§2.1线性空间 §2线性空间 例实数域上的全体m×n矩阵，对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间，记作R Q Amn+Bmin Cmxn? .Rm是一个线性空间
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 . , . m n m n m n m n m n m n m n m n R A B C A D R + = = Q 例实数域上的全体 矩阵，对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间，记作 是一个线性空间
§2.1线性空间 §2线性空间 对于线性空间V(F)有以下定理存在： 定理1：(1)当和z已知时，方程X十y=z有唯一解x (2)如果z十z=0,则z=0 (3)对每一个a∈F,c0=0 (4)对每一个x∈V,0x=0 (5)如果2x=0,则入=0或x=0 定理2：若把x+(-y)=x-y定义为x和y之差，则有 (I)(-ca)x=c(-x)=-(ax) (2)a(x-y)=ax-ay (3)(a-B)x=ax-Bx
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 对于线性空间 有以下定理存在： 定理1：（1）当y和z已知时，方程 有唯一解x （2）如果 ，则 （3）对每一个 （4）对每一个 （5）如果 ，则 或 定理2：若把 定义为x和y之差，则有 V F( ) x y z + = z z + = 0 z = 0 = F, 0 0 x V x = ,0 0 x = 0 = 0 x = 0 x y x y + − = − ( ) (1) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) (3) ( ) x x x x y x y x x x − = − = − − = − − = −
§2.1线性空间 §2线性空间 四、线性子空间 设V是F上的线性空间，如果V”c (即V'是V中的某些向量的集合)，且满足： (1)对任意的x,y∈V',(x+y)∈V" (2)对任意的a∈F,x∈V”,则ax∈V 则称V”是V的线性子空间。 定理：在VF)中任取一组向量xX2…,X, 这组向量 的所有线性组合的集合 ∑ax:acF 是V的一个子空间。 并称这个子空间是由向量集合X,X2,·,,所张成 (生成)的子空间
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 设V是F上的线性空间，如果 （即 是V中的某些向量的集合），且满足： （1）对任意的 （2）对任意的 则称 是V的线性子空间。 定理：在V(F)中任取一组向量 ，这组向量 的所有线性组合的集合 是V的一个子空间。 并称这个子空间是由向量集合 所张成 （生成）的子空间。x y V x y V , ,( ) + F x V x V , , 则 V V 1 2 , , , r x x x 1 2 , , , r x x x 1 : r i i i i x F = V V 四、线性子空间
§2.1线性空间 §2线性空间 例.R2的下列子集是否构成子空间？ 为什么？ ww-6小ae a-2 解：(1)不构成子空间。因为对 1=080e,fA8 0( W对矩阵的加法不封闭
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 2 3 1 2 1 1 1 1 0 (1) , , 0 0 0 (2) 0 0 , , (1) 1 0 0 2 0 0 , 0 0 0 0 0 0 R b W b c d R c d a b a b c W c a b c R W W W A B A B = + + = = = = + = 的下列子集是否构成子空间？ 为什么？ 不构成子空间。因为对 有 对矩阵的加法 闭 解 。 ： 不封 例
§2.1线性空间 §2线性空间 (2)构成子空间 0 ∈W,W非空，对于A,B∈W2, 设A= b, 且有a,+b,+c1=0,a2+b2+C2=0 于是A+B a1+a2b+b20 0 C1+C2
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (2) 000 000 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 W W W a b a b c c a b c a b c a a b b c c = = + + = + + = + + + = + Q A B A B A B 构成子空间 ， 非空，对于 ， ， 设 且有 于是