附录张量运算 内容提要 1矢量分析 2张量初步 第一节矢量分析 §1.1向量运算法则 ★两个量的运算:一个矢量一个标量、两个矢量(略去) ★三个量的运算: 加法的运算太简羊,嘻 ◆两个标量一个矢量 去;主妻考虑乘法的运 a(b)=o(av) ◆两个矢量一个标量 a×(kb)=k(a×b) (kb)=k(a b) ◆三个矢量的运算 第四例应该是第一例 ★多个矢量的运算:可按三个矢量的运算法则展开 §1.2三矢量的混合积 行六面体的体积 行列式性质:交换一次变 1a2a3 (×c)=b1bb3=b·(cxa)=c(a×b) (c×b)=-b(a×c) 【推论】a,b,C共面 a·(b×c)=0a,a,c一定共面
附录 张量运算 内 容 提 要 1 矢量分析 1 2 张量初步 7 第一节 矢量分析 § 1.1 向量运算法则 向量的加法和乘法，及 其运算时的分配律、结合 律、交换律。 加法的运算太简单，略 去；主要考虑乘法的运 算。 ★两个量的运算：一个矢量一个标量、两个矢量（略去） ★三个量的运算： ◆两个标量一个矢量 a (ϕψ) = ϕ (aψ) ◆两个矢量一个标量 a × (kb) = k (a × b) a · (kb) = k (a · b) ◆三个矢量的运算 第四例应该是第一例 a · (b × c) , a × (b × c) , a · (b · c) , a × (b · c) ★多个矢量的运算：可按三个矢量的运算法则展开 § 1.2 三矢量的混合积 平行六面体的体积； 行列式性质：交换一次变 符号 a · (b × c) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = b · (c × a) = c · (a × b) = −a · (c × b) = −b · (a × c) = −c · (b × a) 【推论】a, b, c共面 ⇐⇒ a · (b × c) = 0 a, a, c一定共面 ⇐⇒ a · (a × c) = 0 1
§1.3三矢量的矢积 矢积的方向:设c×(a×b)=f,则f在a,b平面上,且与c在该平面的 投影垂直 a·c)b-(b·c) 【推论】 (a×ey)=(exey)·a-(a·er) 证明矢积的公式 【求证】 C×(a 【证明】设 f=cx(axb)=cx 故 d=(a2b3-a3b2)ex -(a1b3-a3b1)ey+(a1b2-a2b1)e f1= C2d3-c3d2=c2(a1b2-a2b1)+c3(a1b3-a3b1) (b2c2+b3C3)-b1(a2c2+a3c3)+(a1b1C1-b1a1c1) a1(b·c)-b1(a·c) f=a2(b·c)-b2(a·c) f3 故此 §1.4矢量分解 将矢量分解为两个矢量的和,其一沿着b方向,其二在a,b平面上且垂 直c方向 (b·c)=(c·a)·b+c×(a×b)=(c·a).b+(b×a)×c (b·c)=(a.b)·c+b×(a×c)=(a·b)·c+(cxa)×b 【推论】 a=a·(er:ex)=(aer)·ex+(exxa)xex=axex+ex×(axer)
§ 1.3 三矢量的矢积 矢积的方向：设c × (a × b) = f，则f在a , b平面上，且与c在该平面的 投影垂直 既 然f在a , b平 面 上 ， 则可以分解为两个方向 c × (a × b) = (b · c) · a − (a · c) · b (a × b) × c = (a · c) · b − (b · c) · a 【推论】 a × (ex × ey) = (a · ey) · ex − (a · ex) · ey = ay · ex − ax · ey ex × (a × ey) = (ex · ey) · a − (a · ex) · ey = −ax · ey 证明矢积的公式 【求证】 c × (a × b) = (b · c) · a − (a · c) · b 【证明】 设 f = c × (a × b) = c × d 故 d = (a2b3 − a3b2)ex − (a1b3 − a3b1)ey + (a1b2 − a2b1)ez f1 = c2d3 − c3d2 = c2(a1b2 − a2b1) + c3(a1b3 − a3b1) = a1(b2c2 + b3c3) − b1(a2c2 + a3c3) + (a1b1c1 − b1a1c1) = a1(b · c) − b1(a · c) 同理： f2 = a2(b · c) − b2(a · c) f3 = a3(b · c) − b3(a · c) 故此 f = (b · c) · a − (a · c) · b § 1.4 矢量分解 将矢量分解为两个矢量的和，其一沿着b方向，其二在a , b平面上且垂 直c方向 a · (b · c) = (c · a) · b + c × (a × b) = (c · a) · b + (b × a) × c a · (b · c) = (a · b) · c + b × (a × c) = (a · b) · c + (c × a) × b 【推论】 a = a · (ex · ex) = (a · ex) · ex + (ex × a) × ex = ax · ex + ex × (a × ex) 2
§1.5微分算子V ★同一般的矢量比较,V算子具有微分、矢量两重特性 ◆V算子的大小:1(量纲) ◆算子的方向:纵向 te V·f afrafr afr fy afr Vp §1.6V算子矢量、微分特性的推论 a(y)=(av)→V(yv)=φ(Vv)+(V) a×(和b)=k(a×b)→V×(和b)=k(V×b)+Vk×b (kb)=k(a·b)→V·(kb)=k(V·b+Vk·b a·(a×c)=0→V·(V×c)=0 例一 【求解】 V×(f×g) 【解】 V(f·g)=V(·g-)+V(fg) (geV)∫+(f×V)xge+(V·fe)g+(g×V)×f =(geV)∫+g×(V×f)+(fV)g+f×(V×g) =(gV)∫+(fV)g+g×(V×f)+f×(V×g) g (·g)f-(V·∫g+(Vg)f-(V·f)g 7)f-gc(V·f)+fe(V·g)-(fV) V)∮-(f·V)g+f(V
§ 1.5 微分算子∇ ★同一般的矢量比较，∇算子具有微分、矢量两重特性。 ◆∇算子的大小：1 r（量纲） ◆∇算子的方向：纵向 ∇ = ex · ∂ ∂x + ey · ∂ ∂y + ez · ∂ ∂z ∇ · f = ∂fx ∂x + ∂fx ∂y + ∂fx ∂z ∇ × f = (∂fz ∂y − ∂fy ∂z ) · ex + (∂fx ∂z − ∂fz ∂x ) · ey + (∂fy ∂x − ∂fx ∂y ) · ez ∇ϕ = ∂ϕ ∂x · ex + ∂ϕ ∂y · ey + ∂ϕ ∂z · ez § 1.6 ∇算子矢量、微分特性的推论 a (ϕψ) = ϕ (aψ) ⇒ ∇ (ϕψ) = ϕ (∇ψ) + ψ (∇ϕ) a × (kb) = k (a × b) ⇒ ∇ × (kb) = k (∇ × b) + ∇k × b a · (kb) = k (a · b) ⇒ ∇ · (kb) = k (∇ · b) + ∇k · b a · (a × c) = 0 ⇒ ∇ · (∇ × c) = 0 a × (ka) = 0 ⇒ ∇ × (∇k) = 0 例一 【求解】 ∇ (f · g) , ∇ × (f × g) , ∇ · (f × g) 【解】 ∇ (f · g) = ∇ (f · gc) + ∇ (fc · g) → (gc · ∇) f + (f × ∇) × gc + (∇ · fc) g + (g × ∇) × fc = (gc · ∇) f + gc × (∇ × f) + (fc · ∇) g + fc × (∇ × g) = (g · ∇) f + (f · ∇) g + g × (∇ × f) + f × (∇ × g) ∇ × (f × g) = ∇ × (f × gc) + ∇ × (fc × g) → (∇ · gc) f − (∇ · f) gc + (∇ · g) fc − (∇ · fc) g = (gc · ∇) f − gc (∇ · f) + fc (∇ · g) − (fc · ∇) g = (g · ∇) f − (f · ∇) g + f (∇ · g) − g (∇ · f) 3
