对应的倒格子是结晶系晶胞 为面心原胞，它的倒格子基矢 akCajbaia ,,, →→→→ → === π π 2π 2 2 2 2 2 ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= →→ →→ →→ a kb a jb a i ib j k 同样方法可证： 面心立方正格原胞基矢如： akcajbaia 时 →→ →→ →→ = , = , = 对应倒格子的结晶学原胞是体心立方晶胞，它的基矢 π π 2π 2 2 2 2 2 ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= →→ →→ →→ a kb a jb a i ib j k 50
4、基矢a=ai,b=b,c=kc 晶面族(h,k,D的面间距为d 令a’,b,c为相应的倒基矢 b =a(b×c) Khk/=ha +kb+Ic d h 对于正交晶系为h=1,k=1,=0为简单指数时 d1 面间距较大的之 又因为某个晶体的原胞体积总是不变的,原胞体积g=dh·Ah;A为(h,k,D晶面 上面积元的面积(即h,k,1)晶面的二维晶格的原胞,晶格对应着固定的Ω,但是h k、l不同时,则对应着不同形状的二维原胞,dh愈大,则Ah愈小,密度一定,A小, 面密度大:因d大,二晶面互作用弱,易解理。所以解理面一般总是沿面密度大的(h, k,D面解理,即解理面,一般是简单指数的晶面。 5、对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如 求倒子基矢 X a
4、基矢 = = ⋅= ckcjbbiaa →→ →→ →→ , , 晶面族（h，k，l）的面间距为 d。 令 为相应的倒基矢 →→→ *** ,, cba 2 1 2 2 2 *** ,, * * * )()()( 2 )( 2 2 2 − → →→→ →→→ →→ → →→ → →→ → ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++== ++= ×⋅=Ω Ω × = Ω × = Ω × = c l b k a h K d clbkahK cba ac c cb b ba a hkl nkl lkh r π π π π 对于正交晶系为 h=1, k=1, l=0 为简单指数时 d100=a 面间距较大的之一 又因为某个晶体的原胞体积总是不变的，原胞体积Ω=dhkl·Ahkl；A为(h, k, l)晶面 上面积元的面积（即h, k, l）晶面的二维晶格的原胞，晶格对应着固定的Ω，但是h、 k、l不同时，则对应着不同形状的二维原胞，dhkl愈大，则Ahkl愈小，密度一定，A小， 面密度大；因d大，二晶面互作用弱，易解理。所以解理面一般总是沿面密度大的(h, k, l)面解理，即解理面，一般是简单指数的晶面。 5、对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如 → → → → → → →→ += +−= = kcaji a ajai a a1 2 3 2 3 2 2 3 2 求倒子基矢： 解： ;, 213 →→→ ⊥ aaa Y k r a3 r → → → → → → →→ +−= += == jai a a jai a a aaa 2 3 2 2 3 2 2 1 21 X j r a2 r a1 r i r 51
→→ =ck g=aa1×a3=3a2c h=2z22×a12z1+1ac)=i+ 同理可得:b2b3 7、把等体积的硬球堆成下列结构,求证球可能占据的最大体积和总体积之比。 解:(1)简立方a=2r 比 z 6 (2)体心立方体对角线=2r+r+r 体对角线=(a2+a2+a2) 简立方 2 比 ()8 (3)面心立方晶胞面对角线=4r 体心立方 2a2=16 比 (√r)33√832 (4)六角密积 原胞体积=/O441A2xC=a2xc 面心立方 令为球之半径:a=2c=(9.2r 比 44:()x.2r32 (5)金刚石: 参考P19图四面体原子互相接触,四面体所决定的立方体边长为,比立方体 的体对角线为4r,则由图(r)2=(号)2+(号)+(号) 比=(+6+4m)=85z 8、(x-射线)如x射线沿简立方晶胞的oz方向入射,求证:当
