第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 v-Ev h2 2m 作者：Abliz Yimit 1
1 第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 作者：Abliz Yimit 2 2 2 V E m − + =
第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 ①/=01y=0.四y=0 一维势箱中粒子是指： 一个质量为的粒子被置于箱 外势能无穷大、箱内势能为零 (即无限深)的箱中，沿方向 某运婪际问愿，例如金属内的自 ψΨ≠0 由电子或共轭分子的π电子等， ψ=0 Ψ=0 可以作为一种近似，采用势箱 中的粒子模型来处理 0 1 2
第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 一维势箱中粒子是指: 一个质量为m的粒子被置于箱 外势能无穷大、箱内势能为零 （即无限深）的箱中，沿x方向 运动. 可以作为一种近似，采用势箱 中的粒子模型来处理 某些实际问题，例如金属内的自 由电子或共轭分子的π电子等， ψ＝0 ψ＝0 ψ≠0 2
第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 0 0<x<l W=o■Iy=0y=o V(x)= x≤0或x≥1 该粒子在箱外永不出现，可以直接写出其零解：只 ψ≠0 有在箱内才需要建立Schr心dinger方程并求解： =0 Ψ=0 由于势箱内V=0,因此箱内的薛定谔方程为： 盆总Ew (其中h=知)》 其通解为： +c2 sin √2mE 3
第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 该粒子在箱外永不出现,可以直接写出其零解; 只 有在箱内才需要建立Schrödinger方程并求解: V(x)= 0 0 x l x 0或x l 由于势箱内V=0，因此箱内的薛定谔方程为： (x) E (x) dx d m − 2 = 2 2 2 ( ) 2 h 其中 = 其通解为： ψ＝0 ψ＝0 ψ≠0 3
第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 根据品优波函数的连续性和单值条件， 当x=0和x=1时，ψ=0 即x=0时w(0)=c1cos(0)+c2sin(0)=0 则：c1=0 cl X1+c2 X0=0 x=l时ΨI)=C2sin(8π2mE/h2)2I=0 C2不能为0 故必须是：(8π2mE/h2)2l=n元n=1,2,3,. n≠0 子12 812 Ψ(k)=c2sin(nπx/l）=(2n)2sin(nx/l） 归一化条件求： C2=(2L)2
第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 x = l 时 Ψ（l）= c2 sin (8π 2m E / h2 ) 1/2 l = 0 c2不能为 0 故必须是: (8π 2m E / h2 ) 1/2 l = n π n =1，2，3，. n≠ 0 ∴ Ψ（x）= c2 sin (n πx / l ）=(2/l )1/2 sin (n πx / l ） 归一化条件求： c2 =(2/l )1/2 根据品优波函数的连续性和单值条件， 当x = 0 和 x = l 时， ψ= 0 即 x = 0 时 ψ（0）= c1cos (0) + c2 sin (0)= 0 则：c1 = 0 c1 ×1+ c2 ×0= 0 4
第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 然后用归一化法定出C2 bv"wix-1 2记 令 0 =c2-m2=5-0 2汇 四 =1 2 Sif 5
然后用归一化法定出 令 第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 5