例一(续) V·(f×g)=V·(f×g)+V·(f×gc) X g)tg =-f·(×g)+g(V×f) 例二 【形式变换】 (f V)9 【解】我们应该熟悉(∫·Ⅴ)g这种形式:它很简单,也很常用。对其变 换只能复杂化 (f。·g)-fe (fV)φ=Vφ 举例如下:(设k为常矢量) (k.V)=V(k·T)-k×(V×r)=V(k·r)=k (fV)(yg)=gI(fV)q+φ[【f·V)g] 事实上由并矢可知 (fV)g=V·(fg)-(V·f)g 例三 【形式变换】 (f×V)×g 【解】这种形式不好计算,我们不用 (f×V)×g=(fxV)×g=V(f·g)-f(V×g) (f×V)·g=f·(×g)
例一（续） ∇ · (f × g) = ∇ · (fc × g) + ∇ · (f × gc) → −fc · (∇ × g) − gc · (f × ∇) = −fc · (∇ × g) + gc · (∇ × f) = −f · (∇ × g) + g · (∇ × f) 例二 【形式变换】 (f · ∇) g , (f · ∇) ϕ 【解】 我们应该熟悉(f · ∇) g这种形式：它很简单，也很常用。对其变 换只能复杂化。 (f · ∇) g = (fc · ∇) g = ∇ (fc · g) − fc × (∇ × g)6=f (∇ · g) (f · ∇) ϕ = f · ∇ϕ 举例如下：（设k为常矢量） (k · ∇) r = k (k · ∇) r = ∇ (k · r) − k × (∇ × r) = ∇ (k · r) = k (f · ∇) (ϕg) = g [(f · ∇) ϕ] + ϕ [(f · ∇) g] 事实上由并矢可知： (f · ∇) g = ∇ · (fg) − (∇ · f) g 例三 【形式变换】 (f × ∇) × g , (f × ∇) · g , (f × ∇) ϕ 【解】 这种形式不好计算，我们不用 (f × ∇) × g = (fc × ∇) × g = ∇ (fc · g) − fc (∇ × g) (f × ∇) · g = f · (∇ × g) (f × ∇) ϕ = f × ∇ϕ 4
§1.7复合函数的微分算子 Vf(u)=va df(u) V·Aa)=Vn.a4(a) V×A(u)=Vu a:V)A()=(aV4(u) 【结论】 V=V §1.8一些常用微分 v·()=Vr.2 ()=(Vrer)(=) 上述推导的错误在于 T≠A(r) 【常用微分】 T=已 vxr=O xer= V×( 0 例四 试用上式证明 【证明】 V·( r=36()+()·Vr 6(7)+
§ 1.7 复合函数的微分算子 ∇f(u) = ∇u df(u) du ∇ · A(u) = ∇u · dA(u) du ∇ × A(u) = ∇u × dA(u) du (a · ∇)A(u) = (a · ∇)u dA(u) du 【结论】 ∇ = ∇u d du § 1.8 一些常用微分 ∇ · ( r r 3 ) = ∇r · d dr ( r r 3 ) = ∇r · d dr ( rer r 3 ) = (∇r · er) d dr ( 1 r 2 ) = − 2 r 3 上述推导的错误在于： r6=A(r) 【常用微分】 ∇r = er , ∇ 1 r = − er r 2 ∇ · r = 3 , ∇ · er = 2 r , ∇ · ( r r 3 ) = 4πδ(r) ∇ × r = 0 , ∇ × er = 0 , ∇ × ( r r 3 ) = 0 例四 试用上式证明 ∇ · ( r r n ) = 3 − n r n + 4π r n−3 δ(r) 【证明】 ∇ · ( r r n ) = ∇ · ( r r 3 · 1 r n−3 ) = ∇ · ( r r 3 ) · 1 r n−3 + ( r r 3 ) · ∇ 1 r n−3 = 4π r n−3 δ(r) + ( r r 3 ) · [∇r · 3 − n r n−2 ] = 4π r n−3 δ(r) + 3 − n r n 5