a j a iac a i ac j aa b ca a kca aaa 1 3 22 ) 3 2 ( 2 2 3 32 1 2 3 321 + ⋅+= Ω = Ω × = = =×⋅=Ω → → → → →→ → → → →→→ π ππ π →→ 32 同理可得 ,: bb 7、把等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大体积和总体积之比。 解：（1）简立方 a=2r 8 6 3 3 3 4 3 3 3 4 ππ π === r r a r 比 π π 8 3 )( 2 34 ( ) )2( 2 3 3 4 3 3 4 2 1 222 = × = = ++= ++= r r ar aaa rrr 比 体对角线 体心立方 体对角线 简立方 a →← （3）面心立方 晶胞面对角线=4r 体心立方 2383 2 )8( 4 162 8 3 3 3 4 2 2 π π π == × = = = r r rara 比 （4）六角密积 2)(4 23 2 2) 3 8 (2: 2 3 2 1 3 2 8 2 3 3 3 4 2 1 2 216 π π = ⋅⋅⋅ × = ⋅== = ×=× rr r r cra r caCAAOA 比 令 为球之半径 原胞体积 面心立方 （5）金刚石： 参考 P19 图四面体原子互相接触，四面体所决定的立方体边长为 2 a ，比立方体 的体对角线为 4r，则由图 2 2 2 2 2 2 2 )()()()4( aaa r ++= π π π π 16 3 44 )461( 8 3 3 3 8 3 3 4 3 3 3 4 2 1 3 2 1 = ⋅ = ⋅⋅⋅ = ⋅+⋅+ = a a a r 比 8、（x-射线）如 x 射线沿简立方晶胞的 oz 方向入射，求证：当 52
k+le 和CaB2=+k2 时,衍射线在y平面上,其中是衍射线和o方向的夹角 解:入射线S和衍射S之间夹角为20 (衍射线) 2dsin0=n令n=1 简立方面间距为 d (2) (2+k2+1P)k 因衍射线和入射线必在一个平面内, (已知条件之一) cosF2=cos(-20)=-cos26=-(1-2sin2-12+k2 得sn=/7 (3) 12+k 由(1)、(2)、(3)得 (4) 但衍射线的a和λ还必须满足第二条件 k212 上式与(4)式对比,可知必须h=0,而h=0的(h,k,1)面必须平行ox轴,即(ok)面 法线与ox轴垂直,令N射线S0∥OZ轴,所以衍射线S必在YZ面上Q,E,D 9、(x射线)在氯化钾晶体中,在0,0002022诸点:C在 22200.00诸点,试对衍射线面指数和衍射纯度的关系 解:kCl是复式格子 ∑∫ Chu + kv +h ∑Jsin2m( 令∫=f;f=f2
22 2 lk l l a + λ = 和 22 22 2 k kl Cos + + = λ β 时，衍射线在yz平面上，其中β2是衍射线和oz方向的夹角。 解：入射线 和衍射 0 S r S r 之间夹角为 2θ β 2 2θ s 衍射线 )( r 0 s r 2dsinθ=nλ 令 n=1 （1） 简立方面间距为： 2 1 222 ( lkh ) a dhkl ++ = （2） 因衍射线和入射线必在一个平面内， （已知条件之一） 22 22 2 2 cos )sin21(2cos)2cos( k kl + + =−−=−=−= λ θπβ θ θ 得 2 1 22 2 sin ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = kl l θ （3） 由（1）、（2）、（3） 得 2 1 2 222 1 22 ()( ) 2 hklkl l a +++ λ = （4） 法线与 轴垂直 令 射线 轴 所以衍射线 必在 面上 。 上式与 式对比 可知必须 的而 面必须平行 面即轴 但衍射线的 和 还必须满足第二条件 ox OZSN DEQYZS lkhhh oklox lk l a N a , ,// ,, ,)4( ),,(0,0 )(, 2 0 22 → → == = λ 9、( x射线) 在氯化钾晶体中，k + 在 0, 0, 0; ; 2 1 , 2 1 ,0; 2 1 ,0, 2 1 ;0, 2 1 , 2 1 诸点；Cl- 在 ,00 2 1 ,0 2 1 0, 2 1 2 1 2 1 诸点，试对衍射线面指数和衍射纯度的关系。 解： 是复式格子 Clk ] 1 2 2 2 * 2 ; ( ) (2sin ) 2cos ffff lwkvhu lwkvhunf nfFFFI k cl j jjj j jjj j hkhkl hkhk j == ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++ ++ ⎢ ⎣ ⎡ =⋅=∞ ∑ ∑ 令 π l ll π 53