第五公設證明的失敗 下面是一些嘗試去用歐氏其它公理去證明 第五公理的人 Lambert o Ptolemy(90-168) o Proles(410-485) o Nasir al din al tusi ( 1201-1274) o Levi ben gerson(1288-1344) o Cataldi (1548-1626) o Giovanni Alfonso Borelli(1608-1679) Ptolemy o Giordano vitale(1633-1711 o John wallis(1616-1703) o Gerolamo Saccheri (1667-1733) o Johann heinrich Lambert(1728-1777) o Adrien Marie legendre(1752-1833) borelli 11
11 下面是一些嘗試去用歐氏其它公理去證明 第五公理的人： Ptolemy (90-168) Prolos (410-485) Nasir al din al Tusi (1201-1274) Levi ben Gerson (1288-1344) Cataldi (1548-1626) Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679) Giordano Vitale (1633-1711) John Wallis (1616-1703) Gerolamo Saccheri (1667-1733) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) Adrien Marie Legendre (1752- 1833) Lambert Ptolemy Borelli 第五公設證明的失敗
雙曲幾何 最後’高斯、Bola和羅巴 高斯 切夫斯基不約而同地發明了雙 曲幾何—曲率為負常數的二維 曲面。故老相傳,高斯曾測量 在Harz山脈中由 Inselberg Brocke和 Hoher三地形成的三羅巴切夫斯基 角形,看看其內角和是否等於 180° bolyai 12
12 最後，高斯、Bolyai和羅巴 切夫斯基不約而同地發明了雙 曲幾何──曲率為負常數的二維 曲面。故老相傳，高斯曾測量 在 Harz山脈中由 Inselberg 、 Brocken和Hoher三地形成的三 角形，看看其內角和是否等於 180˚ 。 高斯 Bolyai 羅巴切夫斯基 雙曲幾何
Klein model和非歐幾何的產生 克萊茵(F.kein)創造了一種解 析的方法’通過賦與在單位圓盤上任 意兩點的某種距離’給出雙曲幾何的 個模型。後人稱之為Kein模型。 至此,人們終於證明了歐氏第五公理 不可以由其他公理推導出來 雙曲幾何給出第一個抽象而與歐 克菜氏不一樣的空間影響到黎曼的工作
13 克萊茵（F. Klein）創造了一種解 析的方法，通過賦與在單位圓盤上任 意兩點的某種距離，給出雙曲幾何的 一個模型。後人稱之為Klein模型。 至此，人們終於證明了歐氏第五公理 不可以由其他公理推導出來。 雙曲幾何給出第一個抽象而與歐 氏不一樣的空間，影響到黎曼的工作。 克萊茵 Klein Model和非歐幾何的產生
陳氏類 高斯發現三角形內角和減去180後 與曲率和三角形的乘積相等,高斯把這 個性質推廣成為一條有關曲率的積分方 式。高斯-Bone公式在現代幾何和拓 樸學中非常重要。我的老師陳省身先生 將它推廣到高維空間,而最後發展成陳 氏類,這個發展為近代時空創造了宏觀 的看法 陳省身 在近代的弦學中’時空的質子數目 與陳氏類有關
14 高斯發現三角形內角和減去180˚後 與曲率和三角形的乘積相等，高斯把這 個性質推廣成為一條有關曲率的積分方 式。高斯-Bonnet公式在現代幾何和拓 樸學中非常重要。我的老師陳省身先生 將它推廣到高維空間，而最後發展成陳 氏類，這個發展為近代時空創造了宏觀 的看法。 在近代的弦學中，時空的質子數目 與陳氏類有關。 陳省身 陳氏類
微積分之始 如果幾何的對象僅僅是平面和球面, 那便太局限了。當人們了解到如何利用 無窮近似的方法去構造彎曲的幾何對象 時,情況便大大不同了。亞基米德 287BC.-212BC)首先用這種方 法來計算界於抛物線和直線之間的區域 的面積這種做法為多個世紀後’牛頓牛顿 和萊布尼茲發明微積分埋下種子 事實上,亞基米德幾乎已經創立了 微積分,但是當時的物理和天文背景尚 未成熟,所以沒有逼切的需要去建立這 項鉅大的工作 萊布尼茲
15 如果幾何的對象僅僅是平面和球面， 那便太局限了。當人們了解到如何利用 無窮近似的方法去構造彎曲的幾何對象 時，情況便大大不 同了 。亞基米德 （287 B.C. – 212 B.C.）首先用這種方 法來計算界於抛物線和直線之間的區域 的面積。這種做法為多個世紀後，牛頓 和萊布尼茲發明微積分埋下種子。 事實上，亞基米德幾乎已經創立了 微積分，但是當時的物理和天文背景尚 未成熟，所以沒有逼切的需要去建立這 項鉅大的工作。 牛頓 萊布尼茲 微積分之始