22点的投影 点、直线和平面是组成物体的基本几何元素。研究和掌握点、直线、平面的投影性质 和规律,是学习物体 投影的基础。从本节开始将研究点、直线和平面的投影以及它们之间的关系。 、点的投影 仅有点的一个投影不能确定点的空间位置:根据物体的一个投影也不能确定该物体的整 体形状和大小。增 设投影面,采用多面投影的方法。这一法则是法国几何学家蒙诺( G-Monge)于1795年 首先提出并进行科学论 证的,称为蒙诺法。有两个或三个互相垂直的投影面构成投影面体系 1点在两投影面体系中的投影 1)投影面体系的构成 两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成,其中一个为水平投影面(简称水平 面),以H表示,另 个正立投影面(简称正面),以V表示。两投影面的交线称为投影轴,以OX表示。水平 投影面H与正立投影面V将 空间分为四部分,称为四个分角,即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角,如图2 9所示。 2)点在两投影面体系中的投影 (1)投影空间点A处于第一分角,按正投影法将点A向正面和水平面投影,即由点 A向正面作垂线,得垂足 a,则(称为空间点A的正面投影:由点A向水平面作垂线,得垂足a,则a称为空间 点A的水平投影。见图2-10。 (2)注写规定:空间点用大写字母表示,如A、B、C…;点的水平投影用相应的小 写字母表示,如a、b 点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示,如′、b、c
2-2 点的投影 点、直线和平面是组成物体的基本几何元素。研究和掌握点、直线、平面的投影性质 和规律，是学习物体 投影的基础。从本节开始将研究点、直线和平面的投影以及它们之间的关系。 一、点的投影 仅有点的一个投影不能确定点的空间位置；根据物体的一个投影也不能确定该物体的整 体形状和大小。增 设投影面，采用多面投影的方法。这一法则是法国几何学家蒙诺（G-Monge）于 1795 年 首先提出并进行科学论 证的，称为蒙诺法。有两个或三个互相垂直的投影面构成投影面体系。 1.点在两投影面体系中的投影 1）投影面体系的构成 两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，其中一个为水平投影面（简称水平 面），以 H 表示，另一 个正立投影面（简称正面），以 V 表示。两投影面的交线称为投影轴，以 OX 表示。水平 投影面 H 与正立投影面 V将 空间分为四部分，称为四个分角，即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角，如图 2- 9 所示。 2）点在两投影面体系中的投影 （1）投影空间点 A处于第一分角，按正投影法将点 A 向正面和水平面投影，即由点 A 向正面作垂线，得垂足 ，则 称为空间点 A 的正面投影；由点 A 向水平面作垂线，得垂足 a，则 a 称为空间 点 A 的水平投影。见图 2-10。 （2）注写规定：空间点用大写字母表示，如 A、B、C…；点的水平投影用相应的小 写字母表示，如 a、b、 c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如 、 、 …
第二分角 第一分角 第三分角 第四分角 图2-9两投影体系 H 图2-10点的两面投影 (3)投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上,保持V面不动,将 H面绕OX轴向下旋转90°,则得到点A的两面投影图。见图2-11 (4)擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面,故符号 、H及投影面的边界线 都不需画出。见图2-12
（3）投影面展开 为了把空间点 A 的两个投影表示在一个平面上，保持 V 面不动，将 H 面绕 OX 轴向下旋转 90°，则得到点 A 的两面投影图。见图 2-11。 （4）擦去边界，得到点的两面投影图 投影面可以看作是没有边界的平面，故符号 V、H 及投影面的边界线 都不需画出。见图 2-12
0 H 图2-11点在两投影面体系中的投影 0 图2-12点的两面投影 3)点在两投影面体系中的投影规律 (1)一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。 在图2-11中,点A的正面投射线A4和水平投射线Aa所确定的平面Aa垂直于V和 H面。根据初等几何知识, 若三个平面互相垂直,其交线必互相垂直,所以有aax⊥OX和a⊥OX。当a随H面旋 转重合于V面时,aax⊥OX 的关系不变。因此,在投影图2-12上,a⊥OX (2)一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离;其正面投影到OX轴的 距离等于该点到H面的距离, 即aax=A;aax=Aa。在图2-11中,因为Aaa是矩形,所以在投影图2-12上aax=A 4)各种位置点的投影 (1)点在各分角内。 ①第一分角内点A,其水平投影a在OX轴下方,正面投影在OX轴上方 ②第二分角内点B,其水平投影b在OX轴下方,正面投影在Ox轴上方
