§2.1线性空间 §2线性空间 二、域 域是满足以下三条公理的系统，记为 {F,+} (1)系统 {F,+}是一个具有单位元素0的Abel群； (2)设F'是除x=0以外的所有x∈F的集合， 则系统{F,}是一个具有单位元素e的Abel群； (3)相对于十，满足分配率，即 a.(b+c)=a.b+a.c
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 二、域 域是满足以下三条公理的系统，记为 F, , + （1）系统 是一个具有单位元素0的Abel群； （2）设 是除 以外的所有 的集合， 则系统 是一个具有单位元素e的Abel群； （3）相对于＋，满足分配率，即 F,+ F x = 0 x F F , a b c a b a c + = + ( )
§2.1线性空间 §2线性空间 例：所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的 加法和乘法都构成了域。 有了域的概念我们可以定义线性空间 三、线性空间 (1)在非空集合V内的任一对元素间定义运算（十），使 {V,+}构成Abel群。（单位元素用0表示，x的逆元素用一x表示） 满足： x+(y+)=(x+y)+2 结合律 x+0=0+x=x 零元素 x+(-x)=(-x)+x=0 负元素 x+y=y+x 交换律
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 例：所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的 加法和乘法都构成了域。 有了域的概念我们可以定义线性空间 （1）在非空集合V内的任一对元素间定义运算（＋），使 V,+ 构成Abel群。(单位元素用0表示，x的逆元素用－x表示) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 x y z x y z x x x x x x x x y y x + + = + + + = + = + − = − + = + = + 结合律 交换律 零元素 负元素 满足： 三、线性空间
§2.1线性空间 §2线性空间 (2)在数域F中的数与V中的元素之间定义一个纯量乘法运 算，对F中任意数C与V中任一元素x,都可由该运算唯一决 定V中的一个元素，记为y=Cx,数乘满足： 1x=x 数1的数乘 (cβ)x=c(Bx) 结合律 (a+B)x=ax+Bx 左分配律 a(x+y)=ax+ay 右分配律 则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V)。 (以上8个公式为线性空间的8个公理)
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x y x y = = + = + + = + 则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理） （2）在数域F中的数与V中的元素之间定义一个纯量乘法运 算，对F中任意数 与V中任一元素 ,都可由该运算唯一决 定V中的一个元素y, 记为 y x = ,数乘满足： x 左分配律 右分配律 结合律 数1的数乘
§2.1线性空间 §2线性空间 例：n维向量空间的定义：是一个以n重有序数(552，…，5n) 为元素构成的集合，其中ξ∈F,定义向量加法 x+y=(5+7,52+72,…5n+7n) 其中：x=(51,52,…,5n),y=(7,72,…,7n) 向量数乘：Cx=(C51,C52,…,C5n) 零向量：0=(0,0，…，0)X的逆元：一x=(-51,一52，…，-5n） 可以证明，这个维向量空间是一个线性空间，记为R” 例：所有的复数的集合也是一个复线性空间
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 例：n维向量空间的定义：是一个以n重有序数 为元素构成的集合，其中 ，定义向量加法 1 2 ( , , , ) n i F 1 1 2 2 ( , , ) n n x y + = + + + 1 2 ( , , , ) n 其中： x = 1 2 , ( , , , ) n y = 向量数乘： 1 2 ( , , , ) n x = 零向量： 0 (0,0, ,0) = x 的逆元： 1 2 ( , , , ) n − = − − − x 可以证明，这个n维向量空间是一个线性空间，记为 n R 例：所有的复数的集合也是一个复线性空间
§2.1线性空间 §2线性空间 例n次多项式的全体 Q[x]n={p=anx”+an-x”+.+ax +4|an,an1,a1,a∈R,且an≠0} 对于通常的多项式加法和乘数运算不构 成向量空间。 Q0p=0x”+0x-+…+0x+0E2[x]n ∴Q[x]n对多项式的加法与数乘运算不封闭
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 1 1 1 0 1 1 0 1 [ ] ... | , ,..., , , 0} 0 0 0 ... 0 0 [ ] [ ] . n n n n n n n n n n n n n Q x p a x a x a x a a a a a R a p x x x Q x Q x − − − − = = + + + + = + + + + Q 次多项式的全体 且 对于通常的多项式加法和乘数运算不构 成向量空间。 对多项式的加法与数乘运算 例 不封闭