4.1边值问题的唯一性定理 、边值问题 嶂°边值问题是指存在边界面的电磁问题 根据给定边界条件对边值问题分类: >第一类边值问题:已知电位函数在全部边界面上的分布值。 >第二类边值问题:已知函数在全部边界面上的法向导数。 f 第三类边值问题(混合边值问题):已知一部分边界面上的函 数值,和另一部分边界面上函数的法向导数。 0)l=f1 f2 an\s, +s
4.1 边值问题的唯一性定理 一、边值问题 边值问题是指存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类： ➢ 第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。 ➢ 第二类边值问题：已知函数在全部边界面上的法向导数。 S = f S f n = 2 2 S f n = ➢ 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函 数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。 1 S 1 = f 1 2 S S S = +
唯一性定理 唯一性定理内容:在场域V的各边界面S上给定电位0m 的值,则泊松方程或拉善拉斯方程在场域W内的解唯一。 说明:若对同一面积,同时给定和的值,则不存在唯一解。 唯一性定理的意义: ◆指岀了静态场边值问题具有唯一解的条件 →为静态场边值问题求解方法提供了理论依据,为结果正确性提 供了判据 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的理论依 据
二、唯一性定理 唯一性定理内容：在场域V的各边界面S上给定电位 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。 n 说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不存在唯一解。 n 唯一性定理的意义： 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件 为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提 供了判据 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依 据
42直角坐标系中的分离变量法 问题:如图所示无限长金属导体槽,其顶y↑ 面电位为u,其余三面接地,求导体槽内 电位分布。 b 建立求解方程: X 导体槽内为无源区,故电位满足拉普拉斯方程,即a q=0 o=0(0≤y<b) X=a 0(0≤y<b) l。=0(0≤x≤a) =U(0≤x≤a) 用分离变量法求解过程 V=0→ =0 az
4.2 直角坐标系中的分离变量法 建立求解方程： 导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即 2 = 0 0 0 (0 ) x y b = = 0 (0 ) x a y b = = 0 0 (0 ) y x a = = (0 ) y b U x a = = 问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶 面电位为u，其余三面接地，求导体槽内 电位分布。 x y a b = u 用分离变量法求解过程： 2 = 0 222 2 2 2 0 x y z + + = = 0
很明显,为x,y的函数。则可令 p(x,y)=X(x). Y() 代入方程得 r(y) d X(x+X( d-Y() d-x() dr( X(x) Y(y)d2=0 1 d'X(x)1 dy() X(x) dx y 1 d-X(x) X(x)dx 仅为x坐标函数 yo dy 仅为y坐标函数
很明显， 为x,y的函数。则可令 ( , ) ( ) ( ) x y X x Y y = 代入方程得 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d X x d Y y Y y X x dx dy + = 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( ) d X x d Y y X x dx Y y dy + = 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) d X x d Y y X x dx Y y dy = − 2 2 1 ( ) ( ) d X x X x dx 2 2 1 ( ) ( ) d Y y Y y dy − 仅为x坐标函数 仅为y坐标函数
要使对任意x,y两式相等,则须两式均为常数。令 d-X(x) 1 dY( k X(x dx y() dy 分离常数 1aY(y)=3>/a2 I d-X(x) d-x(x) X(x)dx k(x)=0 d2Y(y)-k2y(y)=0 Y(y 通过引入分离常数k,将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微 分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。 解常微分方程(k取值不同解形式不同) 当k=0时: X(x)=Ax+B ()=Coy+D A,B3C0,D待定
要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) d X x d Y y k X x dx Y y dy = − = − 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) d X x k X x dx d Y y k Y y dy = − = 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 d X x k X x dx d Y y k Y y dy + = − = 分离常数 通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微 分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。 解常微分方程（k取值不同解形式不同）： 当k=0时： 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , , , ( ) X x A x B A B C D Y y C y D = + = + 待定