3）点在两投影面体系中的投影规律 （1）一点的水平投影和正面投影的连线垂直于 OX 轴 。 在图 2-11 中，点 A 的正面投射线 A 和水平投射线 Aa 所确定的平面 Aa 垂直于 V 和 H 面。根据初等几何知识， 若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有 aax⊥OX 和 ax⊥OX。当 a随 H面旋 转重合于 V 面时，aax⊥OX 的关系不变。因此，在投影图 2-12 上，a ⊥OX。 （2）一点的水平投影到 OX 轴的距离等于该点到 V 面的距离；其正面投影到 OX轴的 距离等于该点到 H 面的距离， 即 aax=A ； ax=Aa。在图 2-11 中，因为 Aaax 是矩形，所以在投影图 2-12 上 aax=A ； ax=Aa。 4）各种位置点的投影 （1）点在各分角内 。 ① 第一分角内点 A，其水平投影 a在 OX 轴下方，正面投影 在 OX 轴上方。 ② 第二分角内点 B，其水平投影 b 在 OX 轴下方，正面投影 在 OX 轴上方
③第三分角内点C,其水平投影c在OX轴上方,正面投影在OX轴下方。 ④第四分角内点D,其水平投影d在OX轴下方,正面投影在Ox轴下方 A 0 ldd 图2-13分角内点的投影 (2)点在各投影面内 ①H面内点K,其水平投影k与该点(K)重合,正面投影在OX轴上 ②H面内点M,其水平投影m与该点(M)重合,正面投影”在OX轴上 ③V面内点L,其水平投影1在Ox轴上,正面投影与该点(L)重合 ④V面内点N,其水平投影n在OX轴上,正面投影?与该点(N)重合 图2-14投影面内点的投影 投影面内点的投影特点为:点在其所在的投影面上的投影与该点重合:点的另一投影 在OX轴上 (3)点在投影轴上 点在投影轴上,其水平投影和正面投影与该点重合。如图2-15所示,G点在OX轴上, 其水平投影g和正面投 影与点G重合于OX轴上
③ 第三分角内点 C，其水平投影 c 在 OX轴上方，正面投影 在 OX 轴下方。 ④ 第四分角内点 D，其水平投影 d在 OX 轴下方，正面投影 在 OX 轴下方。 （2）点在各投影面内 ① H 面内点 K，其水平投影 k与该点（K）重合，正面投影 在 OX 轴上。 ② H 面内点 M，其水平投影 m与该点（M）重合，正面投影 在 OX 轴上。 ③ V 面内点 L，其水平投影 l 在 OX轴上，正面投影 与该点（L）重合。 ④ V 面内点 N，其水平投影 n在 OX轴上，正面投影 与该点（N）重合。 投影面内点的投影特点为：点在其所在的投影面上的投影与该点重合；点的另一投影 在 OX 轴上。 （3）点在投影轴上 点在投影轴上，其水平投影和正面投影与该点重合。如图 2-15所示，G 点在 OX 轴上， 其水平投影 g 和正面投 影 与点 G 重合于 OX轴上
图2-15投影轴上点的投影 2在三投影面体系中的投影 1)三投影体系 三投影面体系的建立如图2-16所示,三投影面体系是在V⊥H两投影面体系的基础上 增加一个与V、H投影 面都垂直的侧立投影面(简称侧面)组成的。三个投影面互相垂直相交,其交线称为投影 轴,V面和H面的交线 为OX轴,H面和W面的交线为OY轴,V面和W面的交线为OZ轴。OX、OY、OZ轴 垂直相交于一点O,称为原点。我们 只在第一分角内研究各种问题。 2)点的三面投影 (1)投影如图2-17所示,设空间点A处于第一分角,按正投影法将点A分别向 H、V、W面作垂线,其垂足即 为点A的水平投影a、正面投影和侧面投影(点的侧面投影用相应的小写字母加两 撇表示)
2.在三投影面体系中的投影 1）三投影体系 三投影面体系的建立如图 2-16 所示，三投影面体系是在 V⊥H两投影面体系的基础上， 增加一个与 V、H 投影 面都垂直的侧立投影面（简称侧面）组成的。三个投影面互相垂直相交，其交线称为投影 轴，V 面和 H 面的交线 为 OX 轴，H 面和 W 面的交线为 OY轴，V面和 W 面的交线为 OZ 轴。OX、OY、OZ 轴 垂直相交于一点 O，称为原点。我们 只在第一分角内研究各种问题。 2）点的三面投影 （1）投影 如图 2-17 所示，设空间点 A处于第一分角，按正投影法将点 A 分别向 H、V、W 面作垂线，其垂足即 为点 A 的水平投影 a、正面投影 和侧面投影 （点的侧面投影用相应的小写字母加两 撇表示）