Ihkoof+cosn(h+k)+cosn(h+)+cosnT(k+DI +f cosn(h+k+D)+cosnzl +conk+cosh]) G[+sinn(h+k)+sinn(h+D)+sinn(k+D +slsinnz(h+k)+sinnze+sink +sinnoh) 讨论 (1)当h,k,1只为整数时,包括sinr(h+k+1)的部分为0,不必考虑; (2)当mh,nk,m/中有一个为奇数,其它两个为偶数时=0, (3)当mh,nk,nP中有二个为奇数,一个为偶数时,=0, (4)当mh,mk,n全为奇或全为偶,衍射不为0,其中全为偶数时强度最大 10、(米勒指数)六角晶系中见P343,晶面常用四个指数(h,k,l,m)表示,它们 代表一个晶面在六角形半面基矢a1,a2,a3轴上的截距为aa2,a;在六度轴上的截 距为二,试写出0A43,A1A3B1B3,A2B2A和A1A2A34A3A4的面指数。 解:0A1A的截距为1,1,-,1,面指数为(1121 AA3B3B的截距为,1,-,∞面指数为(120) A2B2B34的截距为1,-1,∞,∞面指数为(1100) AA243A4A3A的截距为∞,∞,∞,1面指数为(0001) 补充1:试画出面心立方晶体(112)面上的原子分布图,并求出这个晶面上的二 维晶胞基矢 解:令a=ia∫.cc晶胞的基矢为a,b,c →b→c J a k a 平面ABCD为(12晶面,其中 c=ka D点为,,0,C点为0,0 把CD线如何上平移a,则C点 a= 移到原点0D点移到1,1,1 a 222 恰是立方晶胞的体心D’
{ [ ] [ ] } { [ ] [ ]}2 2 1 2 2 1 sinsinsin)(sin )(sin)(sin)(sin0 cos)(cos cos cos )(cos)(cos)(cos1 hnknnlkhnf lknlhnkhnf hnknlnlkhnf lknlhnkhnfI hk π πππ π π π π πππ π π π + +++++ +++++++ + +++++ +++∞ + + + l l 讨论： 当 全为奇或全为偶 衍射不为 其中全为偶数时强度最大。 当 中有二个为奇数 一个为偶数时 当 中有一个为奇数 其它两个为偶数时 当 只为整数时 包括 的部分为 不必考虑 ,,)4( ,0, ,,)3( , ;0, ,,)2( , ;0 ,,)1( ;,0)(sin, nlnknh nlnknh I nlnknh I lkh lkhn = = π ++ 10、（米勒指数）六角晶系中见 P343，晶面常用四个指数(h, k, l, m)表示，它们 代表一个晶面在六角形半面基矢 321 ,, aaar r r 轴上的截距为 l a k a h a 21 3 ,, ；在六度轴上的截 距为 m c ，试写出 的面指数。 654321522313131 ,,'0 和 AAAAAAABABBAAAA )1211(,1, 2 1 0: ,1,1 解 ′ AA 31 的截距为 − 面指数为 )1000(1,,, ,,1,1 )0011( , )0211( 2 1 ,1,1 654321 5522 1331 的截距为 面指数为 的截距为 面指数为 的截距为 面指数为 ∞∞∞ ∞∞− ∞− AAAAAA ABBA BBAA 补充 1：试画出面心立方晶体（1 1 2）面上的原子分布图，并求出这个晶面上的二 维晶胞基矢。 akc ajb ccfaia cba →→ →→ →→ →→→ = = :令解 = .. 晶胞的基矢为 ,, akc r r = a1 r aj r − ajar r = a2 r ajbc r r =− ; 2 1 ,0,0,0, 2 1 , 2 1 ,)211( 点为 点为 − 平面 为 其中晶面 D C ABCD 恰是立方晶胞的体心 。 移到原点 点移到 把 线如何上平移 点则 D D CD Ca ′ , 2 1 , 2 1 , 2 1 ,0 , 2 1 54
CD线是[l到族中的一个晶列,因为晶列的全同性∴三DC线在(112)量面内 距D原子最近的原子间距即体对角线它的长短和方向用a1表示 a1=a(i+j+k),它即是(112)面上二维晶胞基矢之一,以DA为二维 晶胞的另一基矢a2,显然 a2=(i-j) 因 这是一个长方形二维晶胞,以此晶胞在平面ABCD上做周期重复,即得(11 2)面上的原子分布 [注]:(1)a1,a2晶面是(112)晶族中通过原点0的那个晶面,因为族中所有 晶面都是完全相同的,所以研究晶面族中任意的一个就可以了 (2)(112)晶面上的其它形状的原胞,不能直接显示这个二维晶面上的原子 分布的正交对称性,但也可以得出同样的(112)上的原子分布图。 11、设晶体中每对原子的平均结合能力为4-B 平衡时,m=28×10米,其结合能力U=8×10焦耳,试计算A和B以及晶体的 有效弹性模量。 F: U(r)=A. r--Br; /o=2.8A 平衡时:6=0=B62-940 (1) r6=2.8×10米 (2) B=9A U(G)=-B62+8“=8×10焦耳 A=10-49.r9 (2)代入(3) A=101·0=(28×10-0米)”·10-(焦) ÷1.06×10-米”·焦
