定本书内容的一个主要因素。我们的经验是,永远可以假定学生 具有一种程序设计语言如 PASCAL的背景知识,以及统计力学 的一些知识,包括相变的基本原理。如果读者对诸如“临界指数” 和它们之间的“标度关系”这样的概念以及像 Ising模型和逾渗 之类的模型还不熟悉,他很容易找到清晰地阐述这些概念的教材 我们在本书中要提到一些),因此就没有必要重复这些基本概 念 使用本书时,理论部分(本书的第2章)和“实际作业指南” (第3章)的互相配合是至关重要的。这两章都讨论相同的题目 (筒单抽样、随机行走和自回避行走、逾渗、 Ising模型等),但 是观点有所不同。在前一部分引进并解释了用来对这些问题进行 数值处理的概念;后一部分则把这些概念应用于具体问题,它要 求读者积极参与(即在个人计算机上做这些题目)以更深刻地理 解这些概念。 特别适合于做到这一点的方式是一个“讲习班”的形式,这个 讲习班采用本书为教学指导书。先提出对一个问题的解决方法并 立即加以试验,然后再对解这个问题的方法即算法进行改进。当 然,讲习班要办得效果最好,必须依靠学员与教师之间以及学员 相互之间的交流。讲习班的每个成员都将因所得到的反馈而受 益。采用一份书面教材,讲习班的效率会低一些。然而,我们已 使本书具有这样的结构,使读者有可能而且有必要对本书不是消 枫地阋读,而是与本书有某种形式的交流 我们的目标是介绍足够的材料,使读者能够在所述概念的基 础上,着手开发解决其他问题的算法。为了达到这个目标,必须 从头到尾做完全部内容,因此这个“讲习班”(第3章)是一个单 独的单元。第3章的另一个目标是介绍数据分析方法,使读者热 悉如何应用这些方法。这仍然要求读者积极参与。 既然本书是按照上述想法写的,两章有很强的相互关联,那
么内容上的某些重复便是不可避免的,从叙述的清晰和连贯性来 考虑甚至是必要的。事实上,本书讨论的全部方法的科学背景都 已在其他文献中叙述过,本书的新颖之处以及和以往的工作完全 不同之处在于它的引论性质,它要顺利地引导学生去熟悉用蒙特 卡罗方法做的许多实际工作和经验。为了这个教学法目的,内容 的少许重复甚至是我们所希望的。我们故意选用统计物理学中 些非常简单的问题,例如随机行走和自回避行走、逾渗和 Ising 模型,这些问题比较容易说明和演示全部概念和方法,而不在本 书中讨论那些更复杂的问题,像具有实际势的流体、自旋玻璃及 其他无序材料、量子力学蒙特卡罗方法或点格规范理论中的问 题。我们认为,读者在从头至尾学完本书之后,借助于已有的关 于蒙特卡罗方法的其他书籍,是能够转到这些问题上来的。我们 对具有离散自由度的点格问題(ling模型、Pots模型等)和连 续自由度的点格问题( Heisenberg磁体和XY磁体、φ模型等)的 热平均的特性讨论到一定深度,而对非点格问题如简单流体只简 短地提一提。书中特别注意理解计算机模拟方法的局限性(有限 尺寸和边界条件引起的效应、有限观测时间效应、自平均问题), 以及人们为克服这些局限性所作的努力:例如,如果引用适当的 有限尺寸标度理论,二级相变和一级相变时的有限尺寸效应可以 用作研究系统的大块性质的有用工具。书中也讨论了蒙特卡罗重 要性抽样的动力学解释。我们看到,虽然一方面隐含着一种不希 望看到的收敛变慢现象,特别是在临界点附近(临界慢化)和玻璃 态系统中;但另一方面,蒙特卡罗方法却成为研究随机模型的动 态行为的唯一工具