距 原子最近的原子间距即体对角线 它的长短和方向用 表示 线是 晶到族中的一个晶列 因为晶列的全同性 在线三 晶面内 . , 1 ]111[ , ])211([ → ∴ D a CD DC 1 )( ，它即是（1 1 → →→→ ++= kjiaa 2）面上二维晶胞基矢之一，以 DA为二维 晶胞的另一基矢 2 a r ，显然 )( 2 2 → →→ −= ji a a aa aa aa aa 2 2 3 0 1 2 21 21 = = =⋅ ⊥ → → →→ →→ 因 这是一个长方形二维晶胞，以此晶胞在平面 A B C D 上做周期重复，即得（1 1 2）面上的原子分布。 [注]：（1） 晶面是（1 1 →→ 21,aa 2）晶族中通过原点 0 的那个晶面，因为族中所有 晶面都是完全相同的，所以研究晶面族中任意的一个就可以了。 （2）（1 1 2）晶面上的其它形状的原胞，不能直接显示这个二维晶面上的原子 分布的正交对称性，但也可以得出同样的（1 1 2）上的原子分布图。 11、设晶体中每对原子的平均结合能力为 r B r A − 9 平衡时，n0=2.8×10-10米，其结合能力|U|=8×10-19焦耳，试计算A和B以及晶体的 有效弹性模量。 8 0 10 0 10 0 2 0 0 0 9 1 9 108.2 90: )(: 8.2; − − − − − − = ×= −== ∂ ∂ =−⋅= ArB r ArBrr r u ArBrrArU 米 平衡时 解 o （1） （2） 9 0 19 91 19 0 0 10 )( 1088 rA rBrrU ⋅= ×=+−= − − − − 焦耳 （3） ][1006.1 )(10)108.2(10 :)3()2( 9105 9 19910 0 19 焦米 米 焦 代入 ⋅×= ⋅×=⋅= − − − − & rA 55
B=9A3=9×10=9×28×10 2.52×10 K=v 设晶体为S·C 因 是晶体中每对原子的平均结合能 所以可令(r)= 设晶体结构为简立方 是每个原子平均能量asl(r) A B U=Nu K=V0(2)v=N du dr d 1 d d d「1dl1「d d dd 1=373」=31d(3)b+yad 因,=0第一项为0 1 d2u 1 dour K )R0 9Ar+ Br a2u =90Ar--2 Br 0Ar-I-2Br 104r-2-2B 将,A,B的值代入上式得K÷36×10“达因/cm 12、有一晶体,在平衡时的体积为V,原子间总相互作用能量为V,如果原子间 相互作用能由式
28 29 0 8 19 0 1052.2 108.291099 − − − − ×= ArB r & ××=×== : 2 )(, )( 9 9 3 2 2 0 0 设晶体结构为简立方 可令所以 因 是晶体中每对原子的 均平 结合能 设晶体为 N r B r A rV r B r A NrNuVCS v u VK V ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= − ⋅ == ∂ ∂ = •• ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ′′ ′ −== = = r B r Aru uuNU u NrvrV 9 3 3 2 1 2 )( ; 是每个原子平均能量 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−= ⎥ ⎦ ⎤ + ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅=⋅== ∂ ∂ =⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ = − 2 2 2 3 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 2 0 3 1 3 2 3 1 3 1 ) 3 1 ( 3 1 3 1 3 1 3 1 ;3 1 )( 0 0 dr d rdr d r r dr d dr d rdr d rdr d rdr d rdr d rdv d dr d rdr d dv dr dv d r dr du V u u V Nv v NVv v u VK V V 0 ,0 0 因 ∴= 第一项为 dr V du 11 3 2 2 10 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 4 0 3 0 290 9 )( 9 9 1 9 1 0 0 − − − − −= ∂ ∂ +−= ∂ ∂ ∂ ∂ = ′ = ′ = BrAr r u BrAr r u R r u v r dr ud rdr ud r rK r r [ ] [ ] 4 0 11 3 12 0 290 9 1 290 9 1 − − − − = BrAr =− − BrAr r K 11 2 将 o ,, BAr 的值代入上式得K & ×⋅= 达因/1063 cm 12、有一晶体，在平衡时的体积为V0，原子间总相互作用能量为V0, 如果原子间 相互作用能由式 56
V(r)=-a/r"+B/r"m 所表达,试证体积弹体模量可由(m/9)得出 解:设晶体为简立方晶胞,晶胞体积为y=3,晶体体积v=M3,晶体的结合能E 从1题可知k=5[E 如把(r)=-a/r2+B/rm理解为晶体内为某一原子,对其它原子总的作用能, 则E=(r) K B a =mn+1m-2+mm+) 原子间总相互作用能E0=U0=V() B 解:(1),(3把α,P为未知量,则得 B 把a,f值代入(2),再把(2)代入K的定义式 K=oU. 讨论:如把r(r)=-a+B理解为晶体内两个原子间的相互作用能:则晶体指 定参考原子,对晶体内全部原子的作用能是 为最近临原子距离,在S,C即单胞之边长 p()=∑犯a,时(-a)+(aR)"B ∑(a∑(风 令A=∑(an) B=∑(")
n m )( +−= βα rrrV 所表达，试证体积弹体模量可由 )9( 0 0 vmnU 得出 解：设晶体为简立方晶胞，晶胞体积为v=r 3 ，晶体体积v=Nr3 ，晶体的结合能E， 从 11 题可知 0 2 2 0 2 0 9 r r E v r K ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = 如把 n m )( +−= βα rrrV 理解为晶体内为某一原子，对其它原子总的作用能， 则 )( 2 → = rV N E [ ] )1()1( )2( 0 )1( ) 2 ( 9 2 2 2 2 )1( 0 1 0 2 2 0 2 0 0 0 0 −− −− + + +++−= ∂ ∂ −= = ∂ ∂ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ ∂ = n m r n m r r rmmrnn r v r m r n r u r v n v r K α β α β 原子间总相互作用能 )3( 2 )( 2 00 00 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − === mn rr N rV N UE βα N vr N vr n m m m n n 2 1 , 2 1 ,)3(),1(: :, 00 00 ⋅ − ⋅ = − α = β 解 把α β为未知量 则得 0 9 0 )2(),2(, U V mn K K = 把α β值代入 再把 代入 的定义式 讨论：如把 mn rr rV α β )( +−= 理解为晶体内两个原子间的相互作用能；则晶体指 定参考原子，对晶体内全部原子的作用能是 R：为最近临原子距离，在 S，C 即单胞之边长 { } [ ] m i m i n i n i m i i n i R a R a RarV Ra ∑∑ ∑ − − − − + − = ′ = +− ( )( )()(,)( α β α β 令 ∑ ∑ − − = = i m i i n αaA i )( βaB )( 57
(R) A B +;晶体体积=NR=V RR 10=(nn+n)=F(R0) E 3P(R.其它步骤同上,从E0=(R)=V aR=0,解出A,B再把,B代入 K R[G(R即得 13、已知有N个子组成的NaCl晶体,其结合能为 N ae- B 令若干排斥项夕由Cexp(-rl)来代替,且当晶体处于平衡时,这两者对垂作用 势能的贡献相同,试求出n与p的关系 N「ce2 解:V(r)= 2 4TEor 0 E 由已知条件B/n=Cexp(-) (2)代入(1) B )-02+2 4. )B 14、试证一维离子晶体的F2ln2 0 0 解:令某个正离子“0”为原点
即得 和 解出 再把 代入 其它步骤同上 从 晶体体积 0 0 2 2 2 0 2 0 0 00 0 00 0 0 3 0 )( ,,,0 )( )( 2 ),( , 2 )( 2 )( 2 )( ; R N R mn mn R RV aV R K BABA R RV VRV N RV E N E RV N R B R AN V VNR R B R A RV ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ′ = = ∂ ∂ ′ = ′ = ′ = =+ ′ − = + == − ′ = 13、已知有 N 个子组成的 NaCl 晶体，其结合能为 ) 4 ( 2 )( 0 2 n rrE eN rV β π α −= − 令若干排斥项 n r β 由 Cexp(-r/ρ)来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对垂作用 势能的贡献相同，试求出 n 与ρ的关系 )5(0 1 )4/(0 )exp( )/exp( 42 )(: 2 0 00 2 0 2 0 = − ⋅ − ∴= −⋅ ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= −− − ρρ πεα ρ πε α r Cre r V rC r eN rV r 解 由已知条件 )exp( 0 0 ρ r C r B n − = (2) （2）代入（1）： n n r e f rr e − − − − = ⋅ =+− 2 0 1 0 2 0 2 0 0 2 ) 4 ( ) 0 4 ( β πε α ρ β πε α 14、试证一维离子晶体的μ=2ln2 3 0 2 0 1 0 "0" 0 00 0 + − + − −+ 14243R 解：令某个正离子“0”为原点 58