2蒙特卡罗方法的理论基础及其 在统计物理学中的应用 在本章中,我们首先引进蒙特卡罗抽样的基本概念,介绍蒙 特卡罗程序应当怎样组织的一些细节,进而讨论蒙特卡罗计算结 果的解释和分析。 2.1简单抽样对重要性抽样 2.1.1音种模型 统计物理学是同具有许多自由度的系统打交道。统计物理学 提出的一个典型问题,是假定一个系统的哈密顿量已知,计算该 系统的“平均”宏观可观察量。例如,我们考虑磁性系统:如果 一块铁磁体具有很强的单轴各向异性,我们可以用 Ising模型来 描写它,其N个自旋以下述方式相互作用: I 8ing J∑S4;-H∑S;,S:=±1,(2.1.1 <i,3 其中格点讠上的自旋S;可以沿着“易磁化轴”指向上或向下, (211)式中的交换能只限于最近邻之间,H是外磁场,HS4 项描述系统的 Zeeman作用能。但是,如果铁磁体具有平面各向 异性(自旋取向限于xy平面内:XY模型),或者完全各向同性 ( Heisenberg模型),情况便会不同: ∑(s;s+S:S})-H2∑S7,(21,2) (S)2+(S!)2=1
8:esrk-J∑(s;S1)-H,∑s,(2.1.3) (SF)2+(S)2+(St2=1 当然,实验工作者在其实验室中可以制备大量的形形色色的材 料,这就引起了对这些模型的多种变型的兴趣:代替(2,1.1)式 中所隐含的自旋量子数S=1/2或(2.1.2),(2.1.3)式中隐含的 S→∞,我们可能想要考虑一般的自旋量子数:代替只考虑最近 邻之间的交换作用,我们可能想要把次近邻、第三级最近邻等等 之间的交换能也包括进来;代替(2.13)式中的完全各向同性,可 能需要对它加上一个单轴或平面各向异性项;代替(2.1.1)式中 的均匀交换能丿和均匀磁场H,改用随机的交换常数J4和随机 场H4也许是合适的,以模拟该系统中的某种冻结的随机无序性。 因此,单是磁性固体就已向我们提供了不可胜计的模型哈密顿 量,(2,1.1)-(2.1.3)只不过是这些哈密顿量的一些例子,而这 大量的模型又只是凝聚体物理学所提供的广阔应用的一小部分。 统计物理学的一个任务是从模型哈密顿量计算出所要的各种 平均性质,例如每个自由度的平均能量E或平均磁化强度M, E=(x>/N,M=(∑S)/N.(2 其中<>r代表热平均,任何可观察量A(x),例如A=x,2S1 等等,x是相空间中的矢量,代表描述所考虑的自由度的一组变 量的集合,例如对(2.1.1)式x=(S1,S2,…,SN),对(2,1.3)式 S1,S2,…,Sx)的热平均在正则系综中由下式定义 <A(x)22/ dx exp[-第(x)/BTA(x),(2,1.5) z= dx exp[-(*)/BT1
把这一类问题叫作“统计物理学”是合适的,因为归一化的Bo1 tzmann因子 P(x)=dexpL-8(=)/kBT](2. 1. 6) 起着一个概率密度的作用,它描写位形x出现在热平衡中的权重 虽然(2.1.6)式在形式上给出了概率分布P(κ)的一个精确描 述,但是还是有麻烦:我们既不对如此详细的信息感兴趣(在我 们的例子中x代表一个包含N个自旋自由度的集合),也不可能 在一般情况下算出这样一个高维空间中的积分(2.1.4),(2.1.5) 2.12简单抽样 平衡态统计力学中的蒙特卡罗方法的出发点,是要近似计算 精确方程(21.5)式.(2.1.5)式中的积分是在一切态{x}上按每 个态的固有权重P(x)来求积的,我们想要用一个只在相空间点 的一个特征子集合{x1,x2,…,xM}上求和的和式来近似,这些相 空间点x1,x2,…,xM用作一个统计抽样。显然,如果考虑极限情 况M→∞,那么离散的和式 exp[ -g(r)/kBTJA(*L) A(x)==1 (2.1.7 ≥ep-2(x1)/kB7 定会趋近(2,15)式,正如在数值积分中积分被换成求和一样 对于离散自由度的情况,比如Iing问题,(21.5)式中的dx 当然已经是代表对全部2N个态x=(S1,…,Sx)的离散求和,但 (2,1.7)式中我们是想只用这些态的一个小子集来计算,M<2) 但是,与计算一维积分∫(x)dx(其中f(x)变元只是一个实变